3.2 Eksponentialfunksjonar

f(x) = a·b^x, vekst og fall, doblingstid og halveringstid.

45 min

6 oppgaver

EksponentialfunksjonarDoblingstid

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

No flyttar $x$ seg opp i eksponenten

I 3.1 stod $x$ i grunntalet. No byter dei to plass, og då endrar alt seg.

Du har eigentleg rekna med eksponentialfunksjonar sidan kapittel 1. Formelen for sparing med årleg rentetilskriving,

$K_n = K_0 \cdot v^{\,n}$

er ein eksponentialfunksjon — vi kalla han berre ikkje det. Startbeløpet $K_0$ er koeffisienten, vekstfaktoren $v$ er grunntalet, og talet på år $n$ er den variable.

Det nye i dette kapittelet er at vi ser på heile grafen, ikkje berre på enkeltverdiar. Det gir oss eit språk for alt som veks eller fell med ein fast prosent: bankinnskot, løn, prisar, kundetal, verdien på ein bil.

Og det gir oss eit problem. Vi klarer å rekne ut kor mykje etter eit gitt tal på år. Men spør nokon når beløpet har dobla seg, står vi fast — den ukjende er oppe i eksponenten, og der kjem vi ikkje til med dei operasjonane vi har. I dette kapittelet prøver vi oss fram med tabell. I 3.3 får vi verktøyet som løyser det éin gong for alle.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^{\,x}

✏️Døme 1: Eit innskot som veks

Hilde set inn $25\,000$ kroner på ein konto med $3{,}5\,\%$ årleg rente.

a) Set opp ein eksponentialfunksjon $B(t)$ for beløpet etter $t$ år.

b) Kor mykje står på kontoen etter 10 år? Etter 20 år?

Kva veit vi?

K_0 = 25\,000

kroner og

p = 3{,}5

. Kva må vi finne? Funksjonen, og to verdiar av han.

a) Først vekstfaktoren:

$b = 1 + \frac{3{,}5}{100} = 1 + 0{,}035 = 1{,}035$

Startverdien er beløpet ved $t = 0$ , altså $25\,000$ . Då er

$B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}$

b) Vi set inn:

$B(10) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{10} \approx 25\,000 \cdot 1{,}410599 \approx 35\,264{,}97$
$B(20) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{20} \approx 25\,000 \cdot 1{,}989789 \approx 49\,744{,}72$

Svar: a) $B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}$ . b) Omtrent $35\,265$ kroner etter 10 år og omtrent $49\,745$ kroner etter 20 år.

Legg merke til at beløpet ikkje veks like mykje kvart tiår. Dei første ti åra gav omtrent $10\,265$ kroner, dei neste ti gav omtrent $14\,480$ . Renta blir rekna av eit stadig større beløp — det er nettopp det eksponentialfunksjonen skildrar, og det er grunnen til at grafen krummar oppover i staden for å vere ei rett linje.

Vekst og fall — dei to formene

To eksponentialfunksjonar med same startverdi 100. Den eine har grunntal 1,25 og stig frå 100 ved x = 0 til omtrent 931 ved x = 10; den andre har grunntal 0,8 og søkk frå 100 til omtrent 11. Begge går gjennom punktet der x er 0 og y er 100, og ingen av dei kryssar x-aksen.

100 \cdot 1{,}25^x

(vekst)

100 \cdot 0{,}8^x

(fall)

Det grafen alltid gjer

Uansett kva tal $a$ og $b$ har, gjeld dette for $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

- Grafen skjer $y$ -aksen i $(0, a)$ — startverdien.
- Grafen ligg alltid over $x$ -aksen. Han nærmar seg aksen, men treffer han aldri. ( $x$ -aksen er ein asymptote.)
- Er $b > 1$ , stig grafen stadig brattare. Er $0 < b < 1$ , søkk han, og fallet blir slakare og slakare.

Det midtarste punktet er verd ein kommentar i økonomi. Ein bil som fell $14\,\%$ i verdi kvart år, blir aldri verdilaus i modellen — han nærmar seg null utan å kome dit. I røynda blir han til slutt seld for skrapverdi. Modellen har eit gyldigheitsområde, og han sluttar å vere nyttig lenge før han sluttar å gi tal.

