4.1 Geometriske rekkjer | Matematikk for økonomi

Rekkjer med konstant kvotient, sumformelen og prov for han.

45 min

6 oppgaver

Geometrisk rekkjeSumformel

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Geometriske rekkjer

Tenk deg at du set inn $20\,000$ kr på ein sparekonto 1. januar kvart år i ti år. Renta er $3{,}5\,\%$ .

Det første innskotet får stå i ti år. Det andre i ni år. Det siste berre i eitt år. Skal vi vite kva som står på kontoen når dei ti åra er omme, må vi leggje saman ti beløp som kvart for seg er rekna ut med vekstfaktoren $1{,}035$ :

$20\,000 \cdot 1{,}035^{10} + 20\,000 \cdot 1{,}035^{9} + \ldots + 20\,000 \cdot 1{,}035^{1}$

Vi kunne rekna ut alle ti og lagt dei saman. Men sjå på ledda: kvart ledd er det førre delt på $1{,}035$ . Forholdet mellom to naboledd er det same heile vegen. Ein slik sum har ein eigen formel — og det er den formelen som seinare gir oss terminbeløpet i eit lån.

I dette kapittelet byggjer vi verktøyet. I kapittel 4.2 bruker vi det på annuitetslån.

Geometrisk følgje, rekkje og kvotient

a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots

✏️Døme 1 — er rekkja geometrisk?

Avgjer om rekkja er geometrisk. Er ho det, finn kvotienten $k$ og ledd nummer 8.

a) $3 + 6 + 12 + 24 + \ldots$

b) $2 + 5 + 8 + 11 + \ldots$

c) $1\,000 + 1\,050 + 1\,102{,}50 + \ldots$

Løysing:

Kva må vi finne? Om forholdet mellom naboledd er det same. Vi deler kvart ledd på leddet framfor.

a) $\displaystyle \frac{6}{3} = 2 \qquad \frac{12}{6} = 2 \qquad \frac{24}{12} = 2$

Forholdet er $2$ kvar gong, så rekkja er geometrisk med $k = 2$ .

$a_8 = a_1 \cdot k^{\,8-1}$

$a_8 = 3 \cdot 2^{7}$

$a_8 = 3 \cdot 128 = 384$

Svar: Geometrisk med $k = 2$ , og $a_8 = 384$ .

b) $\displaystyle \frac{5}{2} = 2{,}5 \qquad \frac{8}{5} = 1{,}6$

Her er ikkje forholdet det same. Svar: Rekkja er ikkje geometrisk. (Ho er aritmetisk — vi legg til $3$ kvar gong i staden for å gonge.)

c) $\displaystyle \frac{1\,050}{1\,000} = 1{,}05 \qquad \frac{1\,102{,}50}{1\,050} = 1{,}05$

Geometrisk med $k = 1{,}05$ .

$a_8 = 1\,000 \cdot 1{,}05^{7} \approx 1\,407{,}10$

Svar: Geometrisk med $k = 1{,}05$ , og $a_8 \approx 1\,407{,}10$ .

NB: I c) er kvotienten ein vekstfaktor. Alle rekkjene vi møter i økonomi, har ein vekstfaktor som kvotient:

- eit beløp veks med renta: $k = v$
- eit beløp blir flytt bakover i tid og blir difor delt på vekstfaktoren: $\displaystyle k = \frac{1}{v}$

📝Oppgave 1

Avgjer om rekkja er geometrisk. Er ho det, oppgi kvotienten $k$ og rekn ut ledd nummer 6.

2 + 6 + 18 + \ldots

80 + 40 + 20 + \ldots

5\,000 + 5\,200 + 5\,408 + \ldots

100 - 50 + 25 - \ldots

7 + 14 + 21 + \ldots

Løs oppgaven

Summen av ei geometrisk rekkje

Å leggje saman ti ledd går fint. Å leggje saman tre hundre går ikkje — og eit bustadlån har gjerne tre hundre terminar. Vi treng ein formel som gir summen utan at vi reknar ut kvart einskilt ledd.

Han finst, og han kjem frå eit triks som er verd å sjå på: vi gongar heile summen med $k$ og trekkjer frå.

📜Sumformelen for ei geometrisk rekkje

Summen av dei

n

første ledda i ei geometrisk rekkje med førsteledd

a_1

og kvotient

k \ne 1

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

Er $k = 1$ , er alle ledda like, og då er $S_n = n \cdot a_1$ .

