2.3 Sparing og lån over tid

Kva veit vi? $a = 20\,000$ kr, $p = 3{,}5$ og 5 innskot.
Kva må vi finne? Framtidsverdien av alle innskota i år 5.

Dette er Døme 3 i kapittel 2.1 éin gong til — berre med fem beløp i staden for to. Vi byrjar med å skrive opp kor lenge kvart innskot står:

NB: Summen kan også skrivast med vekstfaktoren utanfor:

$20\,000 \cdot \left(1{,}035^4 + 1{,}035^3 + 1{,}035^2 + 1{,}035 + 1\right) \approx 20\,000 \cdot 5{,}362466$

Parentesen er ei geometrisk rekkje, og i kapittel 4.1 finn vi ein formel som gir summen direkte. Fram til då reknar vi han ut ledd for ledd, eller lèt reknearket gjere det.

a) Vi legg år 1 i rad 2. Inngåande saldo det første året er $0$ kr, sidan kontoen er tom før det første innskotet.

Formlane i rad 2 blir:

A2: 1
B2: 0
C2: =B2*0,04
D2: 30000
E2: =B2+C2+D2

I rad 3 er den einaste nyheita at inngåande saldo er utgåande saldo frå året før:

A3: =A2+1
B3: =E2
C3: =B3*0,04
D3: 30000
E3: =B3+C3+D3

Rad 3 kan no dragast nedover til rad 11 (år 10).

Svar: Det står omtrent $360\,183$ kr på kontoen, og $60\,183$ kr av det er renter.

(Førast ikkje) Kontroll med metoden frå Døme 1: $30\,000 \cdot \left(1{,}04^9 + 1{,}04^8 + \cdots + 1\right) \approx 360\,183{,}21$ kr. Same svar — den rekursive modellen og summen av framtidsverdiar er to måtar å rekne det same på.
NB: Hadde innskota kome i byrjinga av kvart år (forskotsvis), ville kvart av dei stått eitt år lenger. Då gongar vi heile svaret med vekstfaktoren éin gong til:
$360\,183{,}21 \cdot 1{,}04 \approx 374\,590{,}54$
Altså rundt $14\,400$ kr meir, utan at verksemda har sett inn ei krone ekstra. Les difor alltid oppgåveteksten nøye: når kjem innskotet?

a) Kva veit vi? $K_0 = 600\,000$ kr, $n = 5$ og $p = 5$.

Vi finn avdraget først, for det er likt kvart år:

$\displaystyle \text{avdrag} = \frac{600\,000\text{ kr}}{5} = 120\,000\text{ kr}$

Deretter reknar vi éi rad om gongen. Rentene det første året er $5\,\%$ av heile lånet:

$0{,}05 \cdot 600\,000\text{ kr} = 30\,000\text{ kr}$

$\text{terminbeløp} = 120\,000\text{ kr} + 30\,000\text{ kr} = 150\,000\text{ kr}$

Etter det første avdraget er restgjelda $600\,000 - 120\,000 = 480\,000$ kr, og det er denne vi reknar renter av i år 2:

$0{,}05 \cdot 480\,000\text{ kr} = 24\,000\text{ kr}$

Slik held vi fram:

NB: Legg merke til at rentene søkk med nøyaktig $6\,000$ kr kvart år. Det er ikkje tilfeldig: restgjelda søkk med $120\,000$ kr kvart år, og $5\,\%$ av $120\,000$ kr er $6\,000$ kr. I eit serielån dannar både rentene og terminbeløpa ei rekkje som søkk like mykje kvar gong — dei er lineære. Det gjer serielånet lett å rekne på for hand.

a) Samla betaling:

$4\,000\text{ kr} + 12 \cdot 1\,850\text{ kr} = 4\,000\text{ kr} + 22\,200\text{ kr} = 26\,200\text{ kr}$

Kredittkostnaden er differansen mot kontantprisen:

$26\,200\text{ kr} - 24\,000\text{ kr} = 2\,200\text{ kr}$

Svar: Kunden betaler $26\,200$ kr, og kreditten kostar $2\,200$ kr.

b) Kva veit vi? Kunden betaler $4\,000$ kr med ein gong, så det ho eigentleg låner, er

$24\,000\text{ kr} - 4\,000\text{ kr} = 20\,000\text{ kr}$

Renta er den månadsrenta som gjer noverdien av dei tolv terminbeløpa lik lånebeløpet:

$$\frac{1\,850}{1 + i} + \frac{1\,850}{(1 + i)^2} + \cdots + \frac{1\,850}{(1 + i)^{12}} = 20\,000$$

Denne likninga kan vi ikkje løyse med dei metodane vi har. Men vi kan prøve oss fram i eit rekneark: legg månadene $1$ til $12$ i kolonne A, terminbeløpet i kolonne B og noverdien =B2/(1+$E$1)^A2 i kolonne C, med renta i celle $E$1. Summen i kolonne C skal bli $20\,000$ kr.

Vi les vekstfaktoren: han ligg $0{,}216018$ over 1.

Svar: Den effektive årsrenta er omtrent $21{,}6\,\%$.

NB: $2\,200$ kr høyrest lite ut — det er under ti prosent av sykkelprisen. Men pengane blir berre lånte i gjennomsnitt eit halvt år, og målt som årsrente blir det over $21\,\%$. Det er difor lova krev at effektiv rente blir oppgitt i all marknadsføring av kreditt: det er det einaste talet som kan samanliknast med andre lån.

Kva veit vi? Målet er $500\,000$ kr etter 12 innskot, $p = 4$.
Kva må vi finne? Det faste beløpet $a$.

Vi set opp det same reknestykket som i Døme 1, men no med $a$ som ukjend:

$a \cdot 1{,}04^{11} + a \cdot 1{,}04^{10} + \cdots + a \cdot 1{,}04 + a = 500\,000$

Vi set $a$ utanfor parentesen:

$a \cdot \left(1{,}04^{11} + 1{,}04^{10} + \cdots + 1{,}04 + 1\right) = 500\,000$

Parentesen er eit tal vi kan rekne ut — i rekneark, eller ledd for ledd:

$a \cdot 15{,}025805 = 500\,000$

For å få $a$ åleine deler vi på $15{,}025805$ på begge sider:

$\displaystyle a = \frac{500\,000}{15{,}025805}$

$a = 33\,276{,}09$

Svar: Sameiget må setje av omtrent $33\,277$ kr kvart år. (Her rundar vi opp, for målet skal nåast.)

Vi kontrollerer i reknearket: med $33\,000$ kr i året får dei $495\,851{,}58$ kr — for lite. Med $33\,500$ kr i året får dei $503\,364{,}48$ kr — nok.

NB: Legg merke til kva som skjedde: så snart beløpet var likt kvart år, kunne vi setje det utanfor parentesen, og då stod det berre att éi likning med éin ukjend. Parentesen — summen av vekstfaktorane — er eit tal som berre er avhengig av renta og talet på år. Det er dette talet vi får ein formel for i kapittel 4.1.