2.4 Samanlikning av økonomiske alternativ | Matematikk for økonomi

Noverdi som avgjerdsverktøy: kjøpe eller lease, betale no eller seinare.

45 min

6 oppgaver

NoverdiAvgjerder

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Samanlikning av økonomiske alternativ

No har vi alt vi treng. I dette kapittelet bruker vi noverdien til å svare på den typen spørsmål faget eigentleg handlar om:

- Løner det seg å kjøpe maskinen?
- Bør vi kjøpe varebilen eller lease han?
- Skal vi betale rekninga i dag med rabatt, eller om tre veker utan?
- Kva for eitt av to prosjekt bør verksemda velje?

Svaret følgjer alltid den same oppskrifta: set opp kontantstraumen, diskonter alt til i dag, og legg saman. Det nye er ikkje rekninga, men disiplinen — å få med alle beløpa, med rett forteikn, og å hugse kva reknestykket ikkje svarer på.

Netto noverdi og internrente

\text{NNV} = -K_0 + \frac{K_1}{v} + \frac{K_2}{v^2} + \cdots + \frac{K_n}{v^n}, \qquad v = 1 + \frac{p}{100}

✏️Døme 1 — løner investeringa seg?

Eit bakeri vurderer å kjøpe ein ny omn til $900\,000$ kr. Vi går ut frå at omnen gir netto innbetalingar på $250\,000$ kr kvart år i 5 år, og han kan seljast for $100\,000$ kr etter 5 år. Kalkulasjonsrenta er $6\,\%$ . Er investeringa lønsam?

Løysing:

Kva veit vi? Ei utbetaling i år 0, fem innbetalingar, og ein restverdi i år 5.
Kva må vi finne? Netto noverdi.

Vi set opp kontantstraumen først. Forteiknet er halve jobben:

år	0	1	2	3	4	5
beløp	$-900\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$	$+250\,000$ og $+100\,000$

Dei fem innbetalingane. Dei er like store, så vi set

250\,000

utanfor og summerer diskonteringsfaktorane:

\displaystyle \frac{1}{1{,}06} + \frac{1}{1{,}06^2} + \frac{1}{1{,}06^3} + \frac{1}{1{,}06^4} + \frac{1}{1{,}06^5} \approx 4{,}2123638

$250\,000 \cdot 4{,}2123638 \approx 1\,053\,090{,}95$

Restverdien i år 5:

$\displaystyle \frac{100\,000}{1{,}06^5} \approx \frac{100\,000}{1{,}33822558} \approx 74\,725{,}82$

Netto noverdi:

$\text{NNV} = -900\,000 + 1\,053\,090{,}95 + 74\,725{,}82$

$\approx 227\,816{,}76$

Ei tidslinje med åra 0 til 5. Frå år 0 peikar ei raud pil nedover, merkt minus 900 000, med teksten «investering» under. Frå kvart av åra 1 til 5 peikar ei blå pil opp, merkt pluss 250 000 rett over si eiga pil. I år 5 står i tillegg ei grøn pil opp eit stykke over den blå, merkt pluss 100 000, med teksten «restverdi» over.

Heile kontantstraumen i eitt bilete. Pil ned er utbetaling, pil opp er innbetaling — og restverdien i år 5 har si eiga pil, så han ikkje blir gløymd. Pilene viser retning (inn eller ut) og tidspunkt; lengdene er ikkje målestokk for beløpa, som står ved kvar pil.

Svar: Netto noverdi er omtrent $227\,817$ kr. Sidan han er positiv, er investeringa lønsam ved ei kalkulasjonsrente på $6\,\%$ .

NB: Kva tyder talet? Ikkje at bakeriet «tener $227\,817$ kr». Det tyder at omnen gir $227\,817$ kr meir enn det bakeriet kravde av pengane sine — kravet på $6\,\%$ er alt trekt frå inne i reknestykket. Det er difor nullpunktet er den interessante grensa, og ikkje eit krav om at NNV skal vere stor.

(Førast ikkje) Internrenta her er omtrent $14{,}4\,\%$ . Med andre ord toler prosjektet at kalkulasjonsrenta stig heilt opp dit før det sluttar å løne seg.

📜Noverdiregelen

Eit tiltak er lønsamt når

$\text{NNV} > 0$

Skal vi velje mellom fleire alternativ med same tidsrom og same kalkulasjonsrente, vel vi det med størst netto noverdi.

