UtkastBoka ble skrevet det første døgnet etter at læreplanen kom, og kvalitetssikres nå kapittel for kapittel gjennom høsten 2026. Kapitler merket «Kvalitetssikret» er gjennomgått; resten er utkast du gjerne må lese og melde fra om.
Fant du en feil, eller savner du noe i dette kapittelet?Alt leses, og feil rettes fortløpende.
2.2
Noverdi

2.2 Noverdi

Alle fag for VG2/VG3

Å diskontere framtidige beløp tilbake til i dag, og kvifor «ei krone i dag» er verd meir.

45 min
6 oppgaver
NoverdiDiskontering
Din fremgang i kapitlet
0 / 6 oppgaver

Noverdi

I kapittel 2.1 flytte vi beløp framover i tid. Det fungerer, men det har ei ulempe: svaret kjem i kroner på eit tidspunkt ingen av oss har noko forhold til. «Alternativ A er 3 3983\,398 kr betre målt i kroner om tre år» er rett, men vanskeleg å kjenne på.

Difor flyttar økonomar nesten alltid den andre vegen. Dei reknar ut kva eit framtidig beløp er verd i dag. Då får svaret ei eining vi kjenner — dagens kroner — og alle alternativ kan setjast opp side om side.

Verdien i dag av eit framtidig beløp blir kalla noverdien. Rekninga er den same som i kapittel 1.2, der vi fann ut kor mykje familien måtte setje inn for å ha 500 000500\,000 kr om 15 år. No gir vi ho namn, og gjer ho til det viktigaste verktøyet i faget.

Noverdi, diskontering og diskonteringsfaktor
- Noverdien av eit beløp KnK_n som kjem om nn år, er det beløpet vi måtte ha hatt i dag for å ende opp med KnK_n om nn år. Noverdien skriv vi K0K_0.
- Å rekne ut noverdien blir kalla å diskontere beløpet. Kalkulasjonsrenta blir då også kalla diskonteringsrenta.
- Diskonteringsfaktoren for år nn er noverdien av éi krone som kjem om nn år:

1(1+p100)n\frac{1}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}

- Ein kontantstraum er ei liste over inn- og utbetalingar med året dei kjem.

Å diskontere er det motsette av å framskrive. Framskriving gongar med vekstfaktoren, diskontering deler på han.

✏️Døme 1 — noverdien av eit beløp

Ei verksemd skal få 250 000250\,000 kr om 8 år. Kalkulasjonsrenta er 5 %5\,\%. Kva er noverdien av beløpet?

Løysing:

Kva veit vi? K8=250 000K_8 = 250\,000 kr, p=5p = 5 og n=8n = 8.
Kva må vi finne? Noverdien K0K_0.

Vi tek utgangspunkt i framtidsverdiformelen, der K0K_0 er den ukjende:

K0⋅1,058=250 000K_0 \cdot 1{,}05^8 = 250\,000

For å få K0K_0 åleine deler vi på 1,0581{,}05^8 på begge sider:

K0⋅1,0581,058=250 0001,058\displaystyle \frac{K_0 \cdot 1{,}05^8}{1{,}05^8} = \frac{250\,000}{1{,}05^8}

K0=250 0001,477455\displaystyle K_0 = \frac{250\,000}{1{,}477455}

K0=169 209,84K_0 = 169\,209{,}84

Svar: Noverdien er omtrent 169 210169\,210 kr.

Vi kontrollerer: 169 209,84⋅1,058≈250 000169\,209{,}84 \cdot 1{,}05^8 \approx 250\,000. Det stemmer.

NB: Svaret tyder noko heilt konkret: har verksemda 169 210169\,210 kr i dag og set dei i banken til 5 %5\,\%, har ho 250 000250\,000 kr om åtte år. Dei to beløpa er to sider av same sak. Difor kan verksemda trygt byte det eine mot det andre — og difor kan vi samanlikne dei.

