3.2 Eksponentialfunksjoner

f(x) = a·b^x, vekst og fall, doblingstid og halveringstid.

45 min

6 oppgaver

EksponentialfunksjonerDoblingstid

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Nå flytter $x$ seg opp i eksponenten

I 3.1 sto $x$ i grunntallet. Nå bytter de to plass, og da endrer alt seg.

Du har egentlig regnet med eksponentialfunksjoner siden kapittel 1. Formelen for sparing med årlig rentetilskriving,

$K_n = K_0 \cdot v^{\,n}$

er en eksponentialfunksjon — vi kalte den bare ikke det. Startbeløpet $K_0$ er koeffisienten, vekstfaktoren $v$ er grunntallet, og antall år $n$ er den variable.

Det nye i dette kapittelet er at vi ser på hele grafen, ikke bare på enkeltverdier. Det gir oss et språk for alt som vokser eller faller med en fast prosent: bankinnskudd, lønn, priser, kundetall, verdien på en bil.

Og det gir oss et problem. Vi klarer å regne ut hvor mye etter et gitt antall år. Men spør noen når beløpet har doblet seg, står vi fast — den ukjente er oppe i eksponenten, og der kommer vi ikke til med de operasjonene vi har. I dette kapittelet prøver vi oss fram med tabell. I 3.3 får vi verktøyet som løser det én gang for alle.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^{\,x}

✏️Eksempel 1: Et innskudd som vokser

Hilde setter inn $25\,000$ kroner på en konto med $3{,}5\,\%$ årlig rente.

a) Sett opp en eksponentialfunksjon $B(t)$ for beløpet etter $t$ år.

b) Hvor mye står på kontoen etter 10 år? Etter 20 år?

Hva vet vi?

K_0 = 25\,000

kroner og

p = 3{,}5

. Hva må vi finne? Funksjonen, og to verdier av den.

a) Først vekstfaktoren:

$b = 1 + \frac{3{,}5}{100} = 1 + 0{,}035 = 1{,}035$

Startverdien er beløpet ved $t = 0$ , altså $25\,000$ . Da er

$B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}$

b) Vi setter inn:

$B(10) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{10} \approx 25\,000 \cdot 1{,}410599 \approx 35\,264{,}97$
$B(20) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{20} \approx 25\,000 \cdot 1{,}989789 \approx 49\,744{,}72$

Svar: a) $B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}$ . b) Omtrent $35\,265$ kroner etter 10 år og omtrent $49\,745$ kroner etter 20 år.

Legg merke til at beløpet ikke vokser like mye hvert tiår. De første ti årene ga omtrent $10\,265$ kroner, de neste ti ga omtrent $14\,480$ . Renten regnes av et stadig større beløp — det er nettopp det eksponentialfunksjonen beskriver, og det er grunnen til at grafen krummer oppover i stedet for å være en rett linje.

Vekst og fall — de to formene

To eksponentialfunksjoner med samme startverdi 100. Den ene har grunntall 1,25 og stiger fra 100 ved x = 0 til omtrent 931 ved x = 10; den andre har grunntall 0,8 og synker fra 100 til omtrent 11. Begge går gjennom punktet der x er 0 og y er 100, og ingen av dem krysser x-aksen.

100 \cdot 1{,}25^x

(vekst)

100 \cdot 0{,}8^x

(fall)

Det grafen alltid gjør

Uansett hvilke tall $a$ og $b$ har, gjelder dette for $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

- Grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, a)$ — startverdien.
- Grafen ligger alltid over $x$ -aksen. Den nærmer seg aksen, men treffer den aldri. ( $x$ -aksen er en asymptote.)
- Er $b > 1$ , stiger grafen stadig brattere. Er $0 < b < 1$ , synker den, og fallet blir slakere og slakere.

Det midterste punktet er verdt en kommentar i økonomi. En bil som faller $14\,\%$ i verdi hvert år, blir aldri verdiløs i modellen — den nærmer seg null uten å komme dit. I virkeligheten selges den til slutt for skrapverdi. Modellen har et gyldighetsområde, og den slutter å være nyttig lenge før den slutter å gi tall.