✏️Døme 2: Ein bil som fell i verdi

Ein varebil kostar $380\,000$ kroner ny. Verdien fell med $14\,\%$ i året.

a) Set opp ein modell $V(t)$ for verdien etter $t$ år.

b) Kva er verdien etter 5 år?

c) Når er bilen verd under $100\,000$ kroner?

a) Verdien fell, så vekstfaktoren er mindre enn 1:

$b = 1 - \frac{14}{100} = 1 - 0{,}14 = 0{,}86$

$V(t) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t}$

$V(5) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{5} \approx 380\,000 \cdot 0{,}47042702 \approx 178\,762{,}27$

c) Her er den ukjende oppe i eksponenten, og vi har førebels ingen operasjon som hentar han ned. Så vi set opp ein tabell og leitar:

$t$	$V(t)$
8	113 702,81
9	97 784,42
10	84 094,60

Verdien passerer

100\,000

kroner mellom det åttande og det niande året. Etter 9 år er bilen for første gong verd under

100\,000

kroner.
Svar: a)

V(t) = 380\,000 \cdot 0{,}86^{\,t}

. b) Omtrent

178\,762

kroner. c) Etter 9 år.
NB: Svaret i c) fann vi ved å prøve oss fram. Det verkar, men det er tungvint — og det gir ikkje eit eksakt svar. I 3.3 lærer vi logaritmen, som løyser likninga

\displaystyle 0{,}86^{\,t} = \frac{100\,000}{380\,000}

direkte. Då kjem vi tilbake til nettopp denne bilen.

📝Oppgave 3.2.1

Rekn ut funksjonsverdien, og oppgi om funksjonen skildrar vekst eller fall — og med kor mange prosent per eining.

f(x) = 200 \cdot 1{,}2^{\,x}

. Finn

f(3)

g(x) = 5000 \cdot 0{,}9^{\,x}

. Finn

g(3)

h(x) = 80 \cdot 1{,}5^{\,x}

. Finn

h(4)

k(x) = 12\,000 \cdot 0{,}75^{\,x}

. Finn

k(2)

Kva er startverdien i kvar av funksjonane a–d?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.2

Gjer det same som i Døme 1. Ein nyutdanna byrjar med ei årsløn på $480\,000$ kroner. Vi ventar at løna aukar med $2{,}8\,\%$ i året.

Set opp ein funksjon $L(t)$ for årsløna etter $t$ år.

Kva er løna etter 5 år? Rund av til næraste krone.

Kva er løna etter 10 år?

Lag ein tabell og finn ut når løna passerer $600\,000$ kroner.

Ein kollega seier: «Løna aukar med $2{,}8\,\%$ , så etter 10 år har ho auka med $28\,\%$ .» Vurder påstanden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.3

Ein entreprenør kjøper ein gravemaskin til $1\,250\,000$ kroner. Verdien fell med $18\,\%$ i året.

Set opp ein funksjon $M(t)$ for verdien etter $t$ år.

Kva er verdien etter 3 år?

Kva er verdien etter 5 år?

Lag ein tabell og finn det første heile året der verdien er under $400\,000$ kroner.

Entreprenøren planlegg å selje maskinen når han er verd omtrent halvparten av kjøpesummen. Omtrent når er det?

Løs oppgaven

📜Å finne

a

b

frå to punkt

Framgangsmåten er den same som for potensfunksjonar i 3.1 — vi deler for å bli kvitt

a

. Skilnaden er kvar eksponenten hamnar:

$\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a \cdot b^{\,x_2}}{a \cdot b^{\,x_1}} = b^{\,x_2 - x_1}$

1. Del funksjonsverdiane på kvarandre. $a$ forsvinn, og eksponenten blir differansen mellom $x$ -verdiane.

2. Ta rota som svarer til differansen, og finn $b$ .

3. Set $b$ inn i eitt av punkta, og finn $a$ .

4. Kontroller i det andre punktet.

NB: I 3.1 vart eksponenten ståande og grunntala vart delte. Her er det motsett — grunntala er like, så eksponentane blir trekte frå kvarandre. Det er potensregelen $\displaystyle \frac{b^m}{b^n} = b^{\,m-n}$ som gjer jobben.

✏️Døme 3: Finn modellen frå to målingar

Ei strøymeteneste hadde $4800$ abonnentar etter eitt år og $16\,200$ abonnentar etter fire år. Veksten er eksponentiell.

a) Finn ein modell $N(t) = a \cdot b^{\,t}$ .

b) Kor mange abonnentar hadde tenesta ved starten?

c) Kor mange prosent veks abonnenttalet med i året?

Kva veit vi?

N(1) = 4800

N(4) = 16\,200

. Kva må vi finne?

a

b

a) Del.

$\frac{N(4)}{N(1)} = \frac{a \cdot b^{4}}{a \cdot b^{1}} = b^{\,4-1} = b^{3}$

$\frac{16\,200}{4800} = b^{3}$
$3{,}375 = b^{3}$

Ta tredjerota:

$b = \sqrt[3]{3{,}375} = 1{,}5$

(Kontroll: $1{,}5^3 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 3{,}375$ — så det stemmer.)

