3.1 Potensfunksjonar

$$f(2) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$$
$$f(4) = 5 \cdot 4^3 = 5 \cdot 64 = 320$$

b) Her står $x$ i eksponenten. Det er ein eksponentialfunksjon.

$$g(2) = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$$
$$g(4) = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$$

c) Denne ser ikkje ut som $a \cdot x^b$ i det heile — men det er han. Vi skriv om:

$$\frac{200}{\sqrt{x}} = \frac{200}{x^{1/2}} = 200 \cdot x^{-1/2}$$

(Likskapen gjeld begge vegar! Det er den same omskrivinga som lèt deg gå tilbake til brøkform når svaret skal vere pent.)

Det er altså ein potensfunksjon med $a = 200$ og $\displaystyle b = -\frac{1}{2}$.

$$h(4) = \frac{200}{\sqrt{4}} = \frac{200}{2} = 100$$
$$h(100) = \frac{200}{\sqrt{100}} = \frac{200}{10} = 20$$

Svar: a) potensfunksjon, $f(2) = 40$ og $f(4) = 320$. b) eksponentialfunksjon, $g(2) = 45$ og $g(4) = 405$. c) potensfunksjon, $h(4) = 100$ og $h(100) = 20$.

NB: Ved $x = 2$ ligg $f$ og $g$ nesten likt (40 mot 45), ved $x = 3$ er dei like ($135$), og ved $x = 4$ har $g$ drege ifrå (405 mot 320). Det er ikkje tilfeldig — vi kjem tilbake til det i 3.2.

a) Vi set inn:

$$P(100) = 12 \cdot 100^{0{,}6} \approx 12 \cdot 15{,}849 \approx 190{,}19$$
$$P(200) = 12 \cdot 200^{0{,}6} \approx 12 \cdot 24{,}0225 \approx 288{,}27$$

Produksjonen er eit tal einingar, så vi rundar ned til heile einingar: omtrent $190$ og omtrent $288$ einingar.

b) No skal vi samanlikne, og då deler vi:

$$\frac{P(200)}{P(100)} = \frac{288{,}27}{190{,}19} \approx 1{,}52$$

Produksjonen blir altså omtrent $1{,}52$ gonger så stor — ikkje $2$ gonger.

Vi kan også sjå det direkte i uttrykket, utan tal:

$$\frac{P(2x)}{P(x)} = \frac{12 \cdot (2x)^{0{,}6}}{12 \cdot x^{0{,}6}} = \frac{12 \cdot 2^{0{,}6} \cdot x^{0{,}6}}{12 \cdot x^{0{,}6}} = 2^{0{,}6} \approx 1{,}5157$$

Her blir både $12$ og $x^{0{,}6}$ forkorta bort. Det som blir att, er berre $2^{0{,}6}$ — og det talet er det same uansett kor mange timar verkstaden starta med.

Svar: a) Omtrent $190$ einingar ved 100 timar og omtrent $288$ einingar ved 200 timar. b) Nei. Ei dobling av timane gir omtrent $52\,\%$ fleire einingar, ikkje $100\,\%$ fleire.

Dette er avtakande utbyte, og det er heile poenget med at $0 < b < 1$. Fleire folk i same verkstad tyder meir venting på maskinane og meir tid på å koordinere. Om doblinga likevel løner seg, er avhengig av kva einingane blir selde for — og det reknar vi på i kapittel 7.

$$K_e(x) = 900 \cdot x^{-0{,}25} = \frac{900}{x^{0{,}25}} = \frac{900}{\sqrt[4]{x}}$$

Ein negativ eksponent tyder altså at potensen hamnar i nemnaren. Då er resten hovudrekning, for vi har valt tal med pen fjerderot:

$$K_e(16) = \frac{900}{\sqrt[4]{16}} = \frac{900}{2} = 450$$
$$K_e(81) = \frac{900}{\sqrt[4]{81}} = \frac{900}{3} = 300$$
$$K_e(256) = \frac{900}{\sqrt[4]{256}} = \frac{900}{4} = 225$$

b) Einingskostnaden er kostnad per eining, så totalen finn vi ved å gonge med talet på einingar:

$$K = 256 \cdot K_e(256) = 256 \cdot 225 = 57\,600$$

c) Nei. Uansett kor stor $x$ blir, er $\displaystyle \frac{900}{\sqrt[4]{x}}$ eit positivt tal. Brøken blir mindre og mindre, men han treffer aldri null — det er den same typen åtferd som grenseverdien i 1.5.

