2.3 Sparing og lån over tid

Hva vet vi? $a = 20\,000$ kr, $p = 3{,}5$ og 5 innskudd.
Hva må vi finne? Framtidsverdien av alle innskuddene i år 5.

Dette er Eksempel 3 i kapittel 2.1 én gang til — bare med fem beløp i stedet for to. Vi begynner med å skrive opp hvor lenge hvert innskudd står:

NB: Summen kan også skrives med vekstfaktoren utenfor:

$20\,000 \cdot \left(1{,}035^4 + 1{,}035^3 + 1{,}035^2 + 1{,}035 + 1\right) = 20\,000 \cdot 5{,}362466$

Parentesen er en geometrisk rekke, og i kapittel 4.1 finner vi en formel som gir summen direkte. Inntil da regner vi den ut ledd for ledd, eller lar regnearket gjøre det.

a) Vi legger år 1 i rad 2. Inngående saldo det første året er $0$ kr, siden kontoen er tom før det første innskuddet.

Formlene i rad 2 blir:

A2: 1
B2: 0
C2: =B2*0,04
D2: 30000
E2: =B2+C2+D2

I rad 3 er den eneste nyheten at inngående saldo er utgående saldo fra året før:

A3: =A2+1
B3: =E2
C3: =B3*0,04
D3: 30000
E3: =B3+C3+D3

Rad 3 kan nå dras nedover til rad 11 (år 10).

Svar: Det står omtrent $360\,183$ kr på kontoen, og $60\,183$ kr av det er renter.

(Føres ikke) Kontroll med metoden fra Eksempel 1: $30\,000 \cdot \left(1{,}04^9 + 1{,}04^8 + \cdots + 1\right) \approx 360\,183{,}21$ kr. Samme svar — den rekursive modellen og summen av framtidsverdier er to måter å regne det samme på.
NB: Hadde innskuddene kommet i begynnelsen av hvert år (forskuddsvis), ville hvert av dem stått ett år lenger. Da ganger vi hele svaret med vekstfaktoren én gang til:
$360\,183{,}21 \cdot 1{,}04 \approx 374\,590{,}54$
Altså rundt $14\,400$ kr mer, uten at bedriften har satt inn en krone ekstra. Les derfor alltid oppgaveteksten nøye: når kommer innskuddet?

a) Hva vet vi? $K_0 = 600\,000$ kr, $n = 5$ og $p = 5$.

Vi finner avdraget først, for det er likt hvert år:

$\displaystyle \text{avdrag} = \frac{600\,000\text{ kr}}{5} = 120\,000\text{ kr}$

Deretter regner vi én rad om gangen. Rentene det første året er $5\,\%$ av hele lånet:

$0{,}05 \cdot 600\,000\text{ kr} = 30\,000\text{ kr}$

$\text{terminbeløp} = 120\,000\text{ kr} + 30\,000\text{ kr} = 150\,000\text{ kr}$

Etter det første avdraget er restgjelden $600\,000 - 120\,000 = 480\,000$ kr, og det er denne vi regner renter av i år 2:

$0{,}05 \cdot 480\,000\text{ kr} = 24\,000\text{ kr}$

Slik fortsetter vi:

NB: Legg merke til at rentene synker med nøyaktig $6\,000$ kr hvert år. Det er ikke tilfeldig: restgjelden synker med $120\,000$ kr hvert år, og $5\,\%$ av $120\,000$ kr er $6\,000$ kr. I et serielån danner både rentene og terminbeløpene en rekke som synker like mye hver gang — de er lineære. Det gjør serielånet lett å regne på for hånd.

a) Samlet betaling:

$4\,000\text{ kr} + 12 \cdot 1\,850\text{ kr} = 4\,000\text{ kr} + 22\,200\text{ kr} = 26\,200\text{ kr}$

Kredittkostnaden er differansen mot kontantprisen:

$26\,200\text{ kr} - 24\,000\text{ kr} = 2\,200\text{ kr}$

Svar: Kunden betaler $26\,200$ kr, og kreditten koster $2\,200$ kr.

b) Hva vet vi? Kunden betaler $4\,000$ kr med en gang, så det hun egentlig låner, er

$24\,000\text{ kr} - 4\,000\text{ kr} = 20\,000\text{ kr}$

Renten er den månedsrenten som gjør nåverdien av de tolv terminbeløpene lik lånebeløpet:

$$\frac{1\,850}{1 + i} + \frac{1\,850}{(1 + i)^2} + \cdots + \frac{1\,850}{(1 + i)^{12}} = 20\,000$$

Denne likningen kan vi ikke løse med de metodene vi har. Men vi kan prøve oss fram i et regneark: legg månedene $1$ til $12$ i kolonne A, terminbeløpet i kolonne B og nåverdien =B2/(1+$E$1)^A2 i kolonne C, med renten i celle $E$1. Summen i kolonne C skal bli $20\,000$ kr.

Vi leser vekstfaktoren: den ligger $0{,}216018$ over 1.

Svar: Den effektive årsrenten er omtrent $21{,}6\,\%$.

NB: $2\,200$ kr høres lite ut — det er under ti prosent av sykkelprisen. Men pengene lånes bare i gjennomsnitt et halvt år, og målt som årsrente blir det over $21\,\%$. Det er derfor loven krever at effektiv rente oppgis i all markedsføring av kreditt: det er det eneste tallet som kan sammenlignes med andre lån.

Hva vet vi? Målet er $500\,000$ kr etter 12 innskudd, $p = 4$.
Hva må vi finne? Det faste beløpet $a$.

Vi setter opp det samme regnestykket som i Eksempel 1, men nå med $a$ som ukjent:

$a \cdot 1{,}04^{11} + a \cdot 1{,}04^{10} + \cdots + a \cdot 1{,}04 + a = 500\,000$

Vi setter $a$ utenfor parentesen:

$a \cdot \left(1{,}04^{11} + 1{,}04^{10} + \cdots + 1{,}04 + 1\right) = 500\,000$

Parentesen er et tall vi kan regne ut — i regneark, eller ledd for ledd:

$a \cdot 15{,}025805 = 500\,000$

For å få $a$ alene deler vi på $15{,}025805$ på begge sider:

$\displaystyle a = \frac{500\,000}{15{,}025805}$

$a = 33\,276{,}09$

Svar: Sameiet må sette av omtrent $33\,277$ kr hvert år. (Her runder vi opp, for målet skal nås.)

Vi kontrollerer i regnearket: med $33\,000$ kr i året får de $495\,851{,}58$ kr — for lite. Med $33\,500$ kr i året får de $503\,364{,}48$ kr — nok.

NB: Legg merke til hva som skjedde: så snart beløpet var likt hvert år, kunne vi sette det utenfor parentesen, og da sto det bare igjen én likning med én ukjent. Parentesen — summen av vekstfaktorene — er et tall som bare avhenger av renten og antall år. Det er dette tallet vi får en formel for i kapittel 4.1.