📜Noverdi
Noverdien av beløpet KnK_n som kjem om nn år, med kalkulasjonsrente pp prosent per år, er

K0=Kn(1+p100)nK_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}

Blir renta tilskriven mm gonger i året, er noverdien av eit beløp som kjem om tt år

K0=Kt(1+p100⋅m)m⋅tK_0 = \frac{K_t}{\left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}}

Med kontinuerleg rente rr (som desimaltal) er han

K0=Kt⋅e−r tK_0 = K_t \cdot e^{-r\,t}

Noverdien av ein kontantstraum er summen av noverdiane til kvart enkelt beløp:

K0=K1v+K2v2+⋯+Knvn,v=1+p100K_0 = \frac{K_1}{v} + \frac{K_2}{v^2} + \cdots + \frac{K_n}{v^n}, \qquad v = 1 + \frac{p}{100}

Alle formene er framtidsverdiformlane frå kapittel 2.1 løyste for K0K_0: vi deler på vekstfaktoren på begge sider, akkurat som i Døme 1. Hugsar du framskrivinga, treng du ikkje hugse diskonteringa i tillegg — du deler i staden for å gonge.

📝Oppgave 1

Rekn ut noverdien. Rund av til næraste krone.

a
50 00050\,000 kr om 3 år, kalkulasjonsrente 4 %4\,\%
b
1 200 0001\,200\,000 kr om 15 år, kalkulasjonsrente 5,5 %5{,}5\,\%
c
25 00025\,000 kr om 7 år, kalkulasjonsrente 3,2 %3{,}2\,\%
d
400 000400\,000 kr om 10 år, kalkulasjonsrente 6 %6\,\% nominell med månadleg tilskriving
e
90 00090\,000 kr om 5 år, kontinuerleg rente r=0,04r = 0{,}04
Løs oppgaven

«Ei krone i dag er verd meir enn ei krone i morgon»

Dette er den mest siterte setninga i økonomifaget, og no kan vi seie nøyaktig kor mykje meir. Med 5 %5\,\% rente er éi krone om eitt år verd

1 kr1,05≈0,95 kr\frac{1\text{ kr}}{1{,}05} \approx 0{,}95\text{ kr}

i dag. Om ti år er ho verd 11,0510≈0,61\displaystyle \frac{1}{1{,}05^{10}} \approx 0{,}61 kr, og om førti år berre 11,0540≈0,14\displaystyle \frac{1}{1{,}05^{40}} \approx 0{,}14 kr.

Grunnen er ikkje inflasjon — det er ei anna sak, som vi tok i kapittel 1.3. Grunnen er at krona du har i dag, kan setjast i arbeid. Ho kan stå i banken, brukast til å betale ned gjeld eller investerast i verksemda. Krona du får om ti år, har ikkje fått gjort noko av dette.

Vi seier at pengar har ein tidsverdi, og diskonteringsrenta er prisen på tid.

✏️Døme 2 — same valet, sett frå i dag

Vi tek opp att Jamal frå kapittel 2.1: 50 00050\,000 kr i dag mot 62 00062\,000 kr om 5 år, med ei kalkulasjonsrente på 3,8 %3{,}8\,\%. Avgjer valet ved å rekne noverdi i staden for framtidsverdi.

Løysing:

Kva må vi finne? Noverdien av alternativ B. Alternativ A ligg alt i år 0 og skal ikkje flyttast.

Alternativ B diskontert til i dag:

K0=62 0001,0385\displaystyle K_0 = \frac{62\,000}{1{,}038^5}

=62 0001,204999\displaystyle = \frac{62\,000}{1{,}204999}

=51 452,32= 51\,452{,}32

Alternativ A i dag: 50 00050\,000 kr.

Vi samanliknar:

51 452,32 kr−50 000 kr=1 452,32 kr51\,452{,}32\text{ kr} - 50\,000\text{ kr} = 1\,452{,}32\text{ kr}

Svar: Alternativ B er best — det er omtrent 1 4521\,452 kr meir verd, målt i dagens kroner.

