3.5 Pris som funksjon av kvantum

Steg 1 — stigningstallet. Vi bruker formelen for stigningstall:

$$a = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1} = \frac{600 - 900}{45 - 30} = \frac{-300}{15} = -20$$

Tolkningen, i to trinn. Først generelt: hver gang $p$ øker med 1, synker $q$ med 20. Så i bakeriets språk: for hver krone prisen settes opp, selger de 20 færre kaker i måneden.

Steg 2 — hele funksjonen. Vi tar utgangspunkt i punktet $(30,\ 900)$:

$$q(p) = 900 - 20(p - 30)$$
$$q(p) = 900 - 20p + 600$$
$$q(p) = 1500 - 20p$$

Kontroll i det andre punktet:

$$q(45) = 1500 - 20 \cdot 45 = 1500 - 900 = 600$$

så det stemmer.

Svar: $q(p) = 1500 - 20p$.

De to tallene har hver sin betydning: $1500$ er hvor mange kaker bakeriet ville blitt kvitt gratis, og $20$ er prisfølsomheten. Ved $p = 75$ kroner er $q = 0$ — da er det ingen kjøpere igjen.

Vi løser likningen for $p$:

$$q = 1500 - 20p \qquad | + 20p$$
$$q + 20p = 1500 \qquad | - q$$
$$20p = 1500 - q \qquad | : 20$$
$$p = \frac{1500 - q}{20}$$

Vi deler opp brøken, så uttrykket blir lettere å lese:

$$p(q) = \frac{1500}{20} - \frac{q}{20} = 75 - \frac{q}{20}$$

Kontroll. I Eksempel 1 fant vi at prisen $45$ kroner gir $600$ kaker. Setter vi $q = 600$ inn i den omvendte, må vi komme tilbake til $45$:

$$p(600) = 75 - \frac{600}{20} = 75 - 30 = 45$$

så det stemmer.

Svar: $p(q) = 75 - \dfrac{q}{20}$, og prisen må være $45$ kroner for å selge $600$ kaker.

Legg merke til hva tallene betyr nå: $75$ er den prisen der salget er null (den høyeste prisen noen vil betale i modellen), og $\displaystyle \frac{1}{20}$ sier hvor mye prisen må ned for hver ekstra kake bakeriet vil bli kvitt.

Setter bakeriet prisen opp med én krone, selger de 20 færre kaker.

I $\displaystyle p(q) = 75 - \frac{q}{20}$ er stigningstallet $\displaystyle -\frac{1}{20} = -0{,}05$. Enheten er kroner per kake:

Skal bakeriet selge én kake til, må prisen ned med 5 øre.

b) De to tallene er hverandres omvendte:

$$-20 \qquad \text{og} \qquad -\frac{1}{20}$$

Ganger vi dem sammen, får vi $\displaystyle (-20) \cdot \left(-\frac{1}{20}\right) = 1$.

Svar: a) $-20$ kaker per krone og $-0{,}05$ kroner per kake. b) De er hverandres omvendte; produktet er 1.

Hvorfor må det være slik? Se på enhetene. Det ene tallet måles i kaker per krone, det andre i kroner per kake. Snur du en brøk på hodet, snur enheten seg med. Det er den samme sammenhengen sett fra hver sin side — akkurat som at «tre kroner per kilo» og «ett tredjedels kilo per krone» sier det samme.

NB: Det er lett å blande de to tallene. Spør deg alltid: hva er det jeg endrer, og hva er det jeg vil vite? Endrer du prisen og vil vite salget, bruker du $-20$. Endrer du salget og vil vite prisen, bruker du $-0{,}05$.

$$I(q) = q \cdot p(q)$$
$$I(q) = q\left(75 - \frac{q}{20}\right)$$

Vi ganger ut parentesen:

$$I(q) = 75q - \frac{q^{2}}{20}$$

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran $q^2$, så grafen er en parabel med toppunkt.

b) Nullpunktene finner vi ved å faktorisere:

$$q\left(75 - \frac{q}{20}\right) = 0$$

Nullregelen gir $q = 0$ eller $\displaystyle 75 - \frac{q}{20} = 0$, altså $q = 1500$.

Parabelen er symmetrisk om midten mellom nullpunktene:

$$q = \frac{0 + 1500}{2} = 750$$

$$I(750) = 75 \cdot 750 - \frac{750^{2}}{20} = 56\,250 - \frac{562\,500}{20} = 56\,250 - 28\,125 = 28\,125$$

c)

$$p(750) = 75 - \frac{750}{20} = 75 - 37{,}5 = 37{,}5$$

Svar: a) $I(q) = 75q - \dfrac{q^2}{20}$. b) $750$ kaker gir størst inntekt, $28\,125$ kroner. c) Prisen må være $37{,}50$ kroner.

Hvorfor finnes det et toppunkt i det hele tatt? Fordi to krefter drar mot hverandre. Setter bakeriet prisen opp, tjener de mer på hver kake — men selger færre. Setter de prisen ned, selger de flere — men tjener mindre på hver. Et sted imellom ligger det beste punktet, og her er det midt mellom de to ytterpunktene.

NB: Størst inntekt er ikke det samme som størst overskudd. Kakene koster noe å lage, og da flytter det beste punktet seg. Det regner vi på i kapittel 7 — og da bruker vi derivasjon i stedet for symmetri, fordi funksjonene sjelden er så snille som denne.

Feilen er ikke i regningen — den er riktig. Feilen er at funksjonen ble brukt utenfor sitt gyldighetsområde.

Hvilket område gjelder? To krav må være oppfylt samtidig:

Krav 1 — antallet kan ikke være negativt: $q \geq 0$

$$1500 - 20p \geq 0 \qquad | + 20p$$
$$1500 \geq 20p \qquad | : 20$$
$$75 \geq p$$

Krav 2 — prisen kan ikke være negativ: $p \geq 0$.

Til sammen:

$$0 \leq p \leq 75 \qquad \text{og} \qquad 0 \leq q \leq 1500$$

Modellen gir tall for alle priser, men bare tallene i det grønne området har mening. Ved $p = 100$ er svaret $-500$ kaker — regningen er riktig, men spørsmålet ligger utenfor gyldighetsområdet.

Svar: Modellen gjelder for priser fra og med 0 til og med 75 kroner, som svarer til et salg fra og med 0 til og med 1500 kaker. Ved $p = 100$ er vi utenfor, og svaret er meningsløst.

NB — det viktigste forbeholdet er ikke matematisk. Bakeriet har bare målt to priser: 30 og 45 kroner. At sammenhengen er lineær akkurat der, betyr ikke at den er det ved 5 kroner eller ved 70. Kanskje kommer det helt nye kundegrupper når kaken er billig, og kanskje forsvinner de siste kundene brått når den blir dyr.

Innenfor 30–45 kroner er modellen en måling. Utenfor er den en antakelse. Begge deler kan være nyttige, men de er ikke like sterke, og en anbefaling bør si hvilken av de to den bygger på.