3.3 Den naturlige logaritmen | Matematikk for økonomi

ln som omvendt av e^x, logaritmeregler og å løse likninger med ukjent eksponent.

45 min

6 oppgaver

Naturlig logaritmeLogaritmeregler

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Operasjonen som henter eksponenten ned

I 3.2 stanset vi tre ganger på det samme stedet.

$1{,}035^{\,t} = 2 \qquad 0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000} \qquad 1{,}07^{\,t} = \frac{A(t)}{50\,000}$

Hver gang sto den ukjente oppe i eksponenten, og hver gang måtte vi sette opp en tabell og lete.

Det er ikke fordi vi regnet feil. Det er fordi vi manglet et verktøy.

Tenk på hvordan vi ellers løser likninger: vi gjør den motsatte operasjonen på begge sider. Er noe lagt til, trekker vi fra. Er noe ganget, deler vi. Er noe kvadrert, tar vi kvadratroten. Hver operasjon har en motsatt.

Også $e^{\,x}$ har en motsatt operasjon. Den heter den naturlige logaritmen, skrives $\ln$ , og er hele innholdet i dette kapittelet. Når vi har den, kan vi løse alle likningene over på tre linjer.

Den naturlige logaritmen

a > 0

✏️Eksempel 1: Logaritmer du kan regne i hodet

Regn ut uten kalkulator.

a) $\ln 1$ b) $\ln e$ c) $\ln\left(e^{5}\right)$ d) $\displaystyle \ln\left(\frac{1}{e}\right)$ e) $e^{\ln 7}$

Spørsmålet er hver gang det samme: hvilken eksponent må $e$ ha?

a) $e^{0} = 1$ , så
$\ln 1 = 0$

b) $e^{1} = e$ , så
$\ln e = 1$

c) Her står eksponenten allerede der:
$\ln\left(e^{5}\right) = 5$

d) Vi skriver om brøken til potensform først — samme knep som i 3.1:
$\frac{1}{e} = e^{-1} \qquad \Longrightarrow \qquad \ln\left(\frac{1}{e}\right) = -1$

e) Her er de to operasjonene satt rett etter hverandre, og de opphever hverandre:
$e^{\ln 7} = 7$

Svar: a) $0$ , b) $1$ , c) $5$ , d) $-1$ , e) $7$ .

NB til d): Logaritmen av et tall mellom 0 og 1 er negativ. Det er ikke det samme som at logaritmen av et negativt tall finnes — den gjør ikke det. Selve tallet inni må være positivt; svaret kan gjerne være negativt.

Hva figuren viser

At $\ln$ gjør det motsatte av $e^{\,x}$ , ser vi rett i grafene: de er speilbilder av hverandre om linja $y = x$ .

- $e^{\,x}$ går gjennom $(0, 1)$ . $\ln x$ går gjennom $(1, 0)$ — de samme to tallene, byttet om.
- $e^{\,x}$ er definert for alle $x$ og gir alltid et positivt svar. $\ln x$ er definert bare for positive $x$ , men kan gi alle svar.
- $e^{\,x}$ stiger stadig brattere. $\ln x$ stiger stadig saktere.

Den siste egenskapen er verdt en økonomisk kommentar. $\ln x$ vokser uten stopp, men ufattelig sakte: for å komme fra $\ln x = 10$ til $\ln x = 11$ må $x$ ganges med $e \approx 2{,}718$ . Derfor dukker logaritmen opp i modeller med avtakende utbytte — som annonsekronene vi møter igjen i kapittel 6.

📜Logaritmereglene

For alle

a > 0

b > 0

og alle tall

k

$\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$

$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

$\ln\left(a^{\,k}\right) = k \cdot \ln a$

I tillegg er $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$ .

Den tredje regelen er den vi kommer til å bruke mest. Den gjør nemlig nøyaktig det vi trenger: den henter eksponenten ned som faktor.

ADVARSEL — den vanligste feilen i hele kapittelet:

$\ln(a + b) \ \neq \ \ln a + \ln b$

Reglene gjelder for produkt, ikke for sum. Prøv med tall: $\ln(2 + 3) = \ln 5 \approx 1{,}609$ , mens $\ln 2 + \ln 3 \approx 1{,}792$ . Det er to forskjellige tall. En sum inni en logaritme lar seg ikke deles opp — punktum.

