3.3 Den naturlege logaritmen | Matematikk for økonomi

ln som omvend av e^x, logaritmereglar og å løyse likningar med ukjend eksponent.

45 min

6 oppgaver

Naturleg logaritmeLogaritmereglar

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Operasjonen som hentar eksponenten ned

I 3.2 stoppa vi tre gonger på same staden.

$1{,}035^{\,t} = 2 \qquad 0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000} \qquad 1{,}07^{\,t} = \frac{A(t)}{50\,000}$

Kvar gong stod den ukjende oppe i eksponenten, og kvar gong måtte vi setje opp ein tabell og leite.

Det er ikkje fordi vi rekna feil. Det er fordi vi mangla eit verktøy.

Tenk på korleis vi elles løyser likningar: vi gjer den motsette operasjonen på begge sider. Er noko lagt til, trekkjer vi frå. Er noko gonga, deler vi. Er noko kvadrert, tek vi kvadratrota. Kvar operasjon har ein motsett.

Også $e^{\,x}$ har ein motsett operasjon. Han heiter den naturlege logaritmen, blir skriven $\ln$ , og er heile innhaldet i dette kapittelet. Når vi har han, kan vi løyse alle likningane over på tre linjer.

Den naturlege logaritmen

a > 0

✏️Døme 1: Logaritmar du kan rekne i hovudet

Rekn ut utan kalkulator.

a) $\ln 1$ b) $\ln e$ c) $\ln\left(e^{5}\right)$ d) $\displaystyle \ln\left(\frac{1}{e}\right)$ e) $e^{\ln 7}$

Spørsmålet er kvar gong det same: kva eksponent må $e$ ha?

a) $e^{0} = 1$ , så
$\ln 1 = 0$

b) $e^{1} = e$ , så
$\ln e = 1$

c) Her står eksponenten alt der:
$\ln\left(e^{5}\right) = 5$

d) Vi skriv om brøken til potensform først — same knep som i 3.1:
$\frac{1}{e} = e^{-1} \qquad \Longrightarrow \qquad \ln\left(\frac{1}{e}\right) = -1$

e) Her er dei to operasjonane sette rett etter kvarandre, og dei opphevar kvarandre:
$e^{\ln 7} = 7$

Svar: a) $0$ , b) $1$ , c) $5$ , d) $-1$ , e) $7$ .

NB til d): Logaritmen av eit tal mellom 0 og 1 er negativ. Det er ikkje det same som at logaritmen av eit negativt tal finst — det gjer han ikkje. Sjølve talet inni må vere positivt; svaret kan gjerne vere negativt.

Kva figuren viser

At $\ln$ gjer det motsette av $e^{\,x}$ , ser vi rett i grafane: dei er spegelbilete av kvarandre om linja $y = x$ .

- $e^{\,x}$ går gjennom $(0, 1)$ . $\ln x$ går gjennom $(1, 0)$ — dei same to tala, bytte om.
- $e^{\,x}$ er definert for alle $x$ og gir alltid eit positivt svar. $\ln x$ er definert berre for positive $x$ , men kan gi alle svar.
- $e^{\,x}$ stig stadig brattare. $\ln x$ stig stadig saktare.

Den siste eigenskapen er verd ein økonomisk kommentar. $\ln x$ veks utan stopp, men ufatteleg sakte: for å kome frå $\ln x = 10$ til $\ln x = 11$ må $x$ gongast med $e \approx 2{,}718$ . Difor dukkar logaritmen opp i modellar med avtakande utbyte — som annonsekronene vi møter igjen i kapittel 6.

📜Logaritmereglane

For alle

a > 0

b > 0

og alle tal

k

$\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$

$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

$\ln\left(a^{\,k}\right) = k \cdot \ln a$

I tillegg er $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$ .

Den tredje regelen er den vi kjem til å bruke mest. Han gjer nemleg nøyaktig det vi treng: han hentar eksponenten ned som faktor.

ÅTVARING — den vanlegaste feilen i heile kapittelet:

$\ln(a + b) \ \neq \ \ln a + \ln b$

Reglane gjeld for produkt, ikkje for sum. Prøv med tal: $\ln(2 + 3) = \ln 5 \approx 1{,}609$ , medan $\ln 2 + \ln 3 \approx 1{,}792$ . Det er to ulike tal. Ein sum inni ein logaritme lèt seg ikkje dele opp — punktum.