✏️Eksempel 2: En bil som faller i verdi

En varebil koster $380\,000$ kroner ny. Verdien faller med $14\,\%$ i året.

a) Sett opp en modell $V(t)$ for verdien etter $t$ år.

b) Hva er verdien etter 5 år?

c) Når er bilen verdt under $100\,000$ kroner?

a) Verdien faller, så vekstfaktoren er mindre enn 1:

$b = 1 - \frac{14}{100} = 1 - 0{,}14 = 0{,}86$

$V(t) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t}$

$V(5) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{5} \approx 380\,000 \cdot 0{,}470427 \approx 178\,762{,}27$

c) Her er den ukjente oppe i eksponenten, og vi har foreløpig ingen operasjon som henter den ned. Så vi setter opp en tabell og leter:

$t$	$V(t)$
8	113 702,81
9	97 784,42
10	84 094,60

Verdien passerer

100\,000

kroner mellom det åttende og det niende året. Etter 9 år er bilen for første gang verdt under

100\,000

kroner.
Svar: a)

V(t) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t}

. b) Omtrent

178\,762

kroner. c) Etter 9 år.
NB: Svaret i c) fant vi ved å prøve oss fram. Det virker, men det er tungvint — og det gir ikke et eksakt svar. I 3.3 lærer vi logaritmen, som løser likningen

\displaystyle 0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000}

direkte. Da kommer vi tilbake til nettopp denne bilen.

📝Oppgave 3.2.1

Regn ut funksjonsverdien, og oppgi om funksjonen beskriver vekst eller fall — og med hvor mange prosent per enhet.

f(x) = 200 \cdot 1{,}2^{\,x}

. Finn

f(3)

g(x) = 5000 \cdot 0{,}9^{\,x}

. Finn

g(3)

h(x) = 80 \cdot 1{,}5^{\,x}

. Finn

h(4)

k(x) = 12\,000 \cdot 0{,}75^{\,x}

. Finn

k(2)

Hva er startverdien i hver av funksjonene a–d?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.2

Gjør det samme som Eksempel 1. En nyutdannet begynner med en årslønn på $480\,000$ kroner. Lønnen forventes å øke med $2{,}8\,\%$ i året.

Sett opp en funksjon $L(t)$ for årslønnen etter $t$ år.

Hva er lønnen etter 5 år? Rund av til nærmeste krone.

Hva er lønnen etter 10 år?

Lag en tabell og finn ut når lønnen passerer $600\,000$ kroner.

En kollega sier: «Lønnen øker med $2{,}8\,\%$ , så etter 10 år har den økt med $28\,\%$ .» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.3

En entreprenør kjøper en gravemaskin til $1\,250\,000$ kroner. Verdien faller med $18\,\%$ i året.

Sett opp en funksjon $M(t)$ for verdien etter $t$ år.

Hva er verdien etter 3 år?

Hva er verdien etter 5 år?

Lag en tabell og finn det første hele året der verdien er under $400\,000$ kroner.

Entreprenøren planlegger å selge maskinen når den er verdt omtrent halvparten av kjøpesummen. Omtrent når er det?

Løs oppgaven

📜Å finne

a

b

fra to punkter

Framgangsmåten er den samme som for potensfunksjoner i 3.1 — vi deler for å bli kvitt

a

. Forskjellen er hvor eksponenten havner:

$\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a \cdot b^{\,x_2}}{a \cdot b^{\,x_1}} = b^{\,x_2 - x_1}$

1. Del funksjonsverdiene på hverandre. $a$ forsvinner, og eksponenten blir differansen mellom $x$ -verdiene.

2. Ta roten som svarer til differansen, og finn $b$ .

3. Sett $b$ inn i ett av punktene, og finn $a$ .

4. Kontroller i det andre punktet.

NB: I 3.1 ble eksponenten stående og grunntallene ble delt. Her er det motsatt — grunntallene er like, så eksponentene trekkes fra hverandre. Det er potensregelen $\displaystyle \frac{b^m}{b^n} = b^{\,m-n}$ som gjør jobben.

✏️Eksempel 3: Finn modellen fra to målinger

En strømmetjeneste hadde $4800$ abonnenter etter ett år og $16\,200$ abonnenter etter fire år. Veksten er eksponentiell.

a) Finn en modell $N(t) = a \cdot b^{\,t}$ .

b) Hvor mange abonnenter hadde tjenesten ved starten?

c) Hvor mange prosent vokser abonnenttallet med i året?

Hva vet vi?

N(1) = 4800

N(4) = 16\,200

. Hva må vi finne?

a

b

a) Steg 1 — del.

$\frac{N(4)}{N(1)} = \frac{a \cdot b^{4}}{a \cdot b^{1}} = b^{\,4-1} = b^{3}$

$\frac{16\,200}{4800} = b^{3}$
$3{,}375 = b^{3}$

Steg 2 — ta tredjeroten:

$b = \sqrt[3]{3{,}375} = 1{,}5$

(Kontroll: $1{,}5^3 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 3{,}375$ — så det stemmer.)

