3.4 Renteregning med e og ln

Vi setter opp likningen:

$$45\,000 \cdot 1{,}035^{\,n} = 80\,000 \qquad | : 45\,000$$

$$1{,}035^{\,n} = \frac{80\,000}{45\,000} \approx 1{,}777778$$

Nå står den ukjente i eksponenten, og vi tar $\ln$ på begge sider:

$$\ln\left(1{,}035^{\,n}\right) = \ln 1{,}777778 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

Potensregelen henter $n$ ned:

$$n \cdot \ln 1{,}035 = \ln 1{,}777778 \qquad | : \ln 1{,}035$$

$$n = \frac{\ln 1{,}777778}{\ln 1{,}035} \approx \frac{0{,}575364}{0{,}034401} \approx 16{,}725$$

Kontroll. Renten tilskrives bare én gang i året, så pengene må stå ut det syttende året:

$$K(16) = 45\,000 \cdot 1{,}035^{16} \approx 78\,029{,}37$$
$$K(17) = 45\,000 \cdot 1{,}035^{17} \approx 80\,760{,}40$$

Svar: Modellen gir $16{,}73$ år. Med årlig rentetilskriving må pengene stå i 17 år før Jonas har $80\,000$ kroner.

NB: Legg merke til forskjellen på de to svarene. Formelen gir et desimaltall — det er riktig for en modell som vokser jevnt. Men banken skriver renten inn én gang i året, og da hjelper det ikke å ta ut pengene etter $16{,}73$ år. Svar på det oppgaven faktisk spør om, og si hvilken av de to du gir.

$$1{,}05^{\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2 \qquad | : \ln 1{,}05$$
$$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$$

b) Med kontinuerlig rente er $r = 0{,}05$:

$$e^{\,0{,}05\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$0{,}05\,t = \ln 2 \qquad | : 0{,}05$$
$$t = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}8629$$

c) De to tommelfingerreglene:

$$\frac{72}{5} = 14{,}4 \qquad\qquad \frac{69{,}3}{5} = 13{,}86$$

Svar: a) Omtrent $14{,}21$ år. b) Omtrent $13{,}86$ år. c) 72-regelen treffer den årlige best; $69{,}3$-regelen treffer den kontinuerlige på to desimaler.

Den kontinuerlige modellen dobler raskere fordi renten hele tiden legges til underveis og begynner å gi avkastning med det samme. I formlene ser vi det på nevneren: $\ln 1{,}05 \approx 0{,}0488$ er litt mindre enn $0{,}05$. Mindre nevner gir større brøk, og dermed lengre tid — så det stemmer.

Og $69{,}3$-regelen er ikke lenger noe mysterium. Den er $100 \ln 2 \approx 69{,}31$ avrundet til én desimal, akkurat som vi viste i 3.3 Eksempel 5.

Vi begynner likt i begge tilfeller, ved å dele bort startbeløpet:

$$\frac{400\,000}{250\,000} = 1{,}6$$

a) Kontinuerlig. Da er modellen $K_0 e^{\,r\,t}$:

$$e^{\,8r} = 1{,}6 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$8r = \ln 1{,}6 \qquad | : 8$$
$$r = \frac{\ln 1{,}6}{8} \approx \frac{0{,}470004}{8} \approx 0{,}058750$$

Som prosent: $p = 100r \approx 5{,}88\,\%$.

b) Årlig. Da er modellen $K_0 v^{\,n}$, og nå står den ukjente i grunntallet — ikke i eksponenten. Da trenger vi ikke logaritmer i det hele tatt; vi tar åttenderoten, akkurat som i 3.1:

$$v^{8} = 1{,}6$$
$$v = \sqrt[8]{1{,}6} \approx 1{,}060511$$

Som prosent: $p = (v - 1) \cdot 100 \approx 6{,}05\,\%$.

Kontroll: $250\,000 \cdot 1{,}060511^{8} \approx 400\,000$ og $250\,000 \cdot e^{8 \cdot 0{,}05875} \approx 400\,000$ — så det stemmer begge veier.

Svar: a) Omtrent $5{,}88\,\%$ kontinuerlig rente. b) Omtrent $6{,}05\,\%$ årlig rente.

