2.4 Sammenligning av økonomiske alternativer | Matematikk for økonomi

Nåverdi som beslutningsverktøy: kjøp eller lease, betale nå eller senere.

45 min

6 oppgaver

NåverdiBeslutninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Sammenligning av økonomiske alternativer

Nå har vi alt vi trenger. I dette kapittelet bruker vi nåverdien til å svare på den typen spørsmål faget egentlig handler om:

- Lønner det seg å kjøpe maskinen?
- Bør vi kjøpe varebilen eller lease den?
- Skal vi betale regningen i dag med rabatt, eller om tre uker uten?
- Hvilket av to prosjekter bør bedriften velge?

Svaret følger alltid den samme oppskriften: sett opp kontantstrømmen, diskonter alt til i dag, og legg sammen. Det nye er ikke regningen, men disiplinen — å få med alle beløpene, med riktig fortegn, og å huske hva regnestykket ikke svarer på.

Netto nåverdi og internrente

\text{NNV} = -K_0 + \frac{K_1}{v} + \frac{K_2}{v^2} + \cdots + \frac{K_n}{v^n}, \qquad v = 1 + \frac{p}{100}

✏️Eksempel 1 — lønner investeringen seg?

Et bakeri vurderer å kjøpe en ny ovn til $900\,000$ kr. Ovnen antas å gi netto innbetalinger på $250\,000$ kr hvert år i 5 år, og kan selges for $100\,000$ kr etter 5 år. Kalkulasjonsrenten er $6\,\%$ . Er investeringen lønnsom?

Løsning:

Hva vet vi? En utbetaling i år 0, fem innbetalinger, og en restverdi i år 5.
Hva må vi finne? Netto nåverdi.

Vi setter opp kontantstrømmen først. Fortegnet er halve jobben:

år	0	1	2	3	4	5
beløp	$-900\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$ og $+100\,000$

De fem innbetalingene. De er like store, så vi setter

250\,000

utenfor og summerer diskonteringsfaktorene:

\displaystyle \frac{1}{1{,}06} + \frac{1}{1{,}06^2} + \frac{1}{1{,}06^3} + \frac{1}{1{,}06^4} + \frac{1}{1{,}06^5} = 4{,}212364

$250\,000 \cdot 4{,}212364 \approx 1\,053\,090{,}95$

Restverdien i år 5:

$\displaystyle \frac{100\,000}{1{,}06^5} \approx \frac{100\,000}{1{,}338226} \approx 74\,725{,}82$

Netto nåverdi:

$\text{NNV} = -900\,000 + 1\,053\,090{,}95 + 74\,725{,}82$

$\approx 227\,816{,}76$

En tidslinje med årene 0 til 5. Fra år 0 peker en rød pil nedover, merket minus 900 000, med teksten «investering» under. Fra hvert av årene 1 til 5 peker en blå pil opp, merket pluss 250 000 rett over sin egen pil. I år 5 står i tillegg en grønn pil opp et stykke over den blå, merket pluss 100 000, med teksten «restverdi» over.

Hele kontantstrømmen i ett bilde. Pil ned er utbetaling, pil opp er innbetaling — og restverdien i år 5 har sin egen pil, så den ikke blir glemt. Pilene viser retning (inn eller ut) og tidspunkt; lengdene er ikke målestokk for beløpene, som står ved hver pil.

Svar: Netto nåverdi er omtrent $227\,817$ kr. Siden den er positiv, er investeringen lønnsom ved en kalkulasjonsrente på $6\,\%$ .

NB: Hva betyr tallet? Ikke at bakeriet «tjener $227\,817$ kr». Det betyr at ovnen gir $227\,817$ kr mer enn det bakeriet krevde av pengene sine — kravet på $6\,\%$ er allerede trukket fra inne i regnestykket. Det er derfor nullpunktet er den interessante grensen, og ikke et krav om at NNV skal være stor.

(Føres ikke) Internrenten her er omtrent $14{,}4\,\%$ . Med andre ord tåler prosjektet at kalkulasjonsrenten stiger helt opp dit før det slutter å lønne seg.

📜Nåverdiregelen

Et tiltak er lønnsomt når

$\text{NNV} > 0$

Skal vi velge mellom flere alternativer med samme tidsrom og samme kalkulasjonsrente, velger vi det med størst netto nåverdi.

Består alternativene bare av utbetalinger — som når vi skal velge mellom to måter å skaffe det samme utstyret på — sammenligner vi nåverdien av kostnadene, og velger den minste.

