4.1 Geometriske rekker | Matematikk for økonomi

Rekker med konstant kvotient, sumformelen og bevis for den.

45 min

6 oppgaver

Geometrisk rekkeSumformel

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Geometriske rekker

Tenk deg at du setter inn $20\,000$ kr på en sparekonto 1. januar hvert år i ti år. Renten er $3{,}5\,\%$ .

Det første innskuddet får stå i ti år. Det andre i ni år. Det siste bare i ett år. Skal vi vite hva som står på kontoen når de ti årene er omme, må vi legge sammen ti beløp som hver for seg er regnet ut med vekstfaktoren $1{,}035$ :

$20\,000 \cdot 1{,}035^{10} + 20\,000 \cdot 1{,}035^{9} + \ldots + 20\,000 \cdot 1{,}035^{1}$

Vi kunne regnet ut alle ti og lagt dem sammen. Men se på leddene: hvert ledd er det forrige delt på $1{,}035$ . Forholdet mellom to naboledd er det samme hele veien. En slik sum har en egen formel — og det er den formelen som seinere gir oss terminbeløpet i et lån.

I dette kapittelet bygger vi verktøyet. I kapittel 4.2 bruker vi det på annuitetslån.

Geometrisk følge, rekke og kvotient

a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots

✏️Eksempel 1 — er rekken geometrisk?

Avgjør om rekken er geometrisk. Er den det, finn kvotienten $k$ og ledd nummer 8.

a) $3 + 6 + 12 + 24 + \ldots$

b) $2 + 5 + 8 + 11 + \ldots$

c) $1\,000 + 1\,050 + 1\,102{,}50 + \ldots$

Løsning:

Hva må vi finne? Om forholdet mellom naboledd er det samme. Vi deler hvert ledd på leddet foran.

a) $\displaystyle \frac{6}{3} = 2 \qquad \frac{12}{6} = 2 \qquad \frac{24}{12} = 2$

Forholdet er $2$ hver gang, så rekken er geometrisk med $k = 2$ .

$a_8 = a_1 \cdot k^{\,8-1}$

$a_8 = 3 \cdot 2^{7}$

$a_8 = 3 \cdot 128 = 384$

Svar: Geometrisk med $k = 2$ , og $a_8 = 384$ .

b) $\displaystyle \frac{5}{2} = 2{,}5 \qquad \frac{8}{5} = 1{,}6$

Her er ikke forholdet det samme. Svar: Rekken er ikke geometrisk. (Den er aritmetisk — vi legger til $3$ hver gang i stedet for å gange.)

c) $\displaystyle \frac{1\,050}{1\,000} = 1{,}05 \qquad \frac{1\,102{,}50}{1\,050} = 1{,}05$

Geometrisk med $k = 1{,}05$ .

$a_8 = 1\,000 \cdot 1{,}05^{7} \approx 1\,407{,}10$

Svar: Geometrisk med $k = 1{,}05$ , og $a_8 \approx 1\,407{,}10$ .

NB: I c) er kvotienten en vekstfaktor. Det er ingen tilfeldighet. Alle rekkene vi møter i økonomi, har en vekstfaktor som kvotient — enten fordi et beløp vokser med renten ( $k = v$ ), eller fordi et beløp flyttes bakover i tid og derfor deles på vekstfaktoren ( $\displaystyle k = \frac{1}{v}$ ).

📝Oppgave 1

Avgjør om rekken er geometrisk. Er den det, oppgi kvotienten $k$ og regn ut ledd nummer 6.

2 + 6 + 18 + \ldots

80 + 40 + 20 + \ldots

5\,000 + 5\,200 + 5\,408 + \ldots

100 - 50 + 25 - \ldots

7 + 14 + 21 + \ldots

Løs oppgaven

Summen av en geometrisk rekke

Å legge sammen ti ledd går fint. Å legge sammen tre hundre går ikke — og et boliglån har gjerne tre hundre terminer. Vi trenger en formel som gir summen uten at vi regner ut hvert enkelt ledd.

Den finnes, og den kommer fra et triks som er verdt å se på: vi ganger hele summen med $k$ og trekker fra.

📜Sumformelen for en geometrisk rekke

Summen av de

n

første leddene i en geometrisk rekke med førsteledd

a_1

og kvotient

k \ne 1

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

Er $k = 1$ , er alle leddene like, og da er $S_n = n \cdot a_1$ .