✏️Døme 2: Reglane i bruk

a) Skriv $\ln 2 + \ln 3$ som éin logaritme, og kontroller med kalkulator.

b) Skriv $\ln\left(1{,}05^{12}\right)$ utan eksponent.

c) Ein kollega skriv $\ln(100 + 50) = \ln 100 + \ln 50$ . Har ho rett?

a) Sum av logaritmar blir logaritmen av produktet:

$\ln 2 + \ln 3 = \ln(2 \cdot 3) = \ln 6$

Kontroll: $\ln 2 \approx 0{,}693147$ og $\ln 3 \approx 1{,}098612$ . Summen er $1{,}791759$ , og $\ln 6 \approx 1{,}791759$ — så det stemmer.

b) Her bruker vi potensregelen og hentar eksponenten ned:

$\ln\left(1{,}05^{12}\right) = 12 \cdot \ln 1{,}05$

$12 \cdot 0{,}04879016 \approx 0{,}585482$

(Kontroll: $1{,}05^{12} \approx 1{,}795856$ , og $\ln 1{,}795856 \approx 0{,}585482$ — så det stemmer.)

c) Nei. Her står det ein sum inni logaritmen, og då gjeld ingen av reglane. Vi reknar ut begge sider:

$\ln(100 + 50) = \ln 150 \approx 5{,}0106$
$\ln 100 + \ln 50 \approx 4{,}6052 + 3{,}9120 = 8{,}5172$

Tala er ikkje i nærleiken av kvarandre.

Svar: a) $\ln 6$ . b) $12 \ln 1{,}05 \approx 0{,}5855$ . c) Nei — reglane gjeld for produkt, ikkje for sum.

NB til c): Det kollegaen kunne ha gjort, er $\ln(100 \cdot 50) = \ln 100 + \ln 50$ . Skilnaden mellom $+$ og $\cdot$ inni parentesen er heile skilnaden.

📝Oppgave 3.3.1

Rekn ut utan kalkulator. Svara er heile tal.

\ln 1

\ln e

\ln\left(e^{3}\right)

\ln\left(\dfrac{1}{e^{2}}\right)

e^{\ln 5}

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.3.2

Skriv om med logaritmereglane.

Skriv $\ln 5 + \ln 4$ som éin logaritme.

Skriv $\ln 30 - \ln 6$ som éin logaritme.

Skriv $\ln\left(x^{4}\right)$ utan eksponent.

Skriv $3 \ln 2$ som éin logaritme.

Skriv $\ln\left(1{,}06^{25}\right)$ utan eksponent, og rekn ut verdien med fire desimalar.

Løs oppgaven

📜Å løyse likningar med

e

\ln

Det er to typar, og dei blir løyste kvar sin veg — men prinsippet er det same som for alle likningar: same operasjon på begge sider.

Type 1 — den ukjende står i eksponenten. Då tek vi $\ln$ på begge sider:

$e^{\,x} = 20 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,x}\right) = \ln 20$
$x = \ln 20$

Type 2 — den ukjende står inne i ein logaritme. Då opphøgjer vi $e$ i begge sider:

$\ln x = 2{,}5 \qquad |\ \text{opphøg } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{2{,}5}$
$x = e^{2{,}5}$

NB: Skriv alltid den midtarste linja. Det er der operasjonen faktisk skjer, og det er ho som viser at $\ln$ og $e$ opphevar kvarandre. Hoppar du rett frå $\ln x = 2{,}5$ til $x = e^{2{,}5}$ , ser det ut som ein regel du har pugga. Skriv du linja, ser det ut som det er — den motsette operasjonen på begge sider, akkurat som når du deler bort ein faktor.

Har den ukjende eit grunntal som ikkje er $e$ — til dømes $1{,}035^{\,t} = 2$ — tek vi $\ln$ på begge sider og bruker så potensregelen til å hente eksponenten ned.

✏️Døme 3: Ukjend i eksponenten

Løys likningane.

a) $e^{\,x} = 20$

b) $1{,}035^{\,t} = 2$

a) Den ukjende står i eksponenten, så vi tek

\ln

på begge sider:

$e^{\,x} = 20 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,x}\right) = \ln 20$
$x = \ln 20 \approx 2{,}9957$

Kontroll: $e^{2{,}9957} \approx 20$ — så det stemmer.

b) Her er grunntalet $1{,}035$ , ikkje $e$ . Vi tek $\ln$ på begge sider likevel:

$1{,}035^{\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(1{,}035^{\,t}\right) = \ln 2$

No bruker vi potensregelen på venstresida. Det er han som hentar $t$ ned frå eksponenten:

$t \cdot \ln 1{,}035 = \ln 2 \qquad | : \ln 1{,}035$
$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}035}$

$t \approx \frac{0{,}6931472}{0{,}03440143} \approx 20{,}1488$

Svar: a) $x = \ln 20 \approx 2{,}9957$ . b) $t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035} \approx 20{,}15$ .