Består alternativa berre av utbetalingar — som når vi skal velje mellom to måtar å skaffe det same utstyret på — samanliknar vi noverdien av kostnadene, og vel den minste.

Noverdiregelen føreset at kontantstraumane er samanliknbare. Er levetidene ulike, eller er risikoen i dei to alternativa svært ulik, må dette handsamast i tillegg.

📝Oppgave 1

Rekn ut netto noverdi, og avgjer om tiltaket er lønsamt. Rund av til næraste krone.

Investering $300\,000$ kr no, innbetaling $120\,000$ kr kvart år i 3 år. Kalkulasjonsrente $5\,\%$ .

Investering $1\,000\,000$ kr no, innbetaling $150\,000$ kr kvart år i 10 år. Kalkulasjonsrente $6\,\%$ .

Investering $250\,000$ kr no, éi innbetaling på $300\,000$ kr om 4 år. Kalkulasjonsrente $4\,\%$ .

Investering $800\,000$ kr no, innbetaling $160\,000$ kr kvart år i 6 år, og restverdi $120\,000$ kr i år 6. Kalkulasjonsrente $5\,\%$ .

I c) er netto noverdi berre $6\,441$ kr. Kva tyder det, og kva ville skjedd med svaret dersom kalkulasjonsrenta var $5\,\%$ i staden?

Løs oppgaven

Når begge alternativa berre kostar pengar

Ofte er ikkje spørsmålet om vi skal skaffe noko, men korleis. Verksemda treng varebilen uansett — spørsmålet er om han skal kjøpast eller leasast. Begge alternativa består då berre av utbetalingar.

Då reknar vi noverdien av kostnadene i kvart alternativ og vel den minste. To ting er verd å merke seg:

- Alle utbetalingar er negative, også dei små årlege. Skriv du dei positive «for enkelheits skuld», er det berre eit spørsmål om tid før eit forteikn kjem feil ut.
- Restverdi er ei innbetaling. Kan bilen seljast for $150\,000$ kr etter fem år, høyrer det med i kjøpsalternativet — elles samanliknar vi ikkje likt.

Leigebeløp blir som regel betalt forskotsvis, altså ved starten av kvart år. Då kjem det første beløpet i år 0 og skal ikkje diskonterast.

✏️Døme 2 — kjøpe eller lease?

Eit røyrleggjarfirma treng ein varebil i 5 år og har to moglegheiter:

- Kjøpe: $420\,000$ kr i dag. Service kostar $15\,000$ kr på slutten av kvart år, og bilen kan seljast for $150\,000$ kr etter 5 år.
- Lease: $85\,000$ kr i byrjinga av kvart år i 5 år. Service er inkludert.

Kalkulasjonsrenta er $5\,\%$ . Kva bør firmaet velje?

Løysing:

Kva må vi finne? Noverdien av kostnadene i kvart alternativ.

Alternativ 1 — kjøpe.

Kjøpesummen kjem i år 0 og skal ikkje diskonterast:

$-420\,000$

Servicen er fem like store utbetalingar i år 1 til 5. Diskonteringsfaktorane summerer til $4{,}329477$ :

$-15\,000 \cdot 4{,}329477 \approx -64\,942{,}15$

Salet i år 5 er ei innbetaling:

$\displaystyle \frac{150\,000}{1{,}05^5} \approx \frac{150\,000}{1{,}2762815625} \approx 117\,528{,}92$

Til saman:

$-420\,000 - 64\,942{,}15 + 117\,528{,}92 = -367\,413{,}23$

Alternativ 2 — lease.

Fem beløp i byrjinga av år 1 til 5 — altså i år $0, 1, 2, 3, 4$ :

år	beløp	noverdi
0	$-85\,000$	$-85\,000{,}00$ kr
1	$-85\,000$	$-80\,952{,}38$ kr
2	$-85\,000$	$-77\,097{,}51$ kr
3	$-85\,000$	$-73\,426{,}20$ kr
4	$-85\,000$	$-69\,929{,}71$ kr
Sum	$-386\,405{,}79$ kr

Vi samanliknar kostnadene:

386\,405{,}79\text{ kr} - 367\,413{,}23\text{ kr} = 18\,992{,}56\text{ kr}

(Førast ikkje) Sumrada er dei uavrunda noverdiane; legg du saman dei avrunda tala i kolonnen, får du eitt øre meir.