Finn $a$ ved å setje inn i $N(1) = 4800$ :

$a \cdot 1{,}5^{1} = 4800$
$a \cdot 1{,}5 = 4800 \qquad | : 1{,}5$
$a = 3200$

Kontroll i det andre punktet:

$N(4) = 3200 \cdot 1{,}5^{4} = 3200 \cdot 5{,}0625 = 16\,200$

så det stemmer.

b) Startverdien er $a$ , altså $N(0) = 3200$ abonnentar.

c) Vekstfaktoren er $1{,}5$ , og

$p = (1{,}5 - 1) \cdot 100 = 50$

Svar: a) $N(t) = 3200 \cdot 1{,}5^{\,t}$ . b) $3200$ abonnentar. c) $50\,\%$ i året.

NB: Legg merke til at startverdien $3200$ ikkje var oppgitt. Han kom ut av rekninga — modellen «reknar seg bakover» til $t = 0$ . Det er lov så lenge tenesta faktisk fanst då, og så lenge veksten var eksponentiell heile vegen. Begge delar er føresetnader, og dei bør nemnast når svaret blir lagt fram.

📝Oppgave 3.2.4

Finn $a$ og $b$ i eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^{\,x}$ .

f(0) = 700

f(3) = 5600

Kor mange prosent veks $f$ med per eining i a)?

f(2) = 810

f(5) = 590{,}49

Kontroller svaret i c) ved å rekne ut $f(5)$ , og finn $f(8)$ . Rund av til to desimalar.

Beskriv med ord kva funksjonen i c) gjer.

Løs oppgaven

Doblingstida er tida det tek før funksjonsverdien er dobbelt så stor. Halveringstida er tida før han er halvert.

Det spesielle ved eksponentialfunksjonar er at desse tidene er dei same uansett kvar vi byrjar å måle. Eit innskot som bruker rundt 20 år på å gå frå $25\,000$ til $50\,000$ kroner, bruker også rundt 20 år på å gå frå $50\,000$ til $100\,000$ kroner. Det er difor det gir meining å snakke om «doblingstida» som ein eigenskap ved modellen, ikkje ved beløpet.

Grunnen ser vi i formelen. Vi vil ha $a \cdot b^{\,t} = 2 \cdot a$ , og deler på $a$ på begge sider:

$b^{\,t} = 2$

Startverdien er borte. Det som blir att, er berre avhengig av $b$ .

✏️Døme 4: Doblingstid ved tabell

Kor lang tid tek det før innskotet i Døme 1, med $3{,}5\,\%$ rente, har dobla seg?

Kva veit vi?

B(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t}

. Kva må vi finne? Den

t

som gir

B(t) = 50\,000

Vi set opp likninga og deler på startbeløpet på begge sider:

$25\,000 \cdot 1{,}035^{\,t} = 2 \cdot 25\,000 \qquad | : 25\,000$
$1{,}035^{\,t} = 2$

No står den ukjende i eksponenten. Førebels prøver vi oss fram:

$t$	$1{,}035^{\,t}$
18	1,857489
19	1,922501
20	1,989789
21	2,059431

Verdien passerer 2 mellom

t = 20

t = 21

. Innskotet er altså dobla i løpet av det 21. året.
Svar: Doblingstida er mellom

20

21

år.
Kontroll mot 72-regelen frå kapittel 1.2:

\displaystyle \frac{72}{3{,}5} \approx 20{,}6

år. Tommelfingerregelen treffer altså godt her.
(Det eksakte svaret er

20{,}15

år. Korleis vi reknar det ut utan å prøve oss fram, kjem i 3.4.)

✏️Døme 5: Lineær eller eksponentiell vekst?

To sparetilbod startar begge på $50\,000$ kroner:

- Tilbod A: banken legg til $4000$ kroner kvart år.
- Tilbod B: banken gir $7\,\%$ rente kvart år.

a) Set opp funksjonar for dei to tilboda.

b) Kva tilbod er best etter 2 år? Etter 10 år?

c) Når går B forbi A?

a) Tilbod A legg til det same beløpet kvart år — det er lineær vekst:

$A(t) = 50\,000 + 4000t$

Tilbod B legg til den same prosenten kvart år — det er eksponentiell vekst:

$B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^{\,t}$

b) Vi reknar ut begge:

$t$	$A(t)$	$B(t)$
2	58 000	57 245,00
4	66 000	65 539,80
5	70 000	70 127,59
10	90 000	98 357,57
20	130 000	193 484,22

Etter 2 år er A best (58 000 mot 57 245). Etter 10 år er B klart best (98 358 mot 90 000).
c) B passerer A mellom

t = 4

t = 5

.
Svar: a)

A(t) = 50\,000 + 4000t

B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^{\,t}

. b) A er best etter 2 år, B er best etter 10 år. c) I løpet av det femte året.
Dette mønsteret er verd å hugse: lineær vekst leier i starten, eksponentiell vekst vinn til slutt. Det spelar inga rolle kor stort det faste tillegget er — så lenge prosenten er positiv, tek den eksponentielle modellen igjen den lineære før eller seinare. Ved

t = 20

er skilnaden over

63\,000

kroner.
Det er også difor du ikkje kan svare «kva tilbod er best?» utan å vite kor lenge pengane skal stå.