Nåverdiregelen forutsetter at kontantstrømmene er sammenlignbare. Er levetidene ulike, eller er risikoen i de to alternativene svært forskjellig, må dette håndteres i tillegg.

📝Oppgave 1

Regn ut netto nåverdi, og avgjør om tiltaket er lønnsomt. Rund av til nærmeste krone.

Investering $300\,000$ kr nå, innbetaling $120\,000$ kr hvert år i 3 år. Kalkulasjonsrente $5\,\%$ .

Investering $1\,000\,000$ kr nå, innbetaling $150\,000$ kr hvert år i 10 år. Kalkulasjonsrente $6\,\%$ .

Investering $250\,000$ kr nå, én innbetaling på $300\,000$ kr om 4 år. Kalkulasjonsrente $4\,\%$ .

Investering $800\,000$ kr nå, innbetaling $160\,000$ kr hvert år i 6 år, og restverdi $120\,000$ kr i år 6. Kalkulasjonsrente $5\,\%$ .

I c) er netto nåverdi bare $6\,441$ kr. Hva betyr det, og hva ville skjedd med svaret hvis kalkulasjonsrenten var $5\,\%$ i stedet?

Løs oppgaven

Når begge alternativene bare koster penger

Ofte er ikke spørsmålet om vi skal skaffe noe, men hvordan. Bedriften trenger varebilen uansett — spørsmålet er om den skal kjøpes eller leases. Begge alternativene består da bare av utbetalinger.

Da regner vi nåverdien av kostnadene i hvert alternativ og velger den minste. To ting er verdt å merke seg:

- Alle utbetalinger er negative, også de små årlige. Skriver du dem positive «for enkelhets skyld», er det bare et spørsmål om tid før et fortegn kommer feil ut.
- Restverdi er en innbetaling. Kan bilen selges for $150\,000$ kr etter fem år, hører det med i kjøpsalternativet — ellers sammenligner vi ikke likt.

Leiebeløp betales som regel forskuddsvis, altså ved starten av hvert år. Da kommer det første beløpet i år 0 og skal ikke diskonteres.

✏️Eksempel 2 — kjøpe eller lease?

Et rørleggerfirma trenger en varebil i 5 år og har to muligheter:

- Kjøpe: $420\,000$ kr i dag. Service koster $15\,000$ kr på slutten av hvert år, og bilen kan selges for $150\,000$ kr etter 5 år.
- Lease: $85\,000$ kr i begynnelsen av hvert år i 5 år. Service er inkludert.

Kalkulasjonsrenten er $5\,\%$ . Hva bør firmaet velge?

Løsning:

Hva må vi finne? Nåverdien av kostnadene i hvert alternativ.

Alternativ 1 — kjøpe.

Kjøpesummen kommer i år 0 og skal ikke diskonteres:

$-420\,000$

Servicen er fem like store utbetalinger i år 1 til 5. Diskonteringsfaktorene summerer til $4{,}329477$ :

$-15\,000 \cdot 4{,}329477 \approx -64\,942{,}15$

Salget i år 5 er en innbetaling:

$\displaystyle \frac{150\,000}{1{,}05^5} \approx \frac{150\,000}{1{,}276282} \approx 117\,528{,}92$

Til sammen:

$-420\,000 - 64\,942{,}15 + 117\,528{,}92 = -367\,413{,}23$

Alternativ 2 — lease.

Fem beløp i begynnelsen av år 1 til 5 — altså i år $0, 1, 2, 3, 4$ :

år	beløp	nåverdi
0	$-85\,000$	$-85\,000{,}00$ kr
1	$-85\,000$	$-80\,952{,}38$ kr
2	$-85\,000$	$-77\,097{,}51$ kr
3	$-85\,000$	$-73\,426{,}20$ kr
4	$-85\,000$	$-69\,929{,}71$ kr
Sum	$-386\,405{,}79$ kr

Vi sammenligner kostnadene:

386\,405{,}79\text{ kr} - 367\,413{,}23\text{ kr} \approx 18\,992{,}57\text{ kr}

(Føres ikke) Sumraden er de uavrundede nåverdiene; legger du sammen de avrundede tallene i kolonnen, får du ett øre mer.

