3.4 Renterekning med e og ln

Vi set opp likninga:

$$45\,000 \cdot 1{,}035^{\,n} = 80\,000 \qquad | : 45\,000$$

$$1{,}035^{\,n} = \frac{80\,000}{45\,000} \approx 1{,}777778$$

No står den ukjende i eksponenten, og vi tek $\ln$ på begge sider:

$$\ln\left(1{,}035^{\,n}\right) = \ln 1{,}777778 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

Potensregelen hentar $n$ ned:

$$n \cdot \ln 1{,}035 = \ln 1{,}777778 \qquad | : \ln 1{,}035$$

$$n = \frac{\ln 1{,}777778}{\ln 1{,}035} \approx \frac{0{,}575364}{0{,}034401} \approx 16{,}725$$

Kontroll. Renta blir berre tilskriven éin gong i året, så pengane må stå ut det syttande året:

$$K(16) = 45\,000 \cdot 1{,}035^{16} \approx 78\,029{,}37$$
$$K(17) = 45\,000 \cdot 1{,}035^{17} \approx 80\,760{,}40$$

Svar: Modellen gir $16{,}73$ år. Med årleg rentetilskriving må pengane stå i 17 år før Jonas har $80\,000$ kroner.

NB: Legg merke til skilnaden på dei to svara. Formelen gir eit desimaltal — det er rett for ein modell som veks jamt. Men banken skriv renta inn éin gong i året, og då hjelper det ikkje å ta ut pengane etter $16{,}73$ år. Svar på det oppgåva faktisk spør om, og sei kva for eitt av dei to du gir.

$$1{,}05^{\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2 \qquad | : \ln 1{,}05$$
$$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$$

b) Med kontinuerleg rente er $r = 0{,}05$:

$$e^{\,0{,}05\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$0{,}05\,t = \ln 2 \qquad | : 0{,}05$$
$$t = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}8629$$

c) Dei to tommelfingerreglane:

$$\frac{72}{5} = 14{,}4 \qquad\qquad \frac{69{,}3}{5} = 13{,}86$$

Svar: a) Omtrent $14{,}21$ år. b) Omtrent $13{,}86$ år. c) 72-regelen treffer den årlege best; $69{,}3$-regelen treffer den kontinuerlege på to desimalar.

Den kontinuerlege modellen doblar raskare fordi renta heile tida blir lagd til undervegs og byrjar å gi avkasting med det same. I formlane ser vi det på nemnaren: $\ln 1{,}05 \approx 0{,}0488$ er litt mindre enn $0{,}05$. Mindre nemnar gir større brøk, og dermed lengre tid — så det stemmer.

Og $69{,}3$-regelen er ikkje lenger noko mysterium. Han er $100 \ln 2 \approx 69{,}31$ avrunda til éin desimal, akkurat som vi viste i 3.3 Døme 5.

Vi byrjar likt i begge tilfella, ved å dele bort startbeløpet:

$$\frac{400\,000}{250\,000} = 1{,}6$$

a) Kontinuerleg. Då er modellen $K_0 e^{\,r\,t}$:

$$e^{\,8r} = 1{,}6 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$
$$8r = \ln 1{,}6 \qquad | : 8$$
$$r = \frac{\ln 1{,}6}{8} \approx \frac{0{,}470004}{8} \approx 0{,}058750$$

Som prosent: $p = 100r \approx 5{,}88\,\%$.

b) Årleg. Då er modellen $K_0 v^{\,n}$, og no står den ukjende i grunntalet — ikkje i eksponenten. Då treng vi ikkje logaritmar i det heile; vi tek åttanderota, akkurat som i 3.1:

$$v^{8} = 1{,}6$$
$$v = \sqrt[8]{1{,}6} \approx 1{,}060511$$

Som prosent: $p = (v - 1) \cdot 100 \approx 6{,}05\,\%$.

Kontroll: $250\,000 \cdot 1{,}060511^{8} \approx 400\,000$ og $250\,000 \cdot e^{8 \cdot 0{,}05875} \approx 400\,000$ — så det stemmer begge vegar.

Svar: a) Omtrent $5{,}88\,\%$ kontinuerleg rente. b) Omtrent $6{,}05\,\%$ årleg rente.