✏️Eksempel 2: Reglene i bruk

a) Skriv $\ln 2 + \ln 3$ som én logaritme, og kontroller med kalkulator.

b) Skriv $\ln\left(1{,}05^{12}\right)$ uten eksponent.

c) En kollega skriver $\ln(100 + 50) = \ln 100 + \ln 50$ . Har hun rett?

a) Sum av logaritmer blir logaritmen av produktet:

$\ln 2 + \ln 3 = \ln(2 \cdot 3) = \ln 6$

Kontroll: $\ln 2 \approx 0{,}693147$ og $\ln 3 \approx 1{,}098612$ . Summen er $1{,}791759$ , og $\ln 6 \approx 1{,}791759$ — så det stemmer.

b) Her bruker vi potensregelen og henter eksponenten ned:

$\ln\left(1{,}05^{12}\right) = 12 \cdot \ln 1{,}05$

$12 \cdot 0{,}048790 \approx 0{,}585482$

(Kontroll: $1{,}05^{12} \approx 1{,}795856$ , og $\ln 1{,}795856 \approx 0{,}585482$ — så det stemmer.)

c) Nei. Her står det en sum inni logaritmen, og da gjelder ingen av reglene. Vi regner ut begge sider:

$\ln(100 + 50) = \ln 150 \approx 5{,}0106$
$\ln 100 + \ln 50 \approx 4{,}6052 + 3{,}9120 = 8{,}5172$

Tallene er ikke i nærheten av hverandre.

Svar: a) $\ln 6$ . b) $12 \ln 1{,}05 \approx 0{,}5855$ . c) Nei — reglene gjelder for produkt, ikke for sum.

NB til c): Det kollegaen kunne gjort, er $\ln(100 \cdot 50) = \ln 100 + \ln 50$ . Forskjellen mellom $+$ og $\cdot$ inni parentesen er hele forskjellen.

📝Oppgave 3.3.1

Regn ut uten kalkulator. Svarene er hele tall.

\ln 1

\ln e

\ln\left(e^{3}\right)

\ln\left(\dfrac{1}{e^{2}}\right)

e^{\ln 5}

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.3.2

Skriv om med logaritmereglene.

Skriv $\ln 5 + \ln 4$ som én logaritme.

Skriv $\ln 30 - \ln 6$ som én logaritme.

Skriv $\ln\left(x^{4}\right)$ uten eksponent.

Skriv $3 \ln 2$ som én logaritme.

Skriv $\ln\left(1{,}06^{25}\right)$ uten eksponent, og regn ut verdien med fire desimaler.

Løs oppgaven

📜Å løse likninger med

e

\ln

Det er to typer, og de løses hver sin vei — men prinsippet er det samme som for alle likninger: samme operasjon på begge sider.

Type 1 — den ukjente står i eksponenten. Da tar vi $\ln$ på begge sider:

$e^{\,x} = 20 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,x}\right) = \ln 20$
$x = \ln 20$

Type 2 — den ukjente står inne i en logaritme. Da opphøyer vi $e$ i begge sider:

$\ln x = 2{,}5 \qquad |\ \text{opphøy } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{2{,}5}$
$x = e^{2{,}5}$

NB: Skriv alltid den mellomste linja. Det er der operasjonen faktisk skjer, og det er den som viser at $\ln$ og $e$ opphever hverandre. Hopper du rett fra $\ln x = 2{,}5$ til $x = e^{2{,}5}$ , ser det ut som en regel du har pugget. Skriver du linja, ser det ut som det er — den motsatte operasjonen på begge sider, akkurat som når du deler bort en faktor.

Har den ukjente et grunntall som ikke er $e$ — for eksempel $1{,}035^{\,t} = 2$ — tar vi $\ln$ på begge sider og bruker så potensregelen til å hente eksponenten ned.