To tidslinjer over hverandre, begge med årene 0 til 5. Den øverste er merket KJØPE: en lang rød pil ned i år 0 merket minus 420 000, fem korte røde piler ned i årene 1 til 5 merket «service −15 000 hvert år», og en grønn pil opp i år 5 merket pluss 150 000. Den nederste er merket LEASE: fem like lange røde piler ned i årene 0, 1, 2, 3 og 4, merket «−85 000 hvert år». Under står «leia betales forskuddsvis — den første kommer i år 0».

Forskjellen mellom alternativene er i hovedsak hvor på tidsaksen beløpene ligger. Leia betales forskuddsvis, så den første leiebetalingen kommer i år 0 og skal ikke diskonteres. Pillengdene er ikke målestokk for beløpene; det er tallet ved hver pil som gjelder.
Svar: Firmaet bør kjøpe bilen. Det er omtrent

18\,993

kr billigere målt i dagens kroner.
NB: Legg merke til hvor mye restverdien betyr: uten salget i år 5 ville kjøpsalternativet kostet

484\,942

kr i nåverdi, og lease hadde vunnet klart. Den vanligste feilen i slike oppgaver er nettopp å glemme restverdien — eller å glemme servicen, som trekker den andre veien. Sett alltid opp hele kontantstrømmen for begge alternativene før du regner.

📝Oppgave 2

Et kontor trenger en kopimaskin i 4 år.

- Kjøpe: $90\,000$ kr i dag, service $6\,000$ kr på slutten av hvert år, og maskinen kan selges for $12\,000$ kr etter 4 år.
- Lease: $28\,000$ kr i begynnelsen av hvert år i 4 år, alt inkludert.

Kalkulasjonsrenten er $5\,\%$ . Rund av til nærmeste krone.

Hva er nåverdien av kostnadene ved å kjøpe?

Hva er nåverdien av kostnadene ved å lease?

Hvilket alternativ er billigst?

Hvor mye billigere er det, målt i dagens kroner?

Forskjellen er under tre prosent av kostnaden. Hva bør kontoret ellers legge vekt på?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3 — betale nå eller senere?

En leverandør sender en faktura på $200\,000$ kr med betingelsene « $2\,\%$ kontantrabatt ved betaling innen 10 dager, ellers forfall etter 30 dager».

Hva svarer kontantrabatten til i effektiv årsrente?

Løsning:

Hva vet vi? Bedriften kan betale $2\,\%$ mindre nå, eller hele beløpet 20 dager seinere.
Hva må vi finne? Hva de 20 ekstra dagene koster, målt som årsrente.

Rabatten er

$0{,}02 \cdot 200\,000\text{ kr} = 4\,000\text{ kr}$

så ved rask betaling betaler bedriften $196\,000$ kr.

Velger den å vente, beholder den $196\,000$ kr i 20 dager til og betaler $4\,000$ kr ekstra for det. Det er i praksis et lån på $196\,000$ kr i 20 dager, med $4\,000$ kr i rente.

Renten for perioden:

$\displaystyle \frac{4\,000}{196\,000} = 0{,}020408$

altså $2{,}0408\,\%$ på 20 dager.

Et år har $\displaystyle \frac{365}{20} = 18{,}25$ slike perioder. Vi bruker formelen for effektiv rente fra kapittel 1.4, med $m = 18{,}25$ :

$\left(1 + 0{,}020408\right)^{18{,}25} = 1{,}4458$

Vi leser vekstfaktoren: den ligger $0{,}4458$ over 1.

Svar: Kontantrabatten svarer til en effektiv årsrente på omtrent $44{,}6\,\%$ .

NB: Dette er et av de mest praktiske regnestykkene i hele faget. «Bare $2\,\%$ » høres ubetydelig ut, men når det gjelder 20 dager, er det en svært høy rente. Har bedriften kassekreditt til $10\,\%$ , lønner det seg altså å trekke på kassekreditten for å betale innen fristen. Regelen er: så lenge rabattens effektive rente er høyere enn renten på pengene du må skaffe, skal du benytte rabatten.

📝Oppgave 3

En bedrift får en faktura på $80\,000$ kr med betingelsene « $2{,}5\,\%$ kontantrabatt ved betaling innen 8 dager, ellers forfall etter 30 dager».

Hvor stor er rabatten i kroner, og hvor mye betaler bedriften ved rask betaling?

Hvor stort beløp «lånes», og i hvor mange dager, hvis bedriften venter til forfall?

Hvor stor er renten for denne perioden? Rund av til fire desimaler.

Hva er den effektive årsrenten? Rund av til én desimal.