Bevis for sumformelen

Påstanden vi skal bevise:

S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^{\,n} - 1}{k - 1}

når

k \ne 1

1. Vi skriver summen fullt ut

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^{2} + \ldots + a_1 k^{\,n-1}$

2. Vi ganger begge sider med $k$

Samme operasjon på begge sider av likhetstegnet:

$k \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^{2} + a_1 k^{3} + \ldots + a_1 k^{\,n}$

Legg merke til hva som skjedde: alle leddene forskjøv seg ett hakk. Den nye summen har nesten de samme leddene som den gamle — den mangler $a_1$ i starten, og har fått $a_1 k^{\,n}$ på slutten.

3. Vi trekker den første likningen fra den andre

$k \cdot S_n - S_n = \left(a_1 k + \ldots + a_1 k^{\,n}\right) - \left(a_1 + a_1 k + \ldots + a_1 k^{\,n-1}\right)$

Alt mellom $a_1 k$ og $a_1 k^{\,n-1}$ står i begge parentesene og forsvinner. Igjen står bare ytterpunktene:

$k \cdot S_n - S_n = a_1 k^{\,n} - a_1$

4. Vi setter $S_n$ utenfor og deler

$S_n \cdot (k - 1) = a_1 \left(k^{\,n} - 1\right)$

Vi deler på $(k-1)$ på begge sider. Det får vi lov til fordi $k \ne 1$ , slik at $k - 1 \ne 0$ :

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

Dermed er formelen bevist: summen av de $n$ første leddene i en geometrisk rekke er førsteleddet ganget med $\displaystyle \frac{k^{\,n}-1}{k-1}$ .

NB: Å regne ut noen få summer og se at formelen stemmer, er ikke et bevis. En stikkprøve viser bare at formelen stemmer der. Beviset over gjelder alle $n$ og alle $k \ne 1$ på én gang — det er forskjellen.

∎

✏️Eksempel 2 — sumformelen (Del 1)

Regn ut summen $3 + 6 + 12 + \ldots + 1\,536$ .

Løsning:

Hva vet vi? $a_1 = 3$ og $\displaystyle k = \frac{6}{3} = 2$ . Siste ledd er $1\,536$ .
Hva må vi finne? Først hvor mange ledd rekken har, så summen.

Antall ledd: Vi bruker at $a_n = a_1 \cdot k^{\,n-1}$ :

$3 \cdot 2^{\,n-1} = 1\,536$

$\displaystyle 2^{\,n-1} = \frac{1\,536}{3} = 512$

Vi kjenner igjen $512 = 2^{9}$ , altså

$n - 1 = 9$

$n = 10$

Summen: Vi skriver formelen tom først, og setter så inn:

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 3 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 3 \cdot \frac{1\,024 - 1}{1}$

$S_{10} = 3 \cdot 1\,023 = 3\,069$

Svar: $3 + 6 + 12 + \ldots + 1\,536 = 3\,069$

(Føres ikke) Kontroll: legger vi sammen de ti leddene $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536$ for hånd, får vi $3\,069$ . Det er ingen bevis, men en grei kontroll på at vi fikk med riktig antall ledd.

📝Oppgave 2

Bruk sumformelen. Rund av til to desimaler der svaret ikke går opp.

Regn ut summen av de 10 første leddene i $4 + 12 + 36 + \ldots$

Regn ut summen av de 8 første leddene i $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$ . Oppgi svaret som brøk.

Regn ut summen av de 12 første leddene i $5\,000 + 5\,000 \cdot 1{,}04 + 5\,000 \cdot 1{,}04^{2} + \ldots$

Hvor mange ledd har rekken $2 + 6 + 18 + \ldots + 1\,458$ , og hva er summen?

Regn ut summen av de 15 første leddene i $200 + 200 \cdot 1{,}1 + 200 \cdot 1{,}1^{2} + \ldots$

Løs oppgaven

Sparing som geometrisk rekke

Nå tar vi formelen med tilbake til sparekontoen fra innledningen. Trikset er alltid det samme: skriv opp hva hvert innskudd er verdt på det tidspunktet vi spør om, og se etter kvotienten.

✏️Eksempel 3 — fast sparebeløp hvert år

Emma setter inn $20\,000$ kr på en sparekonto 1. januar hvert år i 10 år. Renten er $3{,}5\,\%$ per år.

a) Hvor mye står på kontoen 31. desember det tiende året?

b) Hvor mye av dette er renter?