Einingskostnaden fell når produksjonen aukar, men kurva flatar ut: produksjonen måtte sekstendoblast for at kostnaden per eining skulle halverast frå 450 til 225 kr. Stordriftsfordelen blir svakare.

Svar: a) $450$, $300$ og $225$ kroner per eining. b) $57\,600$ kroner. c) Nei, einingskostnaden nærmar seg null utan å nå han.
Legg merke til mønsteret: for å halvere einingskostnaden frå 450 til 225 måtte produksjonen sekstendoblast (frå 16 til 256). Stordriftsfordelane er størst i starten og blir svakare og svakare — akkurat som utbytet i Døme 2, berre spegelvendt.

Del. Vi set opp forholdet mellom dei to funksjonsverdiane:

$$\frac{f(16)}{f(4)} = \frac{a \cdot 16^{\,b}}{a \cdot 4^{\,b}}$$

$$\frac{48}{24} = \left(\frac{16}{4}\right)^{b}$$

$$2 = 4^{\,b}$$

(Her blir $a$ forkorta bort. Det er difor vi deler.)

Løys for $b$. Kva eksponent gjer 4 om til 2? Det er kvadratrota:

$$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2 \qquad \Longrightarrow \qquad b = \frac{1}{2}$$

Finn $a$. Vi set $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ inn i punktet $(4, 24)$:

$$a \cdot 4^{1/2} = 24$$
$$a \cdot 2 = 24 \qquad | : 2$$
$$a = 12$$

Kontroll i det andre punktet. Her skal vi bruke opplysninga vi ikkje brukte, til slutt:

$$f(16) = 12 \cdot 16^{1/2} = 12 \cdot 4 = 48$$

så det stemmer.

Svar: $a = 12$ og $b = \dfrac{1}{2}$, altså $f(x) = 12\sqrt{x}$.

$$K(2000) = 40 \cdot \left(\frac{2000}{1000}\right)^{0{,}6} = 40 \cdot 2^{0{,}6} \approx 40 \cdot 1{,}5157 \approx 60{,}63$$

b) Kostnaden per tonn kapasitet finn vi ved å dele kostnaden på talet på tonn:

$$\frac{40\,000\,000}{1000} = 40\,000 \text{ kroner per tonn}$$
$$\frac{60\,628\,663}{2000} \approx 30\,314 \text{ kroner per tonn}$$

Her bruker vi $K(2000)$ frå a) med fleire desimalar: $40 \cdot 2^{0{,}6} \approx 60{,}628663$ millionar.

c) Påstanden er feil. Modellen gir omtrent 60,6 millionar, ikkje 80. Investoren reknar lineært i ein samanheng som er ein potensfunksjon med eksponent $0{,}6$.

At eksponenten er mindre enn 1, er nettopp det som gjer at det løner seg å byggje stort: kostnaden veks saktare enn kapasiteten. Ei dobling av kapasiteten gir berre

$$2^{0{,}6} \approx 1{,}52$$

gonger så høg byggjekostnad — omtrent $52\,\%$ dyrare, ikkje $100\,\%$.

Svar: a) Omtrent $60{,}6$ millionar kroner. b) $40\,000$ kroner per tonn mot omtrent $30\,314$ kroner per tonn. c) Feil — anlegget blir omtrent $52\,\%$ dyrare, ikkje dobbelt så dyrt.

NB — ein modell er ein modell. Regelen over er ein røynsleregel frå prosessindustrien, og han gjeld i eit avgrensa område. Byggjer du ti gonger så stort, treffer han gjerne dårleg, for då må du kanskje ha to fabrikkar i staden for éin. Å kjenne gyldigheitsområdet til modellen høyrer med til å bruke han.