NB: I kapittel 2.1 fekk vi at B var 1 750,041\,750{,}04 kr betre målt i kroner om fem år. No får vi 1 452,321\,452{,}32 kr målt i dagens kroner. Det er ikkje to ulike svar — det er same svar i to valutaer:

1 452,32 kr⋅1,0385≈1 750,04 kr1\,452{,}32\text{ kr} \cdot 1{,}038^5 \approx 1\,750{,}04\text{ kr}

Konklusjonen er den same uansett kva tidspunkt vi vel. Det er dette som gjer metoden trygg: vi kan velje det tidspunktet som passar best, og i praksis vel vi nesten alltid i dag.

📝Oppgave 2

Eit forsikringsoppgjer kan takast ut som 300 000300\,000 kr i dag eller 350 000350\,000 kr om 4 år. Kalkulasjonsrenta er 3,5 %3{,}5\,\%. Rund av til to desimalar.

a

Kva er noverdien av utbetalinga om 4 år?

b

Kva alternativ er best?

c

Kor mykje betre er det beste alternativet, målt i dagens kroner?

d

Kva kalkulasjonsrente ville gjort dei to alternativa likeverdige? Rund av til to desimalar.

e

Sjekk at svaret i c) stemmer med framtidsverdimetoden: rekn ut kor mykje betre alternativet er målt i kroner om 4 år.

Løs oppgaven
✏️Døme 3 — noverdien av ein kontantstraum

Ei verksemd ventar desse innbetalingane: 120 000120\,000 kr om 1 år, 150 000150\,000 kr om 2 år og 90 00090\,000 kr om 4 år. Kalkulasjonsrenta er 6 %6\,\%. Kva er noverdien av innbetalingane til saman?

Løysing:

Kva veit vi? Tre beløp på tre ulike tidspunkt, p=6p = 6.
Kva må vi finne? Summen av noverdiane.

Vi set opp ein tabell før vi reknar. Kolonnen «diskonterast» fortel kor mange år kvart beløp skal flyttast:

årbeløpdiskonterastnoverdi
1120 000120\,000 kr1,061=1,061{,}06^1 = 1{,}06113 207,55113\,207{,}55 kr
2150 000150\,000 kr1,062=1,12361{,}06^2 = 1{,}1236133 499,47133\,499{,}47 kr
490 00090\,000 kr1,064≈1,2624771{,}06^4 \approx 1{,}26247771 288,4371\,288{,}43 kr
Sum317 995,45317\,995{,}45 kr

Vi reknar éi rad om gongen:
120 0001,06≈113 207,55\displaystyle \frac{120\,000}{1{,}06} \approx 113\,207{,}55
150 0001,1236≈133 499,47\displaystyle \frac{150\,000}{1{,}1236} \approx 133\,499{,}47
90 0001,262477≈71 288,43\displaystyle \frac{90\,000}{1{,}262477} \approx 71\,288{,}43
Til slutt summerer vi kolonnen:

113 207,55+133 499,47+71 288,43=317 995,45113\,207{,}55 + 133\,499{,}47 + 71\,288{,}43 = 317\,995{,}45

Ei tidslinje med åra 0 til 4. Frå år 1 peikar ei blå pil opp, merkt 120 000 kr, frå år 2 ei grøn pil opp, merkt 150 000 kr, og frå år 4 ei lilla pil opp, merkt 90 000 kr. Over tidslinja går tre boga piler bakover til år 0: ei kort blå merkt «: 1,06», ei lengre grøn merkt «: 1,06 opphøgd i 2» og ei endå lengre lilla merkt «: 1,06 opphøgd i 4». Nede til venstre står «noverdi i dag:» med 113 207,55 kr i blått, 133 499,47 kr i grønt og 71 288,43 kr i lilla, og under ein strek står 317 995,45 kr.

Kvart beløp blir diskontert frå sitt eige år tilbake til år 0. Di lenger fram beløpet ligg, di lengre er pila — og di meir krympar beløpet.

Svar: Noverdien av innbetalingane er omtrent 317 995317\,995 kr.

NB: Legg merke til at verksemda får 120 000+150 000+90 000=360 000120\,000 + 150\,000 + 90\,000 = 360\,000 kr til saman, men at dette berre er verd 317 995317\,995 kr i dag. Dei manglande 42 00542\,005 kronene er prisen på å måtte vente. Di lenger fram eit beløp ligg, di meir krympar det: dei 90 00090\,000 kronene i år 4 miste over 18 00018\,000 kr, medan dei 120 000120\,000 kronene i år 1 berre miste knapt 6 8006\,800 kr.

