3.5 Pris som funksjon av kvantum

Stigingstalet. Vi bruker formelen for stigingstal:

$$a = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1} = \frac{600 - 900}{45 - 30} = \frac{-300}{15} = -20$$

Tolkinga, i to steg. Først generelt: kvar gong $p$ aukar med 1, søkk $q$ med 20. Så i språket til bakeriet: for kvar krone prisen blir sett opp, sel dei 20 færre kaker i månaden.

Heile funksjonen. Vi tek utgangspunkt i punktet $(30,\ 900)$:

$$q(p) = 900 - 20(p - 30)$$
$$q(p) = 900 - 20p + 600$$
$$q(p) = 1500 - 20p$$

Kontroll i det andre punktet:

$$q(45) = 1500 - 20 \cdot 45 = 1500 - 900 = 600$$

så det stemmer.

Svar: $q(p) = 1500 - 20p$.

Dei to tala har kvar si tyding: $1500$ er kor mange kaker bakeriet ville blitt kvitt gratis, og $20$ er prisfølsemda. Ved $p = 75$ kroner er $q(75) = 0$ — då er det ingen kjøparar att.

Skal bakeriet selje $x$ kaker, må $1500 - 20p = x$. Vi løyser likninga for $p$:

$$x = 1500 - 20p \qquad | + 20p$$
$$x + 20p = 1500 \qquad | - x$$
$$20p = 1500 - x \qquad | : 20$$
$$p = \frac{1500 - x}{20}$$

Vi deler opp brøken, så uttrykket blir lettare å lese:

$$p(x) = \frac{1500}{20} - \frac{x}{20} = 75 - \frac{x}{20}$$

Kontroll. I Døme 1 fann vi at prisen $45$ kroner gir $600$ kaker. Set vi $x = 600$ inn i den omvende, må vi kome tilbake til $45$:

$$p(600) = 75 - \frac{600}{20} = 75 - 30 = 45$$

så det stemmer.

Svar: $p(x) = 75 - \dfrac{x}{20}$, og prisen må vere $45$ kroner for å selje $600$ kaker.

Legg merke til kva tala tyder no: $75$ er den prisen der salet er null (den høgaste prisen nokon vil betale i modellen), og $\displaystyle \frac{1}{20}$ seier kor mykje prisen må ned for kvar ekstra kake bakeriet vil bli kvitt.

Set bakeriet prisen opp med éi krone, sel dei 20 færre kaker.

I $\displaystyle p(x) = 75 - \frac{x}{20}$ er stigingstalet $\displaystyle -\frac{1}{20} = -0{,}05$. Eininga er kroner per kake:

Skal bakeriet selje éi kake til, må prisen ned med 5 øre.

b) Dei to tala er kvarandre sine omvende:

$$-20 \qquad \text{og} \qquad -\frac{1}{20}$$

Gongar vi dei saman, får vi $\displaystyle (-20) \cdot \left(-\frac{1}{20}\right) = 1$.

Svar: a) $-20$ kaker per krone og $-0{,}05$ kroner per kake. b) Dei er kvarandre sine omvende; produktet er 1.

Forklaringa ligg i einingane. Det eine talet blir målt i kaker per krone, det andre i kroner per kake. Snur du ein brøk på hovudet, snur eininga seg med. Det er den same samanhengen sett frå kvar si side — akkurat som at «tre kroner per kilo» og «ein tredjedels kilo per krone» seier det same.

NB: Det er lett å blande dei to tala. Spør deg alltid: kva er det eg endrar, og kva er det eg vil vite? Endrar du prisen og vil vite salet, bruker du $-20$. Endrar du salet og vil vite prisen, bruker du $-0{,}05$.

$$I(x) = x \cdot p(x)$$
$$I(x) = x\left(75 - \frac{x}{20}\right)$$

Vi gongar ut parentesen:

$$I(x) = 75x - \frac{x^{2}}{20}$$

Dette er ein andregradsfunksjon med negativ koeffisient framfor $x^2$, så grafen er ein parabel med toppunkt.

b) Nullpunkta finn vi ved å faktorisere:

$$x\left(75 - \frac{x}{20}\right) = 0$$

Nullregelen gir $x = 0$ eller $\displaystyle 75 - \frac{x}{20} = 0$, altså $x = 1500$.

Parabelen er symmetrisk om midten mellom nullpunkta:

$$x = \frac{0 + 1500}{2} = 750$$

$$I(750) = 75 \cdot 750 - \frac{750^{2}}{20} = 56\,250 - \frac{562\,500}{20} = 56\,250 - 28\,125 = 28\,125$$

c)

$$p(750) = 75 - \frac{750}{20} = 75 - 37{,}5 = 37{,}5$$

Svar: a) $I(x) = 75x - \dfrac{x^2}{20}$. b) $750$ kaker gir størst inntekt, $28\,125$ kroner. c) Prisen må vere $37{,}50$ kroner.

Toppunktet kjem av at to krefter dreg mot kvarandre. Set bakeriet prisen opp, tener dei meir på kvar kake — men sel færre. Set dei prisen ned, sel dei fleire — men tener mindre på kvar. Ein stad imellom ligg det beste punktet, og her er det midt mellom dei to ytterpunkta.

NB: Størst inntekt er ikkje det same som størst overskot. Kakene kostar noko å lage, og då flyttar det beste punktet seg. Det reknar vi på i kapittel 7 — og då bruker vi derivasjon i staden for symmetri, fordi funksjonane sjeldan er så snille som denne.

Feilen er ikkje i rekninga — ho er rett. Feilen er at funksjonen vart brukt utanfor gyldigheitsområdet sitt.

Kva område gjeld? To krav må vere oppfylte samtidig:

Krav 1 — talet kan ikkje vere negativt: $q(p) \geq 0$

$$1500 - 20p \geq 0 \qquad | + 20p$$
$$1500 \geq 20p \qquad | : 20$$
$$75 \geq p$$

Krav 2 — prisen kan ikkje vere negativ: $p \geq 0$.

Til saman:

$$0 \leq p \leq 75 \qquad \text{og} \qquad 0 \leq q(p) \leq 1500$$

Modellen gir tal for alle prisar, men berre tala i det grøne området har meining. Ved $p = 100$ er svaret $-500$ kaker — rekninga er rett, men spørsmålet ligg utanfor gyldigheitsområdet.

Svar: Modellen gjeld for prisar frå og med 0 til og med 75 kroner, som svarer til eit sal frå og med 0 til og med 1500 kaker. Ved $p = 100$ er vi utanfor, og svaret er meiningslaust.

NB — det viktigaste atterhaldet er ikkje matematisk. Bakeriet har berre målt to prisar: 30 og 45 kroner. At samanhengen er lineær akkurat der, tyder ikkje at han er det ved 5 kroner eller ved 70. Kanskje kjem det heilt nye kundegrupper når kaka er billig, og kanskje forsvinn dei siste kundane brått når ho blir dyr.

Innanfor 30–45 kroner er modellen ei måling. Utanfor er han ein føresetnad. Begge delar kan vere nyttige, men dei er ikkje like sterke, og ei tilråding bør seie kva for ein av dei to ho byggjer på.