Dette er doblingstida frå 3.2 Døme 4. Der fann vi «mellom 20 og 21 år» ved å prøve oss fram i ein tabell med fire linjer. No er svaret eksakt, og rekninga tok tre linjer.

NB — den vanlegaste feilen her: $\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035}$ er ikkje det same som $\ln\left(\dfrac{2}{1{,}035}\right)$ . Den eine er ein brøk av to logaritmar, den andre er logaritmen av ein brøk. Rekn dei ut, så ser du: $20{,}15$ mot $0{,}6587$ .

📝Oppgave 3.3.3

Gjer det same som i Døme 3 a). Løys likningane. Oppgi svaret med fire desimalar.

e^{\,x} = 50

e^{\,x} = 0{,}4

4e^{\,x} = 100

e^{\,0{,}05x} = 3

e^{\,0{,}08t} = 2

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.3.4

Gjer det same som i Døme 3 b). Løys for $t$ , og oppgi svaret med fire desimalar.

1{,}07^{\,t} = 2

1{,}04^{\,t} = 1{,}5

0{,}92^{\,t} = 0{,}5

Varebilen frå 3.2: løys $380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t} = 100\,000$ .

Samanlikn svaret i d) med tabellsvaret i 3.2 Døme 2. Stemmer dei overeins?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Ukjend inne i logaritmen

Løys likningane.

a) $\ln x = 2{,}5$

b) $3 + 2 \ln x = 11$

a) Den ukjende står inne i logaritmen, så vi opphøgjer

e

i begge sider:

$\ln x = 2{,}5 \qquad |\ \text{opphøg } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{2{,}5}$
$x = e^{2{,}5} \approx 12{,}1825$

Den midtarste linja er der jobben blir gjord: $e^{\ln x}$ er $x$ , fordi dei to operasjonane opphevar kvarandre.

b) Her må vi rydde først — logaritmen skal stå åleine før vi opphøgjer:

$3 + 2\ln x = 11 \qquad | -3$
$2\ln x = 8 \qquad | : 2$
$\ln x = 4 \qquad |\ \text{opphøg } e \text{ i begge sider}$
$e^{\ln x} = e^{4}$
$x = e^{4} \approx 54{,}5982$

Kontroll: $3 + 2 \cdot \ln\left(e^{4}\right) = 3 + 2 \cdot 4 = 11$ — så det stemmer.

Svar: a) $x = e^{2{,}5} \approx 12{,}18$ . b) $x = e^{4} \approx 54{,}60$ .

NB: Rekkjefølgja i b) er den same som i alle andre likningar: rydd til logaritmen står åleine, og opphøg så. Å opphøgje $e$ medan det framleis står eit $+3$ utanfor, hjelper ingenting — for $e^{3 + 2\ln x}$ er ikkje noko enklare enn det vi starta med.

📝Oppgave 3.3.5

Løys likningane. Skriv den linja der du opphøgjer $e$ i begge sider. Oppgi svaret med fire desimalar der det ikkje er eksakt.

\ln x = 3

2 \ln x + 1 = 7

\ln(2x) = 4

\ln x + \ln 4 = \ln 20

\ln x = -1

. Finst det ei løysing? Grunngi.

Løs oppgaven

✏️Døme 5: Tilbake til 69,3-talet

I kapittel 1.5 fann vi eit merkeleg mønster: med kontinuerleg rente er produktet av renta i prosent og doblingstida i år alltid omtrent $69{,}3$ . Vis kvifor.

Kva veit vi? Med kontinuerleg rente er kapitalen

K_0 \cdot e^{\,r\,t}

, der

r

er renta som desimaltal. Kva må vi finne? Doblingstida, uttrykt ved

r

Vi set opp likninga for dobling:

$K_0 \cdot e^{\,r\,t} = 2 \cdot K_0 \qquad | : K_0$
$e^{\,r\,t} = 2 \qquad |\ \text{ta } \ln \text{ på begge sider}$
$\ln\left(e^{\,r\,t}\right) = \ln 2$
$r \cdot t = \ln 2 \qquad | : r$
$t = \frac{\ln 2}{r}$

Dette er doblingstidsformelen for kontinuerleg rente, og han er eksakt.