Prov for sumformelen

Påstanden vi skal prove:

S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^{\,n} - 1}{k - 1}

når

k \ne 1

1. Vi skriv summen fullt ut

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^{2} + \ldots + a_1 k^{\,n-1}$

2. Vi gongar begge sider med $k$

Same operasjon på begge sider av likskapsteiknet:

$k \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^{2} + a_1 k^{3} + \ldots + a_1 k^{\,n}$

Legg merke til kva som skjedde: alle ledda flytte seg eitt hakk. Den nye summen har nesten dei same ledda som den gamle — han manglar $a_1$ i starten, og har fått $a_1 k^{\,n}$ på slutten.

3. Vi trekkjer den første likninga frå den andre

$k \cdot S_n - S_n = \left(a_1 k + \ldots + a_1 k^{\,n}\right) - \left(a_1 + a_1 k + \ldots + a_1 k^{\,n-1}\right)$

Alt mellom $a_1 k$ og $a_1 k^{\,n-1}$ står i begge parentesane og forsvinn. Att står berre ytterpunkta:

$k \cdot S_n - S_n = a_1 k^{\,n} - a_1$

4. Vi set $S_n$ utanfor og deler

$S_n \cdot (k - 1) = a_1 \left(k^{\,n} - 1\right)$

Vi deler på $(k-1)$ på begge sider. Det får vi lov til fordi $k \ne 1$ , slik at $k - 1 \ne 0$ :

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

Dermed er formelen prova: summen av dei $n$ første ledda i ei geometrisk rekkje er førsteleddet gonga med $\displaystyle \frac{k^{\,n}-1}{k-1}$ .

NB: Å rekne ut nokre få summar og sjå at formelen stemmer, er ikkje eit prov. Ei stikkprøve viser berre at formelen stemmer der. Provet over gjeld alle $n$ og alle $k \ne 1$ på éin gong — det er skilnaden.

∎

✏️Døme 2 — sumformelen (Del 1)

Rekn ut summen $3 + 6 + 12 + \ldots + 1\,536$ .

Løysing:

Kva veit vi? $a_1 = 3$ og $\displaystyle k = \frac{6}{3} = 2$ . Siste ledd er $1\,536$ .
Kva må vi finne? Først kor mange ledd rekkja har, så summen.

Talet på ledd: Vi bruker at $a_n = a_1 \cdot k^{\,n-1}$ :

$3 \cdot 2^{\,n-1} = 1\,536$

$\displaystyle 2^{\,n-1} = \frac{1\,536}{3} = 512$

Vi kjenner att $512 = 2^{9}$ , altså

$n - 1 = 9$

$n = 10$

Summen: Vi skriv formelen tom først, og set så inn:

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 3 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 3 \cdot \frac{1\,024 - 1}{1}$

$S_{10} = 3 \cdot 1\,023 = 3\,069$

Svar: $3 + 6 + 12 + \ldots + 1\,536 = 3\,069$

(Førast ikkje) Kontroll: legg vi saman dei ti ledda $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536$ for hand, får vi $3\,069$ . Det er ikkje noko prov, men ein grei kontroll på at vi fekk med rett tal på ledd.

📝Oppgave 2

Bruk sumformelen. Rund av til to desimalar der svaret ikkje går opp.

Rekn ut summen av dei 10 første ledda i $4 + 12 + 36 + \ldots$

Rekn ut summen av dei 8 første ledda i $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$ . Oppgi svaret som brøk.

Rekn ut summen av dei 12 første ledda i $5\,000 + 5\,000 \cdot 1{,}04 + 5\,000 \cdot 1{,}04^{2} + \ldots$

Kor mange ledd har rekkja $2 + 6 + 18 + \ldots + 1\,458$ , og kva er summen?

Rekn ut summen av dei 15 første ledda i $200 + 200 \cdot 1{,}1 + 200 \cdot 1{,}1^{2} + \ldots$

Løs oppgaven

Sparing som geometrisk rekkje

No tek vi formelen med tilbake til sparekontoen frå innleiinga. Trikset er alltid det same: skriv opp kva kvart innskot er verd på det tidspunktet vi spør om, og sjå etter kvotienten.

✏️Døme 3 — fast sparebeløp kvart år

Emma set inn $20\,000$ kr på ein sparekonto 1. januar kvart år i 10 år. Renta er $3{,}5\,\%$ per år.

a) Kor mykje står på kontoen 31. desember det tiande året?

b) Kor mykje av dette er renter?

Løysing:

a) Kva veit vi? Ti innskot på $20\,000$ kr, vekstfaktor $v = 1{,}035$ .
Kva må vi finne? Verdien av alle innskota 31. desember år 10.