To tidslinjer over kvarandre, begge med åra 0 til 5. Den øvste er merkt KJØPE: ei lang raud pil ned i år 0 merkt minus 420 000, fem korte raude piler ned i åra 1 til 5 merkte «service −15 000 kvart år», og ei grøn pil opp i år 5 merkt pluss 150 000. Den nedste er merkt LEASE: fem like lange raude piler ned i åra 0, 1, 2, 3 og 4, merkte «−85 000 kvart år». Under står «leiga blir betalt forskotsvis — den første kjem i år 0».

Skilnaden mellom alternativa er i hovudsak kvar på tidsaksen beløpa ligg. Leiga blir betalt forskotsvis, så den første leigebetalinga kjem i år 0 og skal ikkje diskonterast. Pillengdene er ikkje målestokk for beløpa; det er talet ved kvar pil som gjeld.
Svar: Firmaet bør kjøpe bilen. Det er omtrent

18\,993

kr billigare målt i dagens kroner.
NB: Legg merke til kor mykje restverdien har å seie: utan salet i år 5 ville kjøpsalternativet ha kosta

484\,942

kr i noverdi, og lease hadde vunne klart. Den vanlegaste feilen i slike oppgåver er nettopp å gløyme restverdien — eller å gløyme servicen, som trekkjer den andre vegen. Set alltid opp heile kontantstraumen for begge alternativa før du reknar.

📝Oppgave 2

Eit kontor treng ein kopimaskin i 4 år.

- Kjøpe: $90\,000$ kr i dag, service $6\,000$ kr på slutten av kvart år, og maskinen kan seljast for $12\,000$ kr etter 4 år.
- Lease: $28\,000$ kr i byrjinga av kvart år i 4 år, alt inkludert.

Kalkulasjonsrenta er $5\,\%$ . Rund av til næraste krone.

Kva er noverdien av kostnadene ved å kjøpe?

Kva er noverdien av kostnadene ved å lease?

Kva alternativ er billigast?

Kor mykje billigare er det, målt i dagens kroner?

Skilnaden er under tre prosent av kostnaden. Kva bør kontoret elles leggje vekt på?

Løs oppgaven

✏️Døme 3 — betale no eller seinare?

Ein leverandør sender ein faktura på $200\,000$ kr med vilkåra « $2\,\%$ kontantrabatt ved betaling innan 10 dagar, elles forfall etter 30 dagar».

Kva svarer kontantrabatten til i effektiv årsrente?

Løysing:

Kva veit vi? Verksemda kan betale $2\,\%$ mindre no, eller heile beløpet 20 dagar seinare.
Kva må vi finne? Kva dei 20 ekstra dagane kostar, målt som årsrente.

Rabatten er

$0{,}02 \cdot 200\,000\text{ kr} = 4\,000\text{ kr}$

så ved rask betaling betaler verksemda $196\,000$ kr.

Vel ho å vente, beheld ho $196\,000$ kr i 20 dagar til og betaler $4\,000$ kr ekstra for det. Det er i praksis eit lån på $196\,000$ kr i 20 dagar, med $4\,000$ kr i rente.

Renta for perioden:

$\displaystyle \frac{4\,000}{196\,000} \approx 0{,}020408$

altså $2{,}0408\,\%$ på 20 dagar.

Eit år har $\displaystyle \frac{365}{20} = 18{,}25$ slike periodar. Vi bruker formelen for effektiv rente frå kapittel 1.4, med $m = 18{,}25$ :

$\left(1 + 0{,}020408\right)^{18{,}25} \approx 1{,}4458$

Vi les vekstfaktoren: han ligg $0{,}4458$ over 1.

Svar: Kontantrabatten svarer til ei effektiv årsrente på omtrent $44{,}6\,\%$ .

NB: Dette er eitt av dei mest praktiske reknestykka i heile faget. «Berre $2\,\%$ » høyrest ubetydeleg ut, men når det gjeld 20 dagar, er det ei svært høg rente. Har verksemda kassekreditt til $10\,\%$ , løner det seg altså å trekkje på kassekreditten for å betale innan fristen. Regelen er: så lenge den effektive renta til rabatten er høgare enn renta på pengane du må skaffe, skal du bruke rabatten.

📝Oppgave 3

Ei verksemd får ein faktura på $80\,000$ kr med vilkåra « $2{,}5\,\%$ kontantrabatt ved betaling innan 8 dagar, elles forfall etter 30 dagar».

Kor stor er rabatten i kroner, og kor mykje betaler verksemda ved rask betaling?

Kor stort beløp «blir lånt», og i kor mange dagar, dersom verksemda ventar til forfall?