NB — den viktigste lærdommen i dette eksempelet: spør deg alltid hvor den ukjente står. Står den i eksponenten, tar du $\ln$. Står den i grunntallet, tar du roten. De to tilfellene ser like ut i oppgaveteksten, men krever helt forskjellige verktøy.

At de to rentesatsene er litt ulike, er ventet: den kontinuerlige jobber «oftere» og trenger derfor en litt lavere sats for å komme like langt.

$$0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000} \approx 0{,}263158 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

$$t \cdot \ln 0{,}86 = \ln 0{,}263158 \qquad | : \ln 0{,}86$$

$$t = \frac{\ln 0{,}263158}{\ln 0{,}86} \approx \frac{-1{,}335001}{-0{,}150823} \approx 8{,}8514$$

Legg merke til at begge tallene i brøken er negative. Det er ikke en feil: logaritmen av et tall under 1 er negativ, og her er både $0{,}263158$ og $0{,}86$ under 1. To negative tall delt på hverandre gir et positivt svar — og tiden skal jo være positiv.

b) Halvparten av $380\,000$ er $190\,000$, men vi trenger ikke det tallet i det hele tatt. Vi deler bort startverdien og får

$$0{,}86^{\,t} = 0{,}5$$
$$t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}86} \approx \frac{-0{,}693147}{-0{,}150823} \approx 4{,}5958$$

Kontroll: $V(4{,}5958) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{4{,}5958} \approx 189\,999$ kroner — så det stemmer.

Halveringstiden er den samme uansett hvor vi begynner å måle: det tar $4{,}60$ år å gå fra 380 000 til 190 000 kr, og like lang tid videre ned til 95 000 kr.

Svar: a) Etter omtrent $8{,}85$ år. b) Halveringstiden er omtrent $4{,}60$ år.

Tabellsvaret fra 3.2 var «mellom 8 og 9 år», og $8{,}85$ ligger nettopp der. Forskjellen er at vi nå har det eksakte tallet, og at regningen tok tre linjer i stedet for en tabell.

NB: Halveringstiden på $4{,}60$ år betyr at bilen mister halve verdien to ganger i løpet av drøyt ni år. Etter $2 \cdot 4{,}5958 \approx 9{,}19$ år er den altså verdt en fjerdedel — og en fjerdedel av $380\,000$ er $95\,000$, som passer med svaret i a).

Vi setter uttrykkene lik hverandre:

$$100\,000 \cdot 1{,}045^{\,t} = 92\,000 \cdot 1{,}055^{\,t}$$

Nå samler vi potensene på én side og tallene på den andre. Først deler vi på $1{,}045^{\,t}$ på begge sider, så på $92\,000$:

$$100\,000 = 92\,000 \cdot \frac{1{,}055^{\,t}}{1{,}045^{\,t}} \qquad | : 92\,000$$

$$\frac{100\,000}{92\,000} = \left(\frac{1{,}055}{1{,}045}\right)^{\,t}$$

(Her brukte vi at $\displaystyle \frac{a^t}{b^t} = \left(\frac{a}{b}\right)^t$.)

$$1{,}086957 = 1{,}009569^{\,t} \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

$$\ln 1{,}086957 = t \cdot \ln 1{,}009569 \qquad | : \ln 1{,}009569$$

$$t = \frac{\ln 1{,}086957}{\ln 1{,}009569} \approx \frac{0{,}083382}{0{,}009524} \approx 8{,}755$$

Kontroll: $A(8{,}755) \approx 147\,016$ kroner og $B(8{,}755) \approx 147\,016$ kroner — så det stemmer.

Krysningstidspunktet avgjør valget: skal pengene stå kortere enn $8{,}76$ år, er A best; skal de stå lenger, er B best.

Svar: De to avtalene er like store etter omtrent $8{,}76$ år. Før det er A størst, etter det er B størst.

Hva svaret brukes til. Skal pengene stå i under 8–9 år, velger du A. Skal de stå lenger, velger du B. Krysningstidspunktet er altså ikke bare et tall — det er den opplysningen som avgjør valget, og den avhenger av hvor lenge pengene skal stå, ikke av hvilken rente som ser høyest ut i annonsen.