Vi går gjennom innskota eitt for eitt og skriv kva kvart av dei er verd til slutt. Det første innskotet står i 10 år, det siste i 1 år:

Innskot	Står i	Verdi 31.12. år 10
nr. 1	10 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{10}$
nr. 2	9 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{9}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
nr. 10	1 år	$20\,000 \cdot 1{,}035^{1}$

Vi snur summen så det minste leddet kjem først. Då blir førsteleddet

a_1 = 20\,000 \cdot 1{,}035 = 20\,700

og kvart nytt ledd er det førre gonga med

1{,}035

k = 1{,}035

Talet på ledd er

n = 10

— eitt per innskot.

Vi set inn i sumformelen:

$\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 20\,000 \cdot 1{,}035 \cdot \frac{1{,}035^{10} - 1}{1{,}035 - 1}$

$\displaystyle S_{10} = 20\,700 \cdot \frac{1{,}410599 - 1}{0{,}035}$

$S_{10} = 20\,700 \cdot 11{,}731393$

$S_{10} \approx 242\,839{,}84$

Eit stolpediagram med ti blå stolpar, merkte innskot nr. 1 til 10 under aksen. Loddrett akse viser kroner frå 0 til 34 000. Stolpane stig jamt frå 20 700 kr for innskot 1 til 28 212 kr for innskot 10. Verdien står over kvar stolpe. Ein oransje boge går frå stolpe 1 til stolpe 2 og er merkt «· 1,035 = k».

Verdien av kvart av dei ti innskota til Emma 31. desember år 10. Stolpane er ulike — men forholdet mellom to nabostolpar er alltid $1{,}035$ , og det er nettopp definisjonen av ei geometrisk rekkje.

Svar: Det står omtrent $242\,840$ kr på kontoen 31. desember det tiande året.

b) Emma har sett inn $10 \cdot 20\,000 = 200\,000$ kr av eigne pengar.

$242\,839{,}84 - 200\,000 = 42\,839{,}84$

Svar: Omtrent $42\,840$ kr er renter.

NB: Ein vanleg feil er å rekne $10 \cdot 20\,000 \cdot 1{,}035^{10} \approx 282\,120$ kr. Det ville tydd at alle innskota hadde stått i ti år. Berre det første gjorde det. Difor må vi ha rekkja.

📝Oppgave 3

Lise set inn $15\,000$ kr på ein sparekonto 1. januar kvart år i 8 år. Renta er $2{,}8\,\%$ per år. Rund av til to desimalar.

Kor mykje står på kontoen 31. desember det åttande året?

Kor mykje av beløpet er renter?

Kor mykje ville ha stått på kontoen dersom renta hadde vore $4{,}5\,\%$ ?

Med $2{,}8\,\%$ rente: kor mange innskot må Lise gjere før det står over $200\,000$ kr på kontoen?

Ein medelev reknar $8 \cdot 15\,000 \cdot 1{,}028^{8} \approx 149\,667$ kr. Forklar kva som er gale.

Løs oppgaven

Uendeleg mange ledd

Kva om rekkja aldri sluttar? Skal vi leggje saman uendeleg mange tal, kan vi ende opp med uendeleg mykje — men ikkje alltid. Er ledda små nok, stoppar summen ved eit bestemt tal.

Sjå på $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$ . Den einaste staden $n$ står, er i $k^{\,n}$ . Er $|k| < 1$ , krympar $k^{\,n}$ mot $0$ når $n$ veks — til dømes er $0{,}5^{20} \approx 0{,}00000095$ . Då nærmar heile brøken seg $\displaystyle \frac{0 - 1}{k - 1} = \frac{-1}{k-1} = \frac{1}{1-k}$ .

Er derimot $|k| \ge 1$ , krympar ikkje $k^{\,n}$ . Summen veks over alle grenser, og rekkja har ingen sum.

📜Uendeleg geometrisk rekkje

Ei uendeleg geometrisk rekkje

a_1 + a_1 k + a_1 k^{2} + \ldots

konvergerer (har ein sum) viss og berre viss

$|k| < 1$

Summen er då

$S = \frac{a_1}{1 - k}$

Er $|k| \ge 1$ , divergerer rekkja, og summen finst ikkje.

Konvergenskravet blir alltid sjekka før formelen blir brukt.

✏️Døme 4 — evigvarande leigeinntekt

Eit lokale blir leigd ut for $50\,000$ kr i året, utbetalt på slutten av kvart år. Kontrakten er evigvarande. Kalkulasjonsrenta er $4\,\%$ .