Kor stor er renta for denne perioden? Rund av til fire desimalar.

Kva er den effektive årsrenta? Rund av til éin desimal.

Verksemda har kassekreditt med $12\,\%$ effektiv rente. Bør ho bruke rabatten?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 — to prosjekt, og renta som snur svaret

Ei verksemd kan velje eitt av to prosjekt. Begge kostar $600\,000$ kr i dag:

år	1	2	3
Prosjekt A	$350\,000$ kr	$250\,000$ kr	$150\,000$ kr
Prosjekt B	$180\,000$ kr	$250\,000$ kr	$350\,000$ kr

a) Kva prosjekt bør verksemda velje med ei kalkulasjonsrente på

6\,\%

?
b) Ved kva rente er dei like gode?

Løysing:

a) Vi diskonterer begge kontantstraumane til i dag:

Prosjekt A:

$\displaystyle \frac{350\,000}{1{,}06} \approx 330\,188{,}68$

$\displaystyle \frac{250\,000}{1{,}06^2} \approx 222\,499{,}11$

$\displaystyle \frac{150\,000}{1{,}06^3} \approx 125\,942{,}89$

$\text{NNV}_A = -600\,000 + 330\,188{,}68 + 222\,499{,}11 + 125\,942{,}89 = 78\,630{,}68$

Prosjekt B:

$\displaystyle \frac{180\,000}{1{,}06} \approx 169\,811{,}32$

$\displaystyle \frac{250\,000}{1{,}06^2} \approx 222\,499{,}11$

$\displaystyle \frac{350\,000}{1{,}06^3} \approx 293\,866{,}75$

$\text{NNV}_B = -600\,000 + 169\,811{,}32 + 222\,499{,}11 + 293\,866{,}75 = 86\,177{,}18$

Svar: Ved $6\,\%$ bør verksemda velje prosjekt B, som har omtrent $7\,547$ kr høgare netto noverdi.

b) Vi lagar ein tabell i rekneark med renta i éin kolonne og dei to netto noverdiane i kvar sin:

kalkulasjonsrente	$\text{NNV}_A$	$\text{NNV}_B$	best
0 %	$150\,000$ kr	$180\,000$ kr	B
5 %	$89\,666$ kr	$100\,529$ kr	B
8 %	$57\,484$ kr	$58\,843$ kr	B
10 %	$37\,491$ kr	$33\,208$ kr	A
12 %	$18\,566$ kr	$9\,136$ kr	A

Svaret snur mellom

8\,\%

10\,\%

. Finare prøving gir kryssingsrenta

p \approx 8{,}47\,\%

der begge har ein netto noverdi på omtrent

52\,733

kr.
Svar: Ved omtrent

8{,}47\,\%

er prosjekta like gode. Under denne renta er B best, over ho er A best.
NB: Kvifor snur det? Fordi B har dei store beløpa sist. Høg rente straffar seine beløp hardast, så B tapar mest når renta stig. A får pengane tidleg og toler høg rente betre.
Dette er også grunnen til at internrenta åleine er eit dårleg avgjerdsverktøy: A har internrente

14{,}07\,\%

og B

12{,}79\,\%

, så A «vinn» på internrente — men ved den faktiske kalkulasjonsrenta til verksemda på

6\,\%

er det B som gir mest pengar. Vel etter netto noverdi ved den renta du faktisk har.

Netto noverdi som funksjon av kalkulasjonsrenta

Kurvene viser netto noverdi for prosjekt A og prosjekt B i Døme 4, teikna som funksjon av kalkulasjonsrenta. Der ei kurve kryssar

x

-aksen, er internrenta. Der kurvene kryssar kvarandre — ved omtrent

8{,}47\,\%

— byter alternativa plass. Legg merke til at B-kurva fell brattast: prosjektet med dei seine innbetalingane tapar mest på høg rente.

prosjekt A

prosjekt B

nulllinja

📝Oppgave 4

To prosjekt kostar $600\,000$ kr kvart i dag og gir desse innbetalingane:

år	1	2	3	4
Prosjekt C	$250\,000$ kr	$250\,000$ kr	$150\,000$ kr	$100\,000$ kr
Prosjekt D	$100\,000$ kr	$150\,000$ kr	$250\,000$ kr	$400\,000$ kr

Kalkulasjonsrenta er

8\,\%

. Rund av til næraste krone.

Kor mykje gir kvart prosjekt til saman, utan diskontering?

Rekn ut netto noverdi for prosjekt C.

Rekn ut netto noverdi for prosjekt D.