Løsning:

a) Hva vet vi? Ti innskudd på $20\,000$ kr, vekstfaktor $v = 1{,}035$ .
Hva må vi finne? Verdien av alle innskuddene 31. desember år 10.

Vi går gjennom innskuddene ett for ett og skriver hva hvert av dem er verdt til slutt. Det første innskuddet står i 10 år, det siste i 1 år:

Innskudd	Står i	Verdi 31.12. år 10
nr. 1	10 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{10}$
nr. 2	9 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{9}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
nr. 10	1 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{1}$

Vi snur summen så det minste leddet kommer først. Da blir førsteleddet

a_1 = 20\,000 \cdot 1{,}035 = 20\,700

og hvert nytt ledd er det forrige ganget med

1{,}035

k = 1{,}035

Antall ledd er

n = 10

— ett per innskudd.

Vi setter inn i sumformelen:

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 20\,000 \cdot 1{,}035 \cdot \frac{1{,}035^{10} - 1}{1{,}035 - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 20\,700 \cdot \frac{1{,}410599 - 1}{0{,}035}$

$S_{10} = 20\,700 \cdot 11{,}731393$

$S_{10} \approx 242\,839{,}84$

Et stolpediagram med ti blå stolper, merket innskudd nr. 1 til 10 under aksen. Loddrett akse viser kroner fra 0 til 34 000. Stolpene stiger jevnt fra 20 700 kr for innskudd 1 til 28 212 kr for innskudd 10. Verdien står over hver stolpe. En oransje bue går fra stolpe 1 til stolpe 2 og er merket «· 1,035 = k».

Verdien av hvert av Emmas ti innskudd 31. desember år 10. Stolpene er ulike — men forholdet mellom to nabostolper er alltid $1{,}035$ , og det er nettopp definisjonen av en geometrisk rekke.

Svar: Det står omtrent $242\,840$ kr på kontoen 31. desember det tiende året.

b) Emma har satt inn $10 \cdot 20\,000 = 200\,000$ kr av egne penger.

$242\,839{,}84 - 200\,000 = 42\,839{,}84$

Svar: Omtrent $42\,840$ kr er renter.

NB: En vanlig feil er å regne $10 \cdot 20\,000 \cdot 1{,}035^{10} \approx 282\,120$ kr. Det ville betydd at alle innskuddene hadde stått i ti år. Bare det første gjorde det. Derfor må vi ha rekken.

📝Oppgave 3

Lise setter inn $15\,000$ kr på en sparekonto 1. januar hvert år i 8 år. Renten er $2{,}8\,\%$ per år. Rund av til to desimaler.

Hvor mye står på kontoen 31. desember det åttende året?

Hvor mye av beløpet er renter?

Hvor mye ville stått på kontoen dersom renten hadde vært $4{,}5\,\%$ ?

Med $2{,}8\,\%$ rente: hvor mange innskudd må Lise gjøre før det står over $200\,000$ kr på kontoen?

En medelev regner $8 \cdot 15\,000 \cdot 1{,}028^{8} \approx 149\,667$ kr. Forklar hva som er galt.

Løs oppgaven

Uendelig mange ledd

Hva om rekken aldri slutter? Skal vi legge sammen uendelig mange tall, kan vi ende opp med uendelig mye — men ikke alltid. Er leddene små nok, stanser summen ved et bestemt tall.

Se på $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$ . Det eneste stedet $n$ står, er i $k^{\,n}$ . Er $|k| < 1$ , krymper $k^{\,n}$ mot $0$ når $n$ vokser — for eksempel er $0{,}5^{20} \approx 0{,}00000095$ . Da nærmer hele brøken seg $\displaystyle \frac{0 - 1}{k - 1} = \frac{-1}{k-1} = \frac{1}{1-k}$ .

Er derimot $|k| \ge 1$ , krymper $k^{\,n}$ ikke. Summen vokser over alle grenser, og rekken har ingen sum.

📜Uendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke

a_1 + a_1 k + a_1 k^{2} + \ldots

konvergerer (har en sum) hvis og bare hvis

$|k| < 1$

Summen er da

$S = \frac{a_1}{1 - k}$

Er $|k| \ge 1$ , divergerer rekken, og summen finnes ikke.

Konvergenskravet sjekkes alltid før formelen brukes.

✏️Eksempel 4 — evigvarende leieinntekt

Et lokale leies ut for $50\,000$ kr i året, utbetalt på slutten av hvert år. Kontrakten er evigvarende. Kalkulasjonsrenten er $4\,\%$ .