No gongar vi doblingstida med renta i prosent. Renta i prosent er $p = 100r$ , så

$p \cdot t = 100r \cdot \frac{\ln 2}{r} = 100 \cdot \ln 2$

Her blir $r$ forkorta bort — og det er nettopp difor produktet er det same uansett rentenivå. Til slutt set vi inn talet:

$100 \cdot \ln 2 \approx 100 \cdot 0{,}693147 = 69{,}3147$

Svar: Produktet er $100 \ln 2 \approx 69{,}31$ , uavhengig av renta.

Mysteriet frå 1.5 var altså talet $\ln 2$ heile tida.

Tommelfingerregelen « $\displaystyle \frac{72}{p}$ » bruker eit litt større tal enn $69{,}3$ . For kontinuerleg rente er $69{,}3$ eksakt. For årleg tilskriving er doblingstida litt lengre, og der treffer 72 betre ved vanlege rentenivå. Ved $8\,\%$ er den eksakte doblingstida

$\frac{\ln 2}{\ln 1{,}08} \approx 9{,}01 \text{ år}$

medan $\displaystyle \frac{72}{8} = 9$ og $\displaystyle \frac{69{,}3}{8} \approx 8{,}66$ . I tillegg lèt 72 seg dele på 2, 3, 4, 6, 8, 9 og 12.

Oppsummering

Definisjonen: $\ln a$ er den eksponenten $e$ må ha for å bli $a$ . Berre definert for $a > 0$ .

$e^{\ln a} = a \qquad\qquad \ln\left(e^{\,x}\right) = x$

Reglane:

Regel
$\ln(a \cdot b)$	$= \ln a + \ln b$
$\displaystyle \ln\left(\frac{a}{b}\right)$	$= \ln a - \ln b$
$\ln\left(a^{k}\right)$	$= k \cdot \ln a$
$\ln 1 = 0$	$\ln e = 1$

Dei to likningstypane:

Den ukjende står	Operasjon på begge sider	Døme
i eksponenten	ta $\ln$	$e^{\,x} = 20 \Rightarrow x = \ln 20$
inne i logaritmen	opphøg $e$	$\ln x = 4 \Rightarrow x = e^{4}$

Og har den ukjende eit anna grunntal enn

e

: ta

\ln

på begge sider, og bruk potensregelen til å hente eksponenten ned. Det er nøyaktig stega frå Døme 3 b, der vi løyste

1{,}035^{\,t} = 2

b^{\,t} = c \quad \Longrightarrow \quad t \ln b = \ln c \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{\ln c}{\ln b}

Arbeidsmåten:

1. Rydd så logaritmen — eller potensen — står åleine.

2. Gjer den motsette operasjonen på begge sider, og skriv linja der du gjer det.
3. Rekn ut.
4. Kontroller ved å setje svaret inn i den opphavlege likninga.
Vanlege feil:

- $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ . Gale. Reglane gjeld produkt, ikkje sum.

- $\dfrac{\ln c}{\ln b} = \ln\left(\dfrac{c}{b}\right)$ . Gale. Ein brøk av logaritmar er ikkje logaritmen av ein brøk.

- Å opphøgje $e$ før logaritmen står åleine.
- Å tru at $\ln x$ ikkje kan vere negativ. Det kan han — for alle $x$ mellom 0 og 1.

📝Oppgave 3.3.6

Del 2 — rekneark. Ein prisindeks står i 100 i dag og stig med

3{,}2\,\%

i året, slik at

P(t) = 100 \cdot 1{,}032^{\,t}

Lag eit rekneark med årstal i kolonne A og indeksen i kolonne B (=100*1,032^A2). Den naturlege logaritmen heiter LN() i reknearket, og $e^{x}$ heiter EKSP().

Kva er indeksen etter 5 år og etter 10 år? Rund av til to desimalar.

Rekn ut nøyaktig når prisnivået er dobla. Bruk formelen $\displaystyle t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}032}$ , eller =LN(2)/LN(1,032) i reknearket.

Kontroller svaret i b) mot reknearket: kva er $P(22)$ og $P(23)$ ?

Når er prisnivået tredobla? Kor mange gonger så lang tid tek det som doblinga?

Ein avisartikkel skriv: «Prisane blir dobla på 22 år. Etter 44 år er dei altså firedobla, og etter 66 år er dei seksdobla.» Vurder dei to påstandane.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.