Kva er noverdien av alle framtidige leigeinntekter?

Løysing:

Kva veit vi? $50\,000$ kr kvart år, for alltid. Kalkulasjonsrente $4\,\%$ , altså $v = 1{,}04$ .
Kva må vi finne? Kva alle utbetalingane til saman er verd i dag.

Frå kapittel 2 veit vi at eit beløp som kjem om $t$ år, har noverdien $\displaystyle \frac{50\,000}{1{,}04^{\,t}}$ . Vi skriv opp noverdien av kvar utbetaling:

$\frac{50\,000}{1{,}04} + \frac{50\,000}{1{,}04^{2}} + \frac{50\,000}{1{,}04^{3}} + \ldots$

Dette er ei geometrisk rekkje. Førsteleddet er

$\displaystyle a_1 = \frac{50\,000}{1{,}04} \approx 48\,076{,}92$

og kvart ledd er det førre delt på $1{,}04$ , altså gonga med

$\displaystyle k = \frac{1}{1{,}04} \approx 0{,}961538$

Konvergenskravet: $|k| = 0{,}961538 < 1$ ✓ — rekkja konvergerer, og vi får bruke formelen.

$\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$

$\displaystyle S = \frac{\frac{50\,000}{1{,}04}}{1 - \frac{1}{1{,}04}}$

Vi reknar ut nemnaren for seg: $\displaystyle 1 - \frac{1}{1{,}04} = \frac{1{,}04 - 1}{1{,}04} = \frac{0{,}04}{1{,}04}$

Brøk delt på brøk — vi gongar med den omvende av nemnaren:

$\displaystyle S = \frac{50\,000}{1{,}04} \cdot \frac{1{,}04}{0{,}04}$

$1{,}04$ blir forkorta bort:

$\displaystyle S = \frac{50\,000}{0{,}04} = 1\,250\,000$

Eit stolpediagram med tretti blå stolpar, éin for kvart av åra 1 til 30. Loddrett akse viser kroner frå 0 til 55 000. Stolpane søkk jamt frå 48 076,92 kr i år 1 til 15 415,93 kr i år 30. Verdiane for år 1 og år 30 står skrivne i figuren.

Noverdien av leigeinntekta kvart år. Ledda i rekkja krympar med vekstfaktoren $\displaystyle \frac{1}{1{,}04}$ — det er difor uendeleg mange utbetalingar likevel kan ha ein endeleg sum.

Svar: Noverdien er $1\,250\,000$ kr.

NB: Legg merke til kor enkelt svaret vart: årleg beløp delt på renta som desimaltal. Det er ikkje tilfeldig — utrekninga over viser kvifor $1{,}04$ blir forkorta bort kvar gong. Uendeleg mange utbetalingar på $50\,000$ kr er altså verd eit endeleg beløp i dag, fordi utbetalingane langt fram i tid nesten ikkje veg noko. Dei 30 første åra åleine står for $864\,602$ kr — over to tredjedelar av heile verdien.

Delsummen $S_n$ av leigeinntektene. Etter 30 år er to tredjedelar av heile verdien på plass, og kurva nærmar seg taket $S = 1\,250\,000$ kr utan nokon gong å nå det.

📝Oppgave 4

Uendelege geometriske rekkjer. Sjekk alltid konvergenskravet før du bruker formelen.

Bestem summen av $100 + 80 + 64 + \ldots$

Bestem summen av $\displaystyle 6 + 2 + \frac{2}{3} + \ldots$

Har rekkja $2 + 2{,}1 + 2{,}205 + \ldots$ ein sum?

Eit vasskraftverk gir eigaren $80\,000$ kr i året på slutten av kvart år, utan sluttdato. Kalkulasjonsrenta er $5\,\%$ . Kva er noverdien?

Kalkulasjonsrenta i d) blir sett ned til $2{,}5\,\%$ . Kva blir noverdien no, og kva fortel det?

Løs oppgaven

✏️Døme 5 — kor mange innskot må til?

Emma frå Døme 3 vil ha $500\,000$ kr på kontoen. Kor mange innskot på $20\,000$ kr må ho gjere, når renta er $3{,}5\,\%$ ?

Løysing:

Kva må vi finne? Talet på ledd $n$ i rekkja, slik at summen blir minst $500\,000$ kr.