Steg 3 — finn $a$ ved å sette inn i $N(1) = 4800$ :

$a \cdot 1{,}5^{1} = 4800$
$a \cdot 1{,}5 = 4800 \qquad | : 1{,}5$
$a = 3200$

Steg 4 — kontroll i det andre punktet:

$N(4) = 3200 \cdot 1{,}5^{4} = 3200 \cdot 5{,}0625 = 16\,200$

så det stemmer.

b) Startverdien er $a$ , altså $N(0) = 3200$ abonnenter.

c) Vekstfaktoren er $1{,}5$ , og

$p = (1{,}5 - 1) \cdot 100 = 50$

Svar: a) $N(t) = 3200 \cdot 1{,}5^{\,t}$ . b) $3200$ abonnenter. c) $50\,\%$ i året.

NB: Legg merke til at startverdien $3200$ ikke var oppgitt. Den kom ut av regningen — modellen «regner seg bakover» til $t = 0$ . Det er lov så lenge tjenesten faktisk fantes da, og så lenge veksten var eksponentiell hele veien. Begge deler er antakelser, og de bør nevnes når svaret presenteres.

📝Oppgave 3.2.4

Finn $a$ og $b$ i eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^{\,x}$ .

f(0) = 700

f(3) = 5600

Hvor mange prosent vokser $f$ med per enhet i a)?

f(2) = 810

f(5) = 590{,}49

Kontroller svaret i c) ved å regne ut $f(5)$ , og finn $f(8)$ . Rund av til to desimaler.

Beskriv med ord hva funksjonen i c) gjør.

Løs oppgaven

Doblingstiden er tiden det tar før funksjonsverdien er dobbelt så stor. Halveringstiden er tiden før den er halvert.

Det spesielle ved eksponentialfunksjoner er at disse tidene er de samme uansett hvor vi begynner å måle. Et innskudd som bruker 20 år på å gå fra $25\,000$ til $50\,000$ kroner, bruker også 20 år på å gå fra $50\,000$ til $100\,000$ kroner. Det er derfor det gir mening å snakke om «doblingstiden» som en egenskap ved modellen, ikke ved beløpet.

Grunnen ser vi i formelen. Vi vil ha $a \cdot b^{\,t} = 2 \cdot a$ , og deler på $a$ på begge sider:

$b^{\,t} = 2$

Startverdien er borte. Det som blir igjen, avhenger bare av $b$ .

✏️Eksempel 4: Doblingstid ved tabell

Hvor lang tid tar det før innskuddet i Eksempel 1, med $3{,}5\,\%$ rente, har doblet seg?

Hva vet vi?

B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}

. Hva må vi finne? Den

t

som gir

B(t) = 50\,000

Vi setter opp likningen og deler på startbeløpet på begge sider:

$25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t} = 2 \cdot 25\,000 \qquad | : 25\,000$
$1{,}035^{\,t} = 2$

Nå står den ukjente i eksponenten. Foreløpig prøver vi oss fram:

$t$	$1{,}035^{\,t}$
18	1,857489
19	1,922501
20	1,989789
21	2,059431

Verdien passerer 2 mellom

t = 20

t = 21

.
Svar: Doblingstiden er omtrent

20

år.
Kontroll mot 72-regelen fra kapittel 1.2:

\displaystyle \frac{72}{3{,}5} \approx 20{,}6

år. Tommelfingerregelen treffer altså godt her.
(Det eksakte svaret er

20{,}15

år. Hvordan vi regner det ut uten å prøve oss fram, kommer i 3.4.)

✏️Eksempel 5: Lineær eller eksponentiell vekst?

To sparetilbud starter begge på $50\,000$ kroner:

- Tilbud A: banken legger til $4000$ kroner hvert år.
- Tilbud B: banken gir $7\,\%$ rente hvert år.

a) Sett opp funksjoner for de to tilbudene.

b) Hvilket tilbud er best etter 2 år? Etter 10 år?

c) Når går B forbi A?

a) Tilbud A legger til det samme beløpet hvert år — det er lineær vekst:

$A(t) = 50\,000 + 4000t$

Tilbud B legger til den samme prosenten hvert år — det er eksponentiell vekst:

$B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^{\,t}$

b) Vi regner ut begge:

$t$	$A(t)$	$B(t)$
2	58 000	57 245,00
4	66 000	65 539,80
5	70 000	70 127,59
10	90 000	98 357,57
20	130 000	193 484,22

Etter 2 år er A best (58 000 mot 57 245). Etter 10 år er B klart best (98 358 mot 90 000).
c) B passerer A mellom

t = 4

t = 5

.
Svar: a)