NB — den viktigaste lærdomen i dette dømet: spør deg alltid kvar den ukjende står. Står han i eksponenten, tek du $\ln$. Står han i grunntalet, tek du rota. Dei to tilfella ser like ut i oppgåveteksten, men krev heilt ulike verktøy.

At dei to rentesatsane er litt ulike, er venta: den kontinuerlege jobbar «oftare» og treng difor ein litt lågare sats for å kome like langt.

$$0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000} \approx 0{,}263158 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

$$t \cdot \ln 0{,}86 = \ln 0{,}263158 \qquad | : \ln 0{,}86$$

$$t = \frac{\ln 0{,}263158}{\ln 0{,}86} \approx \frac{-1{,}335001}{-0{,}150823} \approx 8{,}8514$$

Legg merke til at begge tala i brøken er negative. Det er ikkje ein feil: logaritmen av eit tal under 1 er negativ, og her er både $0{,}263158$ og $0{,}86$ under 1. To negative tal delte på kvarandre gir eit positivt svar — og tida skal jo vere positiv.

b) Halvparten av $380\,000$ er $190\,000$, men vi treng ikkje det talet i det heile. Vi deler bort startverdien og får

$$0{,}86^{\,t} = 0{,}5$$
$$t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}86} \approx \frac{-0{,}693147}{-0{,}150823} \approx 4{,}5958$$

Kontroll: $V(4{,}5958) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{4{,}5958} \approx 189\,999$ kroner — så det stemmer.

Halveringstida er den same uansett kvar vi byrjar å måle: det tek $4{,}60$ år å gå frå 380 000 til 190 000 kr, og like lang tid vidare ned til 95 000 kr.

Svar: a) Etter omtrent $8{,}85$ år. b) Halveringstida er omtrent $4{,}60$ år.

Tabellsvaret frå 3.2 var «mellom 8 og 9 år», og $8{,}85$ ligg nettopp der. Skilnaden er at vi no har det eksakte talet, og at rekninga tok tre linjer i staden for ein tabell.

NB: Halveringstida på $4{,}60$ år tyder at bilen mistar halve verdien to gonger i løpet av drygt ni år. Etter $2 \cdot 4{,}5958 \approx 9{,}19$ år er han altså verd ein fjerdedel — og ein fjerdedel av $380\,000$ er $95\,000$, som passar med svaret i a).

Vi set uttrykka lik kvarandre:

$$100\,000 \cdot 1{,}045^{\,t} = 92\,000 \cdot 1{,}055^{\,t}$$

No samlar vi potensane på éi side og tala på den andre. Først deler vi på $1{,}045^{\,t}$ på begge sider, så på $92\,000$:

$$100\,000 = 92\,000 \cdot \frac{1{,}055^{\,t}}{1{,}045^{\,t}} \qquad | : 92\,000$$

$$\frac{100\,000}{92\,000} = \left(\frac{1{,}055}{1{,}045}\right)^{\,t}$$

(Her brukte vi at $\displaystyle \frac{a^t}{b^t} = \left(\frac{a}{b}\right)^t$.)

$$1{,}086957 = 1{,}009569^{\,t} \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$$

$$\ln 1{,}086957 = t \cdot \ln 1{,}009569 \qquad | : \ln 1{,}009569$$

$$t = \frac{\ln 1{,}086957}{\ln 1{,}009569} \approx \frac{0{,}083382}{0{,}009524} \approx 8{,}755$$

Kontroll: $A(8{,}755) \approx 147\,016$ kroner og $B(8{,}755) \approx 147\,016$ kroner — så det stemmer.

Kryssingstidspunktet avgjer valet: skal pengane stå kortare enn $8{,}76$ år, er A best; skal dei stå lenger, er B best.

Svar: Dei to avtalane er like store etter omtrent $8{,}76$ år. Før det er A størst, etter det er B størst.

Kva svaret blir brukt til. Skal pengane stå i under 8–9 år, vel du A. Skal dei stå lenger, vel du B. Kryssingstidspunktet er altså ikkje berre eit tal — det er den opplysninga som avgjer valet, og ho er avhengig av kor lenge pengane skal stå, ikkje av kva rente som ser høgast ut i annonsen.