Hva er nåverdien av alle framtidige leieinntekter?

Løsning:

Hva vet vi? $50\,000$ kr hvert år, for alltid. Kalkulasjonsrente $4\,\%$ , altså $v = 1{,}04$ .
Hva må vi finne? Hva alle utbetalingene til sammen er verdt i dag.

Fra kapittel 2 vet vi at et beløp som kommer om $t$ år, har nåverdien $\displaystyle \frac{50\,000}{1{,}04^{\,t}}$ . Vi skriver opp nåverdien av hver utbetaling:

$\frac{50\,000}{1{,}04} + \frac{50\,000}{1{,}04^{2}} + \frac{50\,000}{1{,}04^{3}} + \ldots$

Dette er en geometrisk rekke. Førsteleddet er

$\displaystyle a_1 = \frac{50\,000}{1{,}04} \approx 48\,076{,}92$

og hvert ledd er det forrige delt på $1{,}04$ , altså ganget med

$\displaystyle k = \frac{1}{1{,}04} \approx 0{,}961538$

Konvergenskravet: $|k| = 0{,}961538 < 1$ ✓ — rekken konvergerer, og vi får bruke formelen.

$\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$

$\displaystyle S = \frac{\frac{50\,000}{1{,}04}}{1 - \frac{1}{1{,}04}}$

Vi regner ut nevneren for seg: $\displaystyle 1 - \frac{1}{1{,}04} = \frac{1{,}04 - 1}{1{,}04} = \frac{0{,}04}{1{,}04}$

Brøk delt på brøk — vi ganger med den omvendte av nevneren:

$\displaystyle S = \frac{50\,000}{1{,}04} \cdot \frac{1{,}04}{0{,}04}$

$1{,}04$ forkortes bort:

$\displaystyle S = \frac{50\,000}{0{,}04} = 1\,250\,000$

Et stolpediagram med tretti blå stolper, én for hvert av årene 1 til 30. Loddrett akse viser kroner fra 0 til 55 000. Stolpene synker jevnt fra 48 076,92 kr i år 1 til 15 415,93 kr i år 30. Verdiene for år 1 og år 30 står skrevet i figuren.

Nåverdien av leieinntekten hvert år. Leddene i rekken krymper med vekstfaktoren $\displaystyle \frac{1}{1{,}04}$ — det er derfor uendelig mange utbetalinger likevel kan ha en endelig sum.

Svar: Nåverdien er $1\,250\,000$ kr.

NB: Legg merke til hvor enkelt svaret ble: årlig beløp delt på renten som desimaltall. Det er ikke tilfeldig — utregningen over viser hvorfor $1{,}04$ forkortes bort hver gang. Uendelig mange utbetalinger på $50\,000$ kr er altså verdt et endelig beløp i dag, fordi utbetalingene langt fram i tid nesten ikke veier noe. De 30 første årene alene står for $864\,602$ kr — over to tredjedeler av hele verdien.

Delsummen $S_n$ av leieinntektene. Etter 30 år er to tredjedeler av hele verdien på plass, og kurven nærmer seg taket $S = 1\,250\,000$ kr uten noen gang å nå det.

📝Oppgave 4

Uendelige geometriske rekker. Sjekk alltid konvergenskravet før du bruker formelen.

Bestem summen av $100 + 80 + 64 + \ldots$

Bestem summen av $\displaystyle 6 + 2 + \frac{2}{3} + \ldots$

Har rekken $2 + 2{,}1 + 2{,}205 + \ldots$ en sum?

Et vannkraftverk gir eieren $80\,000$ kr i året på slutten av hvert år, uten sluttdato. Kalkulasjonsrenten er $5\,\%$ . Hva er nåverdien?

Kalkulasjonsrenten i d) settes ned til $2{,}5\,\%$ . Hva blir nåverdien nå, og hva forteller det?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5 — hvor mange innskudd må til?

Emma fra Eksempel 3 vil ha $500\,000$ kr på kontoen. Hvor mange innskudd på $20\,000$ kr må hun gjøre, når renten er $3{,}5\,\%$ ?

Løsning:

Hva må vi finne? Antall ledd $n$ i rekken, slik at summen blir minst $500\,000$ kr.