Bedriften har kassekreditt med $12\,\%$ effektiv rente. Bør den benytte rabatten?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 — to prosjekter, og renten som snur svaret

En bedrift kan velge ett av to prosjekter. Begge koster $600\,000$ kr i dag:

år	1	2	3
Prosjekt A	$350\,000$ kr	$250\,000$ kr	$150\,000$ kr
Prosjekt B	$180\,000$ kr	$250\,000$ kr	$350\,000$ kr

a) Hvilket prosjekt bør bedriften velge med en kalkulasjonsrente på

6\,\%

?
b) Ved hvilken rente er de like gode?

Løsning:

a) Vi diskonterer begge kontantstrømmene til i dag:

Prosjekt A:

$\displaystyle \frac{350\,000}{1{,}06} = 330\,188{,}68$

$\displaystyle \frac{250\,000}{1{,}06^2} = 222\,499{,}11$

$\displaystyle \frac{150\,000}{1{,}06^3} = 125\,942{,}89$

$\text{NNV}_A = -600\,000 + 330\,188{,}68 + 222\,499{,}11 + 125\,942{,}89 = 78\,630{,}68$

Prosjekt B:

$\displaystyle \frac{180\,000}{1{,}06} = 169\,811{,}32$

$\displaystyle \frac{250\,000}{1{,}06^2} = 222\,499{,}11$

$\displaystyle \frac{350\,000}{1{,}06^3} = 293\,866{,}75$

$\text{NNV}_B = -600\,000 + 169\,811{,}32 + 222\,499{,}11 + 293\,866{,}75 = 86\,177{,}18$

Svar: Ved $6\,\%$ bør bedriften velge prosjekt B, som har omtrent $7\,547$ kr høyere netto nåverdi.

b) Vi lager en tabell i regneark med renten i én kolonne og de to netto nåverdiene i hver sin:

kalkulasjonsrente	$\text{NNV}_A$	$\text{NNV}_B$	best
0 %	$150\,000$ kr	$180\,000$ kr	B
5 %	$89\,666$ kr	$100\,529$ kr	B
8 %	$57\,484$ kr	$58\,843$ kr	B
10 %	$37\,491$ kr	$33\,208$ kr	A
12 %	$18\,566$ kr	$9\,136$ kr	A

Svaret snur mellom

8\,\%

10\,\%

. Finere prøving gir krysningsrenten

p \approx 8{,}47\,\%

der begge har en netto nåverdi på omtrent

52\,733

kr.
Svar: Ved omtrent

8{,}47\,\%

er prosjektene like gode. Under denne renten er B best, over den er A best.
NB: Hvorfor snur det? Fordi B har de store beløpene sist. Høy rente straffer sene beløp hardest, så B taper mest når renten stiger. A får pengene tidlig og tåler høy rente bedre.
Dette er også grunnen til at internrenten alene er et dårlig beslutningsverktøy: A har internrente

14{,}07\,\%

og B

12{,}79\,\%

, så A «vinner» på internrente — men ved bedriftens faktiske kalkulasjonsrente på

6\,\%

er det B som gir mest penger. Velg etter netto nåverdi ved den renten du faktisk har.

Netto nåverdi som funksjon av kalkulasjonsrenten

Kurvene viser netto nåverdi for prosjekt A og prosjekt B i Eksempel 4, tegnet som funksjon av kalkulasjonsrenten. Der en kurve krysser

x

-aksen, er internrenten. Der kurvene krysser hverandre — ved omtrent

8{,}47\,\%

— bytter alternativene plass. Legg merke til at B-kurven faller brattest: prosjektet med de sene innbetalingene taper mest på høy rente.

prosjekt A

prosjekt B

nullinjen

📝Oppgave 4

To prosjekter koster $600\,000$ kr hver i dag og gir disse innbetalingene:

år	1	2	3	4
Prosjekt C	$250\,000$ kr	$250\,000$ kr	$150\,000$ kr	$100\,000$ kr
Prosjekt D	$100\,000$ kr	$150\,000$ kr	$250\,000$ kr	$400\,000$ kr

Kalkulasjonsrenten er

8\,\%

. Rund av til nærmeste krone.

Hvor mye gir hvert prosjekt til sammen, uten diskontering?

Regn ut netto nåverdi for prosjekt C.

Regn ut netto nåverdi for prosjekt D.

Hvilket prosjekt bør bedriften velge, og er begge lønnsomme?