Kva prosjekt bør verksemda velje, og er begge lønsame?

Rekneark. Finn internrenta for kvart prosjekt ved å prøve deg fram. Rund av til éin desimal.

Løs oppgaven

Prøv sjølv: netto noverdi og internrente

Legg inn investeringa og dei årlege innbetalingane, og sjå netto noverdi og internrente. Prøv tala frå Døme 4: investering $600\,000$ kr, og innbetalingane $350\,000$, $250\,000$, $150\,000$ for prosjekt A. Bruk han til å kontrollere — skriv alltid kontantstraumen og rekninga i svaret ditt.

Investering C₀ (år 0)

Diskonteringsrente r

Kontantstrømmer (år 1, 2, 3 ...)

Skill med komma. Negative tall for utbetalinger.

NPV = -C_0 + \sum_t C_t/(1+r)^t

31 855 kr

Lønnsom?

✓ Ja

IRR

7,931 %

Oppsummering

- Netto noverdi: $\displaystyle \text{NNV} = -K_0 + \frac{K_1}{v} + \frac{K_2}{v^2} + \cdots + \frac{K_n}{v^n}$ . Innbetalingar positive, utbetalingar negative.
- Noverdiregelen: $\text{NNV} > 0$ tyder lønsamt. Mellom fleire alternativ vel vi størst netto noverdi — eller minst noverdi av kostnadene når begge alternativa berre kostar.
- Tre reglar: same kalkulasjonsrente, same tidsrom, alle beløp med (service, gebyr, restverdi).
- Forskotsvise beløp (leige, avdrag i byrjinga av året) kjem i år $0, 1, 2, \ldots$ — det første blir ikkje diskontert.
- Internrenta er renta som gir $\text{NNV} = 0$ . Ho viser kor mykje renta toler å stige, men avgjer ikkje valet mellom to prosjekt.
- Kryssingsrenta er renta der to alternativ er like gode. Prosjekt med seine innbetalingar tapar mest når renta stig.
- Rekn alltid om med ei anna rente før du konkluderer. Det er om konklusjonen står seg som tel.
- Noverdien måler berre det som er sett i kroner. Risiko, likviditet, fleksibilitet og usikre overslag må drøftast i tillegg.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve. Ei verksemd vurderer solcelleanlegg på taket. Anlegget kostar

1\,200\,000

kr i dag, sparer

145\,000

kr i straumutgifter kvart år og kostar

12\,000

kr i året i vedlikehald. Levetida blir sett til 20 år, og restverdien til

0

kr. Kalkulasjonsrenta er

5\,\%

. Rund av til næraste krone.

Kor stor er den årlege netto innsparinga?

Kva er noverdien av dei 20 årlege innsparingane? Diskonteringsfaktorane for 20 år ved $5\,\%$ summerer til $12{,}462210$ .

Kva er netto noverdi, og er tiltaket lønsamt?

Følsemd. Kva blir netto noverdi dersom kalkulasjonsrenta er

7\,\%

? Faktorsummen er då

10{,}594014

. Og kva er internrenta?

Drøft kor robust konklusjonen er, og kva føresetnader som er mest usikre.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Eit trykkeri skal velje mellom to maskinar. Begge kostar

1\,400\,000

kr i dag og varer i 8 år.

- Maskin 1 gir netto innbetalingar på $290\,000$ kr kvart år.
- Maskin 2 gir $200\,000$ kr det første året, og deretter $30\,000$ kr meir for kvart år: $230\,000$ , $260\,000$ og så vidare.

Kalkulasjonsrenta er $6\,\%$ . Lag eit rekneark med år 1 til 8 i kolonne A, innbetalingane i kolonne B og C, og noverdiane i kolonne D og E. Rund av til næraste krone.

Kor mykje gir kvar maskin til saman utan diskontering, og kva for ein ser best ut då?

Rekn ut netto noverdi for begge maskinane ved $6\,\%$ . Diskonteringsfaktorane for 8 år ved $6\,\%$ summerer til $6{,}209794$ .

Lag ein følsemdtabell med kalkulasjonsrentene $4\,\%$ , $6\,\%$ , $8\,\%$ og $10\,\%$ . Kva er netto noverdi ved $10\,\%$ , og kva skjer med rangeringa?

Finn internrenta for kvar maskin. Kva maskin «vinn» då, og stemmer det med svaret i b)?

Drøft kva maskin trykkeriet bør velje, og korleis motstriden i d) skal handsamast.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.