3.1 Potensfunksjoner

$$f(2) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$$
$$f(4) = 5 \cdot 4^3 = 5 \cdot 64 = 320$$

b) Her står $x$ i eksponenten. Det er en eksponentialfunksjon.

$$g(2) = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$$
$$g(4) = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$$

c) Denne ser ikke ut som $a \cdot x^b$ i det hele tatt — men det er den. Vi skriver om:

$$\frac{200}{\sqrt{x}} = \frac{200}{x^{1/2}} = 200 \cdot x^{-1/2}$$

(Likheten gjelder begge veier! Det er den samme omskrivingen som lar deg gå tilbake til brøkform når svaret skal være pent.)

Det er altså en potensfunksjon med $a = 200$ og $\displaystyle b = -\frac{1}{2}$.

$$h(4) = \frac{200}{\sqrt{4}} = \frac{200}{2} = 100$$
$$h(100) = \frac{200}{\sqrt{100}} = \frac{200}{10} = 20$$

Svar: a) potensfunksjon, $f(2) = 40$ og $f(4) = 320$. b) eksponentialfunksjon, $g(2) = 45$ og $g(4) = 405$. c) potensfunksjon, $h(4) = 100$ og $h(100) = 20$.

NB: Ved $x = 2$ ligger $f$ og $g$ nesten likt (40 mot 45). Ved $x = 4$ har $g$ passert. Det er ikke tilfeldig — vi kommer tilbake til det i 3.2.

a) Vi setter inn:

$$P(100) = 12 \cdot 100^{0{,}6} \approx 12 \cdot 15{,}849 \approx 190{,}19$$
$$P(200) = 12 \cdot 200^{0{,}6} \approx 12 \cdot 24{,}023 \approx 288{,}27$$

Produksjonen er et antall enheter, så vi runder ned til hele enheter: omtrent $190$ og omtrent $288$ enheter.

b) Nå skal vi sammenlikne, og da deler vi:

$$\frac{P(200)}{P(100)} = \frac{288{,}27}{190{,}19} \approx 1{,}52$$

Produksjonen blir altså omtrent $1{,}52$ ganger så stor — ikke $2$ ganger.

Vi kan også se det direkte i uttrykket, uten tall:

$$\frac{P(2x)}{P(x)} = \frac{12 \cdot (2x)^{0{,}6}}{12 \cdot x^{0{,}6}} = \frac{12 \cdot 2^{0{,}6} \cdot x^{0{,}6}}{12 \cdot x^{0{,}6}} = 2^{0{,}6} \approx 1{,}5157$$

Her forkortes både $12$ og $x^{0{,}6}$ bort. Det som blir igjen, er bare $2^{0{,}6}$ — og det tallet er det samme uansett hvor mange timer verkstedet startet med.

Svar: a) Omtrent $190$ enheter ved 100 timer og omtrent $288$ enheter ved 200 timer. b) Nei. En dobling av timene gir omtrent $52\,\%$ flere enheter, ikke $100\,\%$ flere.

Dette er avtakende utbytte, og det er hele poenget med at $0 < b < 1$. Flere folk i samme verksted betyr mer venting på maskinene og mer tid på å koordinere. Om doblingen likevel lønner seg, avhenger av hva enhetene selges for — og det regner vi på i kapittel 7.

$$K_e(x) = 900 \cdot x^{-0{,}25} = \frac{900}{x^{0{,}25}} = \frac{900}{\sqrt[4]{x}}$$

En negativ eksponent betyr altså at potensen havner i nevneren. Da er resten hoderegning, for vi har valgt tall med pen fjerderot:

$$K_e(16) = \frac{900}{\sqrt[4]{16}} = \frac{900}{2} = 450$$
$$K_e(81) = \frac{900}{\sqrt[4]{81}} = \frac{900}{3} = 300$$
$$K_e(256) = \frac{900}{\sqrt[4]{256}} = \frac{900}{4} = 225$$

b) Enhetskostnaden er kostnad per enhet, så totalen finner vi ved å gange med antall enheter:

$$K = 256 \cdot K_e(256) = 256 \cdot 225 = 57\,600$$

c) Nei. Uansett hvor stor $x$ blir, er $\displaystyle \frac{900}{\sqrt[4]{x}}$ et positivt tall. Brøken blir mindre og mindre, men den treffer aldri null — det er den samme typen oppførsel som grenseverdien i 1.5.