Regneark. Finn internrenten for hvert prosjekt ved å prøve deg fram. Rund av til én desimal.

Løs oppgaven

Prøv selv: netto nåverdi og internrente

Legg inn investeringen og de årlige innbetalingene, og se netto nåverdi og internrente. Prøv tallene fra Eksempel 4: investering $600\,000$ kr, og innbetalingene $350\,000$, $250\,000$, $150\,000$ for prosjekt A. Bruk den til å kontrollere — skriv alltid kontantstrømmen og regningen i besvarelsen.

Investering C₀ (år 0)

Diskonteringsrente r

Kontantstrømmer (år 1, 2, 3 ...)

Skill med komma. Negative tall for utbetalinger.

NPV = -C_0 + \sum_t C_t/(1+r)^t

31 855 kr

Lønnsom?

✓ Ja

IRR

7,931 %

Oppsummering

- Netto nåverdi: $\displaystyle \text{NNV} = -K_0 + \frac{K_1}{v} + \frac{K_2}{v^2} + \cdots + \frac{K_n}{v^n}$ . Innbetalinger positive, utbetalinger negative.
- Nåverdiregelen: $\text{NNV} > 0$ betyr lønnsomt. Mellom flere alternativer velger vi størst netto nåverdi — eller minst nåverdi av kostnadene når begge alternativene bare koster.
- Tre regler: samme kalkulasjonsrente, samme tidsrom, alle beløp med (service, gebyrer, restverdi).
- Forskuddsvise beløp (leie, avdrag i begynnelsen av året) kommer i år $0, 1, 2, \ldots$ — det første diskonteres ikke.
- Internrenten er renten som gir $\text{NNV} = 0$ . Den viser hvor mye renten tåler å stige, men avgjør ikke valget mellom to prosjekter.
- Krysningsrenten er renten der to alternativer er like gode. Prosjekter med sene innbetalinger taper mest når renten stiger.
- Regn alltid om med en annen rente før du konkluderer. Det er om konklusjonen står seg som teller.
- Nåverdien måler bare det som er satt i kroner. Risiko, likviditet, fleksibilitet og usikre anslag må drøftes i tillegg.

📝Oppgave 5

Samleoppgave. En bedrift vurderer solcelleanlegg på taket. Anlegget koster

1\,200\,000

kr i dag, sparer

145\,000

kr i strømutgifter hvert år og koster

12\,000

kr i året i vedlikehold. Levetiden settes til 20 år, og restverdien til

0

kr. Kalkulasjonsrenten er

5\,\%

. Rund av til nærmeste krone.

Hvor stor er den årlige netto besparelsen?

Hva er nåverdien av de 20 årlige besparelsene? Diskonteringsfaktorene for 20 år ved $5\,\%$ summerer til $12{,}462210$ .

Hva er netto nåverdi, og er tiltaket lønnsomt?

Følsomhet. Hva blir netto nåverdi hvis kalkulasjonsrenten er

7\,\%

? Faktorsummen er da

10{,}594014

. Og hva er internrenten?

Drøft hvor robust konklusjonen er, og hvilke forutsetninger som er mest usikre.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Del 2 — regneark. Et trykkeri skal velge mellom to maskiner. Begge koster

1\,400\,000

kr i dag og varer i 8 år.

- Maskin 1 gir netto innbetalinger på $290\,000$ kr hvert år.
- Maskin 2 gir $200\,000$ kr det første året, og deretter $30\,000$ kr mer for hvert år: $230\,000$ , $260\,000$ og så videre.

Kalkulasjonsrenten er $6\,\%$ . Lag et regneark med år 1 til 8 i kolonne A, innbetalingene i kolonne B og C, og nåverdiene i kolonne D og E. Rund av til nærmeste krone.

Hvor mye gir hver maskin til sammen uten diskontering, og hvilken ser best ut da?

Regn ut netto nåverdi for begge maskinene ved $6\,\%$ . Diskonteringsfaktorene for 8 år ved $6\,\%$ summerer til $6{,}209794$ .

Lag en følsomhetstabell med kalkulasjonsrentene $4\,\%$ , $6\,\%$ , $8\,\%$ og $10\,\%$ . Hva er netto nåverdi ved $10\,\%$ , og hva skjer med rangeringen?

Finn internrenten for hver maskin. Hvilken maskin «vinner» da, og stemmer det med svaret i b)?

Drøft hvilken maskin trykkeriet bør velge, og hvordan motstriden i d) skal håndteres.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.