✏️Eksempel 3: Ukjent i eksponenten

Løs likningene.

a) $e^{\,x} = 20$

b) $1{,}035^{\,t} = 2$

a) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar

\ln

på begge sider:

$e^{\,x} = 20 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,x}\right) = \ln 20$
$x = \ln 20 \approx 2{,}9957$

Kontroll: $e^{2{,}9957} \approx 20$ — så det stemmer.

b) Her er grunntallet $1{,}035$ , ikke $e$ . Vi tar $\ln$ på begge sider likevel:

$1{,}035^{\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(1{,}035^{\,t}\right) = \ln 2$

Nå bruker vi potensregelen på venstresiden. Det er den som henter $t$ ned fra eksponenten:

$t \cdot \ln 1{,}035 = \ln 2 \qquad | : \ln 1{,}035$
$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}035}$

$t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}034401} \approx 20{,}1488$

Svar: a) $x = \ln 20 \approx 2{,}9957$ . b) $t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035} \approx 20{,}15$ .

Dette er doblingstiden fra 3.2 Eksempel 4. Der fant vi «mellom 20 og 21 år» ved å prøve oss fram i en tabell med fire linjer. Nå er svaret eksakt, og regningen tok tre linjer.

NB — den vanligste feilen her: $\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035}$ er ikke det samme som $\ln\left(\dfrac{2}{1{,}035}\right)$ . Den ene er en brøk av to logaritmer, den andre er logaritmen av en brøk. Regn dem ut, så ser du: $20{,}15$ mot $0{,}6587$ .

📝Oppgave 3.3.3

Gjør det samme som Eksempel 3 a). Løs likningene. Oppgi svaret med fire desimaler.

e^{\,x} = 50

e^{\,x} = 0{,}4

4e^{\,x} = 100

e^{\,0{,}05x} = 3

e^{\,0{,}08t} = 2

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.3.4

Gjør det samme som Eksempel 3 b). Løs for $t$ , og oppgi svaret med fire desimaler.

1{,}07^{\,t} = 2

1{,}04^{\,t} = 1{,}5

0{,}92^{\,t} = 0{,}5

Varebilen fra 3.2: løs $380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t} = 100\,000$ .

Sammenlikn svaret i d) med tabellsvaret i 3.2 Eksempel 2. Stemmer de overens?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Ukjent inne i logaritmen

Løs likningene.

a) $\ln x = 2{,}5$

b) $3 + 2 \ln x = 11$

a) Den ukjente står inne i logaritmen, så vi opphøyer

e

i begge sider:

$\ln x = 2{,}5 \qquad |\ \text{opphøy } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{2{,}5}$
$x = e^{2{,}5} \approx 12{,}1825$

Den midterste linja er der jobben gjøres: $e^{\ln x}$ er $x$ , fordi de to operasjonene opphever hverandre.

b) Her må vi rydde først — logaritmen skal stå alene før vi opphøyer:

$3 + 2\ln x = 11 \qquad | -3$
$2\ln x = 8 \qquad | : 2$
$\ln x = 4 \qquad |\ \text{opphøy } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{4}$
$x = e^{4} \approx 54{,}5982$

Kontroll: $3 + 2 \cdot \ln\left(e^{4}\right) = 3 + 2 \cdot 4 = 11$ — så det stemmer.

Svar: a) $x = e^{2{,}5} \approx 12{,}18$ . b) $x = e^{4} \approx 54{,}60$ .

NB: Rekkefølgen i b) er den samme som i alle andre likninger: rydd til logaritmen står alene, og opphøy så. Å opphøye $e$ mens det fortsatt står et $+3$ utenfor, hjelper ingenting — for $e^{3 + 2\ln x}$ er ikke noe enklere enn det vi startet med.

📝Oppgave 3.3.5

Løs likningene. Skriv den linja der du opphøyer $e$ i begge sider. Oppgi svaret med fire desimaler der det ikke er eksakt.

\ln x = 3

2 \ln x + 1 = 7

\ln(2x) = 4

\ln x + \ln 4 = \ln 20

\ln x = -1

. Finnes det en løsning? Begrunn.

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Tilbake til 69,3-tallet

I kapittel 1.5 fant vi et merkelig mønster: med kontinuerlig rente er produktet av renten i prosent og doblingstiden i år alltid omtrent $69{,}3$ . Vis hvorfor.