A(t) = 50\,000 + 4000t

B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^{\,t}

. b) A er best etter 2 år, B er best etter 10 år. c) I løpet av det femte året.
Dette mønsteret er verdt å huske: lineær vekst leder i starten, eksponentiell vekst vinner til slutt. Det spiller ingen rolle hvor stort det faste tillegget er — så lenge prosenten er positiv, tar den eksponentielle modellen igjen den lineære før eller siden. Ved

t = 20

er forskjellen over

63\,000

kroner.
Det er også derfor du ikke kan svare «hvilket tilbud er best?» uten å vite hvor lenge pengene skal stå.

Tilbud A mot tilbud B

To sparetilbud som begge starter på 50 000 kroner. Den stiplede rette linja er tilbud A, som legger til 4000 kroner i året og når 130 000 kroner etter 20 år. Den heltrukne kurven er tilbud B med 7 prosent rente; den ligger litt under A de fire første årene, krysser linja i løpet av det femte året og når 193 484 kroner etter 20 år.

A(t) = 50\,000 + 4000t

B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^t

Oppsummering

En eksponentialfunksjon er $f(x) = a \cdot b^{\,x}$ , med $x$ i eksponenten.

Potensfunksjon (3.1)	Eksponentialfunksjon (3.2)
Form	$a \cdot x^{\,b}$	$a \cdot b^{\,x}$
$x$ står	i grunntallet	i eksponenten
Ganges $x$ med $k$	funksjonen ganges med $k^b$	—
Økes $x$ med 1	—	funksjonen ganges med $b$
Typisk i økonomi	produksjon, enhetskostnad, skala	rente, prisvekst, verdifall

Arbeidsmåten når du skal sette opp en modell:
1. Finn startverdien

a

— det er verdien når

t = 0

.
2. Finn vekstfaktoren

\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}

(fall gir

b < 1

).
3. Skriv

f(t) = a \cdot b^{\,t}

, og si hva

t

måles i.
4. Kontroller med en verdi du kjenner.
Er bare to punkter kjent: del funksjonsverdiene på hverandre, ta roten som svarer til differansen mellom

x

-verdiene, finn

a

, og kontroller i det andre punktet.

Doblingstid og halveringstid er uavhengige av startverdien, fordi $a$ forsvinner når vi deler.
Det som fortsatt står igjen: alle spørsmål som begynner med når — når har beløpet doblet seg, når er bilen verdt under 100 000, når går B forbi A. Vi har svart med tabell. I 3.3 får vi logaritmen, og da svarer vi med én utregning.
Vanlige feil:
- Å legge sammen prosenter over flere år (« $10 \cdot 2{,}8\,\% = 28\,\%$ »). Vekstfaktorene skal ganges.
- Å tro at en graf som synker, må treffe $x$ -aksen. Den nærmer seg, men treffer aldri.

- Å bruke startverdien fra feil årstall. $a$ er verdien ved $t = 0$ , ikke ved den første målingen.

📝Oppgave 3.2.5

Et fond har $150\,000$ kroner ved starten og vokser med $6{,}0\,\%$ i året, slik at $K(t) = 150\,000 \cdot 1{,}06^{\,t}$ .

Vis at doblingstiden ikke avhenger av startbeløpet.

Bruk tabell og finn doblingstiden.

Sammenlikn med 72-regelen fra kapittel 1.2.

Når er beløpet firedoblet? Sammenlikn med svaret i b).

Forklar hvorfor firedoblingstiden må være nøyaktig dobbelt så lang som doblingstiden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.6

Del 2 — regneark. En onkel setter av

120\,000

kroner til en niese og velger mellom to ordninger:

- A: han legger til $9000$ kroner hvert år.
- B: beløpet står på en konto med $6{,}0\,\%$ rente.

Lag et regneark med årstall i kolonne A, ordning A i kolonne B (=120000+9000*A2) og ordning B i kolonne C (=120000*1,06^A2).

Hva er beløpene etter 5 år i de to ordningene?

I hvilket år går ordning B forbi ordning A?

Hva er beløpene etter 20 år?

Hva er beløpene etter 25 år, og hvor mange ganger så stort er B som A da?

Niesen er 3 år i dag. Onkelen sier: «Ordning A er best, for de første åtte årene ligger den øverst.» Vurder rådet, og skriv hva du ville anbefalt.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Nå flytter xxx seg opp i eksponenten

Det grafen alltid gjør

Oppsummering

Nå flytter $x$ seg opp i eksponenten