Tilbod A mot tilbod B

To sparetilbod som begge startar på 50 000 kroner. Den stipla rette linja er tilbod A, som legg til 4000 kroner i året og når 130 000 kroner etter 20 år. Den heiltrekte kurva er tilbod B med 7 prosent rente; ho ligg litt under A dei fire første åra, kryssar linja i løpet av det femte året og når 193 484 kroner etter 20 år.

A(t) = 50\,000 + 4000t

B(t) = 50\,000 \cdot 1{,}07^t

Oppsummering

Ein eksponentialfunksjon er $f(x) = a \cdot b^{\,x}$ , med $x$ i eksponenten.

Potensfunksjon (3.1)	Eksponentialfunksjon (3.2)
Form	$a \cdot x^{\,b}$	$a \cdot b^{\,x}$
$x$ står	i grunntalet	i eksponenten
Blir $x$ gonga med $k$	funksjonen blir gonga med $k^b$	—
Aukar $x$ med 1	—	funksjonen blir gonga med $b$
Typisk i økonomi	produksjon, einingskostnad, skala	rente, prisvekst, verdifall

Arbeidsmåten når du skal setje opp ein modell:
1. Finn startverdien

a

— det er verdien når

t = 0

.
2. Finn vekstfaktoren

\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}

(fall gir

b < 1

).
3. Skriv

f(t) = a \cdot b^{\,t}

, og sei kva

t

blir målt i.
4. Kontroller med ein verdi du kjenner.
Er berre to punkt kjende: del funksjonsverdiane på kvarandre, ta rota som svarer til differansen mellom

x

-verdiane, finn

a

, og kontroller i det andre punktet.

Doblingstid og halveringstid er uavhengige av startverdien, fordi $a$ forsvinn når vi deler.
Det som framleis står att: alle spørsmål som byrjar med når — når har beløpet dobla seg, når er bilen verd under 100 000, når går B forbi A. Vi har svart med tabell. I 3.3 får vi logaritmen, og då svarer vi med éi utrekning.
Vanlege feil:
- Å leggje saman prosentar over fleire år (« $10 \cdot 2{,}8\,\% = 28\,\%$ »). Vekstfaktorane skal gongast.
- Å tru at ein graf som søkk, må treffe $x$ -aksen. Han nærmar seg, men treffer aldri.

- Å bruke startverdien frå feil årstal. $a$ er verdien ved $t = 0$ , ikkje ved den første målinga.

📝Oppgave 3.2.5

Eit fond har $150\,000$ kroner ved starten og veks med $6{,}0\,\%$ i året, slik at $K(t) = 150\,000 \cdot 1{,}06^{\,t}$ .

Vis at doblingstida ikkje er avhengig av startbeløpet.

Bruk tabell og finn doblingstida.

Samanlikn med 72-regelen frå kapittel 1.2.

Når er beløpet firedobla? Samanlikn med svaret i b).

Forklar kvifor firedoblingstida må vere nøyaktig dobbelt så lang som doblingstida.

Løs oppgaven

📝Oppgave 3.2.6

Del 2 — rekneark. Ein onkel set av

120\,000

kroner til ei niese og vel mellom to ordningar:

- A: han legg til $9000$ kroner kvart år.
- B: beløpet står på ein konto med $6{,}0\,\%$ rente.

Lag eit rekneark med årstal i kolonne A, ordning A i kolonne B (=120000+9000*A2) og ordning B i kolonne C (=120000*1,06^A2).

Kva er beløpa etter 5 år i dei to ordningane?

I kva år går ordning B forbi ordning A?

Kva er beløpa etter 20 år?

Kva er beløpa etter 25 år, og kor mange gonger så stort er B som A då?

Niesa er 3 år i dag. Onkelen seier: «Ordning A er best, for dei første åtte åra ligg ho øvst.» Vurder rådet, og skriv kva du ville ha tilrådd.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

No flyttar xxx seg opp i eksponenten

Det grafen alltid gjer

Oppsummering

No flyttar $x$ seg opp i eksponenten