📝Oppgave 3

Ei verksemd ventar desse innbetalingane: 60 00060\,000 kr om 1 år, 60 00060\,000 kr om 2 år, 40 00040\,000 kr om 3 år og 100 000100\,000 kr om 5 år. Kalkulasjonsrenta er 5 %5\,\%. Rund av til to desimalar.

a

Kva er noverdien av innbetalinga i år 1?

b

Kva er noverdien av innbetalinga i år 2?

c

Kva er noverdien av innbetalingane i år 3 og år 5?

d

Kva er noverdien av heile kontantstraumen?

e

Verksemda får 260 000260\,000 kr til saman. Kor mykje av dette «forsvinn» i diskontering, og kvifor?

Løs oppgaven
✏️Døme 4 — diskonteringsfaktorar

Kalkulasjonsrenta er 5 %5\,\%.

a) Lag ein tabell over diskonteringsfaktorane for år 1 til 6.

b) Bruk tabellen til å finne noverdien av 80 00080\,000 kr som kjem i år 4.

Løysing:

a) Diskonteringsfaktoren for år nn er noverdien av éi krone i år nn:

11,05n\displaystyle \frac{1}{1{,}05^n}

Vi reknar éi rad om gongen, med seks desimalar:

år nn1,05n1{,}05^ndiskonteringsfaktor 11,05n\displaystyle \frac{1}{1{,}05^n}
11,0500000,952381
21,1025000,907029
31,1576250,863838
41,2155060,822702
51,2762820,783526
61,3400960,746215

Eit stolpediagram med seks blå stolpar merkte år 1 til 6 under aksen. Loddrett akse viser kroner frå 0 til 1,20. Stolpane er 0,9524, 0,9070, 0,8638, 0,8227, 0,7835 og 0,7462, og verdien står over kvar stolpe. Over stolpane står «éi krone i år 4 er verd 82 øre i dag», og til høgre, i høgd med 1,00 på aksen, står «1,00 kr i dag».
Diskonteringsfaktorane ved 5 %5\,\% kalkulasjonsrente. Kvar stolpe er noverdien av éi krone som kjem det året — og det er nøyaktig talet eit rekneark gongar beløpet med.
b) Noverdien finn vi ved å gonge beløpet med faktoren for år 4:
80 000⋅0,822702≈65 816,1680\,000 \cdot 0{,}822702 \approx 65\,816{,}16
Svar: Noverdien er omtrent 65 81665\,816 kr.
NB: Tabellen er verd å forstå, for han er sjølve kjernen i noverdirekning. Faktoren for år 4 seier at éi krone i år 4 er verd 82 øre i dag. Skal vi diskontere fem beløp med same rente, slepp vi å rekne ut potensen fem gonger — vi gongar kvart beløp med sin faktor. Dette er også nøyaktig slik ein noverdikolonne blir bygd i eit rekneark.
📝Oppgave 4

Her er noverdien kjend, og du skal finne beløpet eller renta. Rund beløp av til to desimalar og rentesatsar til to desimalar.

a

Kor stort må eit beløp om 6 år vere for at noverdien skal bli 100 000100\,000 kr, når renta er 4,5 %4{,}5\,\%?

b

Kor stort må eit beløp om 12 år vere for at noverdien skal bli 250 000250\,000 kr, når renta er 3 %3\,\%?

c

Kva kalkulasjonsrente gir noverdien 65 00065\,000 kr for 80 00080\,000 kr som kjem om 5 år?

d

Kva kalkulasjonsrente gir noverdien 300 000300\,000 kr for 500 000500\,000 kr som kjem om 10 år?

e

Kva skjer med noverdien av eit fast framtidig beløp når kalkulasjonsrenta aukar? Grunngi ut frå formelen.

Løs oppgaven
✏️Døme 5 — kor mykje har renta å seie?