Vi setter opp likningen med $n$ som ukjent:

$\displaystyle 20\,000 \cdot 1{,}035 \cdot \frac{1{,}035^{\,n} - 1}{0{,}035} = 500\,000$

Vi ganger med $0{,}035$ på begge sider:

$20\,700 \cdot \left(1{,}035^{\,n} - 1\right) = 17\,500$

Vi deler på $20\,700$ på begge sider:

$\displaystyle 1{,}035^{\,n} - 1 = \frac{17\,500}{20\,700} \approx 0{,}845411$

Vi legger til $1$ på begge sider:

$1{,}035^{\,n} = 1{,}845411$

Nå står den ukjente i eksponenten. Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider, som i kapittel 3.4:

$\ln\left(1{,}035^{\,n}\right) = \ln 1{,}845411$

$n \cdot \ln 1{,}035 = \ln 1{,}845411$

$\displaystyle n = \frac{\ln 1{,}845411}{\ln 1{,}035} \approx 17{,}81$

Svar: Emma må gjøre 18 innskudd.

NB: Her runder vi opp, ikke til nærmeste heltall. Etter 17 innskudd står det $469\,993{,}83$ kr — ikke nok. Etter 18 innskudd står det $507\,143{,}61$ kr. Når spørsmålet er «hvor mange må til for å nå et mål», er svaret alltid det første hele antallet som passerer målet.

Prøv selv: fast årlig sparebeløp

Sett inn sparebeløpet, renten og antall innskudd, og se hva rekken summerer seg til. Prøv å doble antall innskudd og legg merke til at summen mer enn dobles — det er rentesrenten i rekken.

Årlig innskudd a

Rente r

Antall år n

\displaystyle S_n = a \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}

234 628 kr

Sluttverdifaktor

11,7314

Sum av innskudd

200 000 kr

Renteinntekter

34 628 kr

Oppsummering

- En rekke er geometrisk når forholdet mellom naboledd er det samme hele veien. Dette forholdet er kvotienten $k$ .
- Ledd nummer $n$ : $a_n = a_1 \cdot k^{\,n-1}$
- Sumformelen: $S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$ for $k \ne 1$ . Beviset går ut på å gange summen med $k$ og trekke fra — da faller alle mellomleddene bort.
- Uendelig rekke: konvergerer bare når $|k| < 1$ , og da er $S = \dfrac{a_1}{1-k}$ . Konvergenskravet sjekkes først.
- I økonomi er kvotienten nesten alltid en vekstfaktor: $k = v$ når beløp vokser framover i tid, og $\displaystyle k = \frac{1}{v}$ når beløp flyttes bakover i tid (nåverdi).
- Fast sparebeløp hvert år: snu summen så det minste leddet står først, så er $a_1$ verdien av det siste innskuddet og $n$ er antall innskudd.
- Evigvarende årlig beløp $B$ med rente $r$ som desimaltall har nåverdi $\dfrac{B}{r}$ .

📝Oppgave 5

Samleoppgave, Del 2 — regneark. Jonas setter inn penger på en aksjesparekonto 1. januar hvert år i 20 år. Det første innskuddet er

24\,000

kr, og han øker innskuddet med

3\,\%

hvert år. Kontoen gir

4\,\%

avkastning i året.

Lag et regneark med innskuddsnummer i kolonne A (1 til 20), innskuddsbeløpet i kolonne B og verdien av det innskuddet 31. desember i år 20 i kolonne C.

Hvilke formler setter du i B2 og C2? (Innskuddsnummeret står i A2.)

Hvor stort er det tjuende innskuddet?

Hvor mye står på kontoen 31. desember i år 20? Bruk =SUMMER(C2:C21).

Vis at verdiene i kolonne C danner en geometrisk rekke, og bestem kvotienten. Regn ut summen med sumformelen, og sammenlign med c).

Hvor mye av sluttbeløpet har Jonas satt inn selv, og hvor mye er avkastning?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgave — drøfting. En stiftelse tilbyr å betale ut

60\,000

kr i året, på slutten av hvert år, uten sluttdato. Kalkulasjonsrenten er

4\,\%

. Rund av til to desimaler.

Hva er nåverdien av den evigvarende utbetalingen?

Hva er nåverdien dersom utbetalingene i stedet varer i 25 år?

Hvor stor andel av den evigvarende nåverdien ligger i de 25 første årene?

Hvor mange år må utbetalingene vare før nåverdien har passert $90\,\%$ av den evigvarende?

Drøft: er «evigvarende» en brukbar modell her? Hva ville skjedd med regnestykket dersom kalkulasjonsrenten var $0$ ?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.