Enhetskostnaden faller når produksjonen øker, men kurven flater ut: produksjonen måtte seksten-dobles for at kostnaden per enhet skulle halveres fra 450 til 225 kr. Stordriftsfordelen svekkes.

Svar: a) $450$, $300$ og $225$ kroner per enhet. b) $57\,600$ kroner. c) Nei, enhetskostnaden nærmer seg null uten å nå den.
Legg merke til mønsteret: for å halvere enhetskostnaden fra 450 til 225 måtte produksjonen seksten-dobles (fra 16 til 256). Stordriftsfordelene er størst i starten og blir svakere og svakere — akkurat som utbyttet i Eksempel 2, bare speilvendt.

Steg 1 — del. Vi setter opp forholdet mellom de to funksjonsverdiene:

$$\frac{f(16)}{f(4)} = \frac{a \cdot 16^{\,b}}{a \cdot 4^{\,b}}$$

$$\frac{48}{24} = \left(\frac{16}{4}\right)^{b}$$

$$2 = 4^{\,b}$$

(Her forkortes $a$ bort. Det er derfor vi deler.)

Steg 2 — løs for $b$. Hvilken eksponent gjør 4 om til 2? Det er kvadratroten:

$$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2 \qquad \Longrightarrow \qquad b = \frac{1}{2}$$

Steg 3 — finn $a$. Vi setter $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ inn i punktet $(4, 24)$:

$$a \cdot 4^{1/2} = 24$$
$$a \cdot 2 = 24 \qquad | : 2$$
$$a = 12$$

Kontroll i det andre punktet. Her skal vi bruke opplysningen vi ikke brukte til slutt:

$$f(16) = 12 \cdot 16^{1/2} = 12 \cdot 4 = 48$$

så det stemmer.

Svar: $a = 12$ og $b = \dfrac{1}{2}$, altså $f(x) = 12\sqrt{x}$.

$$K(2000) = 40 \cdot \left(\frac{2000}{1000}\right)^{0{,}6} = 40 \cdot 2^{0{,}6} \approx 40 \cdot 1{,}5157 \approx 60{,}63$$

b) Kapasitet per krone finner vi ved å dele kostnaden på antall tonn:

$$\frac{40\,000\,000}{1000} = 40\,000 \text{ kroner per tonn}$$
$$\frac{60\,630\,000}{2000} \approx 30\,314 \text{ kroner per tonn}$$

c) Påstanden er feil. Modellen gir omtrent 60,6 millioner, ikke 80. Investoren regner lineært i en sammenheng som er en potensfunksjon med eksponent $0{,}6$.

At eksponenten er mindre enn 1, er nettopp det som gjør at det lønner seg å bygge stort: kostnaden vokser saktere enn kapasiteten. En dobling av kapasiteten gir bare

$$2^{0{,}6} \approx 1{,}52$$

ganger så høy byggekostnad — omtrent $52\,\%$ dyrere, ikke $100\,\%$.

Svar: a) Omtrent $60{,}6$ millioner kroner. b) $40\,000$ kroner per tonn mot omtrent $30\,314$ kroner per tonn. c) Feil — anlegget blir omtrent $52\,\%$ dyrere, ikke dobbelt så dyrt.

NB — en modell er en modell. Regelen over er en erfaringsregel fra prosessindustrien, og den gjelder i et begrenset område. Bygger du ti ganger så stort, treffer den gjerne dårlig, for da må du kanskje ha to fabrikker i stedet for én. Å kjenne modellens gyldighetsområde hører med til å bruke den.