Hva vet vi? Med kontinuerlig rente er kapitalen

K_0 \cdot e^{\,r\,t}

, der

r

er renten som desimaltall. Hva må vi finne? Doblingstiden, uttrykt ved

r

Vi setter opp likningen for dobling:

$K_0 \cdot e^{\,r\,t} = 2 \cdot K_0 \qquad | : K_0$
$e^{\,r\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,r\,t}\right) = \ln 2$
$r \cdot t = \ln 2 \qquad | : r$
$t = \frac{\ln 2}{r}$

Dette er doblingstidsformelen for kontinuerlig rente, og den er eksakt.

Nå ganger vi doblingstiden med renten i prosent. Renten i prosent er $p = 100r$ , så

$p \cdot t = 100r \cdot \frac{\ln 2}{r} = 100 \cdot \ln 2$

Her forkortes $r$ bort — og det er nettopp derfor produktet er det samme uansett rentenivå. Til slutt setter vi inn tallet:

$100 \cdot \ln 2 \approx 100 \cdot 0{,}693147 = 69{,}3147$

Svar: Produktet er $100 \ln 2 \approx 69{,}31$ , uavhengig av renten.

Mysteriet fra 1.5 var altså tallet $\ln 2$ hele tiden. Og tommelfingerregelen « $\displaystyle \frac{72}{p}$ » er en avrunding oppover av $\displaystyle \frac{69{,}3}{p}$ — 72 er valgt fordi det lar seg dele på 2, 3, 4, 6, 8, 9 og 12, ikke fordi det er mer riktig.

Oppsummering

Definisjonen: $\ln a$ er den eksponenten $e$ må ha for å bli $a$ . Bare definert for $a > 0$ .

$e^{\ln a} = a \qquad\qquad \ln\left(e^{\,x}\right) = x$

Reglene:

Regel
$\ln(a \cdot b)$	$= \ln a + \ln b$
$\displaystyle \ln\left(\frac{a}{b}\right)$	$= \ln a - \ln b$
$\ln\left(a^{k}\right)$	$= k \cdot \ln a$
$\ln 1 = 0$	$\ln e = 1$

De to likningstypene:

Den ukjente står	Operasjon på begge sider	Eksempel
i eksponenten	ta $\ln$	$e^{\,x} = 20 \Rightarrow x = \ln 20$
inne i logaritmen	opphøy $e$	$\ln x = 4 \Rightarrow x = e^{4}$

Og har den ukjente et annet grunntall enn

e

: ta

\ln

på begge sider, og bruk potensregelen til å hente eksponenten ned.

b^{\,t} = c \quad \Longrightarrow \quad t \ln b = \ln c \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{\ln c}{\ln b}

Arbeidsmåten:

1. Rydd så logaritmen — eller potensen — står alene.

2. Gjør den motsatte operasjonen på begge sider, og skriv linja der du gjør det.
3. Regn ut.
4. Kontroller ved å sette svaret inn i den opprinnelige likningen.
Vanlige feil:

- $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ . Galt. Reglene gjelder produkt, ikke sum.

- $\dfrac{\ln c}{\ln b} = \ln\left(\dfrac{c}{b}\right)$ . Galt. En brøk av logaritmer er ikke logaritmen av en brøk.

- Å opphøye $e$ før logaritmen står alene.
- Å tro at $\ln x$ ikke kan være negativ. Den kan det — for alle $x$ mellom 0 og 1.

📝Oppgave 3.3.6

Del 2 — regneark. En prisindeks står i 100 i dag og stiger med

3{,}2\,\%

i året, slik at

P(t) = 100 \cdot 1{,}032^{\,t}

Lag et regneark med årstall i kolonne A og indeksen i kolonne B (=100*1,032^A2). Den naturlige logaritmen heter LN() i regnearket, og $e^{x}$ heter EKSP().

Hva er indeksen etter 5 år og etter 10 år? Rund av til to desimaler.

Regn ut nøyaktig når prisnivået er doblet. Bruk formelen $\displaystyle t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}032}$ , eller =LN(2)/LN(1,032) i regnearket.

Kontroller svaret i b) mot regnearket: hva er $P(22)$ og $P(23)$ ?

Når er prisnivået tredoblet? Hvor mange ganger så lang tid tar det som doblingen?

En avisartikkel skriver: «Prisene dobles på 22 år. Etter 44 år er de altså firedoblet, og etter 66 år er de seksdoblet.» Vurder de to påstandene.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.