Vi set opp likninga med $n$ som ukjend:

$\displaystyle 20\,000 \cdot 1{,}035 \cdot \frac{1{,}035^{\,n} - 1}{0{,}035} = 500\,000$

Vi gongar med $0{,}035$ på begge sider:

$20\,700 \cdot \left(1{,}035^{\,n} - 1\right) = 17\,500$

Vi deler på $20\,700$ på begge sider:

$\displaystyle 1{,}035^{\,n} - 1 = \frac{17\,500}{20\,700} \approx 0{,}845411$

Vi legg til $1$ på begge sider:

$1{,}035^{\,n} = 1{,}845411$

No står den ukjende i eksponenten. Vi tek den naturlege logaritmen på begge sider, som i kapittel 3.4:

$\ln\left(1{,}035^{\,n}\right) = \ln 1{,}845411$

$n \cdot \ln 1{,}035 = \ln 1{,}845411$

$\displaystyle n = \frac{\ln 1{,}845411}{\ln 1{,}035} \approx 17{,}81$

Svar: Emma må gjere 18 innskot.

NB: Her rundar vi opp, ikkje til næraste heiltal. Etter 17 innskot står det $469\,993{,}83$ kr — ikkje nok. Etter 18 innskot står det $507\,143{,}61$ kr. Når spørsmålet er «kor mange må til for å nå eit mål», er svaret alltid det første heile talet som passerer målet.

Prøv sjølv: fast årleg sparebeløp

Set inn sparebeløpet, renta og talet på innskot, og sjå kva rekkja summerer seg til. Prøv å doble talet på innskot og legg merke til at summen meir enn doblar seg — det er rente på rente i rekkja.

Årlig innskudd a

Rente r

Antall år n

\displaystyle S_n = a \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}

234 628 kr

Sluttverdifaktor

11,7314

Sum av innskudd

200 000 kr

Renteinntekter

34 628 kr

Oppsummering

- Ei rekkje er geometrisk når forholdet mellom naboledd er det same heile vegen. Dette forholdet er kvotienten $k$ .
- Ledd nummer $n$ : $a_n = a_1 \cdot k^{\,n-1}$
- Sumformelen: $S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^{\,n} - 1}{k - 1}$ for $k \ne 1$ . Provet går ut på å gonge summen med $k$ og trekkje frå — då fell alle mellomledda bort.
- Uendeleg rekkje: konvergerer berre når $|k| < 1$ , og då er $S = \dfrac{a_1}{1-k}$ . Konvergenskravet blir sjekka først.
- I økonomi er kvotienten nesten alltid ein vekstfaktor: $k = v$ når beløp veks framover i tid, og $\displaystyle k = \frac{1}{v}$ når beløp blir flytte bakover i tid (noverdi).
- Fast sparebeløp kvart år: snu summen så det minste leddet står først, så er $a_1$ verdien av det siste innskotet og $n$ er talet på innskot.
- Evigvarande årleg beløp $B$ med rente $r$ som desimaltal har noverdi $\dfrac{B}{r}$ .

📝Oppgave 5

Samleoppgåve, Del 2 — rekneark. Jonas set inn pengar på ein aksjesparekonto 1. januar kvart år i 20 år. Det første innskotet er

24\,000

kr, og han aukar innskotet med

3\,\%

kvart år. Kontoen gir

4\,\%

avkasting i året.

Lag eit rekneark med innskotsnummer i kolonne A (1 til 20), innskotsbeløpet i kolonne B og verdien av det innskotet 31. desember i år 20 i kolonne C.

Kva formlar set du i B2 og C2? (Innskotsnummeret står i A2.)

Kor stort er det tjuande innskotet?

Kor mykje står på kontoen 31. desember i år 20? Bruk =SUMMER(C2:C21).

Vis at verdiane i kolonne C dannar ei geometrisk rekkje, og bestem kvotienten. Rekn ut summen med sumformelen, og samanlikn med c).

Kor mykje av sluttbeløpet har Jonas sett inn sjølv, og kor mykje er avkasting?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgåve — drøfting. Ei stifting tilbyr å betale ut

60\,000

kr i året, på slutten av kvart år, utan sluttdato. Kalkulasjonsrenta er

4\,\%

. Rund av til to desimalar.

Kva er noverdien av den evigvarande utbetalinga?

Kva er noverdien dersom utbetalingane i staden varer i 25 år?

Kor stor del av den evigvarande noverdien ligg i dei 25 første åra?

Kor mange år må utbetalingane vare før noverdien har passert $90\,\%$ av den evigvarande?

Drøft: er «evigvarande» ein brukbar modell her? Kva ville ha skjedd med reknestykket dersom kalkulasjonsrenta var $0$ ?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.