Eit fond lovar å betale ut 1 000 0001\,000\,000 kr om 20 år. Rekn ut noverdien med kalkulasjonsrente 2 %2\,\%, 4 %4\,\%, 6 %6\,\% og 8 %8\,\%, og kommenter svaret.

Løysing:

Vi bruker same formel kvar gong, og byter berre ut renta. Linjestrukturen er identisk i alle fire tilfella:

p=2p = 2: 1 000 0001,0220≈1 000 0001,48594740≈672 971,33\displaystyle \frac{1\,000\,000}{1{,}02^{20}} \approx \frac{1\,000\,000}{1{,}48594740} \approx 672\,971{,}33

p=4p = 4: 1 000 0001,0420≈1 000 0002,19112314≈456 386,95\displaystyle \frac{1\,000\,000}{1{,}04^{20}} \approx \frac{1\,000\,000}{2{,}19112314} \approx 456\,386{,}95

p=6p = 6: 1 000 0001,0620≈1 000 0003,20713547≈311 804,73\displaystyle \frac{1\,000\,000}{1{,}06^{20}} \approx \frac{1\,000\,000}{3{,}20713547} \approx 311\,804{,}73

p=8p = 8: 1 000 0001,0820≈1 000 0004,66095714≈214 548,21\displaystyle \frac{1\,000\,000}{1{,}08^{20}} \approx \frac{1\,000\,000}{4{,}66095714} \approx 214\,548{,}21

Svar:

kalkulasjonsrentenoverdi
2 %672 971672\,971 kr
4 %456 387456\,387 kr
6 %311 805311\,805 kr
8 %214 548214\,548 kr

NB: Dette er ei åtvaring like mykje som eit reknestykke. Å gå frå 2 %2\,\% til 8 %8\,\% kuttar noverdien til under ein tredjedel. Når beløpa ligg langt fram i tid, er noverdien altså svært følsam for renta vi vel.
Difor gjer verksemder og kommunar som regel reknestykket fleire gonger med ulike renter, og ser om konklusjonen held. Det blir kalla ein følsemdanalyse, og eit rekneark er akkurat det verktøyet han krev.
Noverdien av 1 000 000 kr som funksjon av renta
Kurva viser noverdien av 1 000 0001\,000\,000 kr som kjem om nn år, teikna som funksjon av kalkulasjonsrenta. Dra i talet på år og sjå to ting: kurva fell når renta stig, og ho fell mykje brattare di lenger fram beløpet ligg. Den stipla linja er beløpet sjølv — noverdien blir lik beløpet berre når renta er null.
024681012200 000400 000600 000800 0001 000 000kalkulasjonsrente i prosentnåverdi i kroner

noverdi

beløpet sjølv

20
Prøv sjølv: noverdi

Set inn det framtidige beløpet, kalkulasjonsrenta og talet på år. Prøv å endre renta med eitt prosentpoeng om gongen og legg merke til kor mykje noverdien flyttar seg når talet på år er stort.

kr
%
år
NV=Kt/(1+r)tNV = K_t / (1+r)^t
456 387 kr
Diskonteringsfaktor
0,4564
Verdireduksjon
543 613 kr

Oppsummering

- Noverdien av eit framtidig beløp er det vi måtte ha hatt i dag for å ende opp med beløpet: K0=Kn(1+p100)n\displaystyle K_0 = \frac{K_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}.
- Å rekne ut noverdien blir kalla å diskontere. Framskriving gongar med vekstfaktoren, diskontering deler på han.
- Diskonteringsfaktoren 1(1+p100)n\displaystyle \frac{1}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n} er noverdien av éi krone i år nn. Gong beløpet med faktoren.
- Noverdien av ein kontantstraum er summen av noverdiane til kvart beløp.
- Konklusjonen blir den same anten vi samanliknar i dag eller i år nn — berre tala er ulike. Vi vel i dag, fordi dagens kroner er lettare å forhalde seg til.
- Noverdien søkk når renta stig, og han er svært følsam for renta når beløpet ligg langt fram i tid. Rekn difor gjerne med fleire renter — ein følsemdanalyse.
- Med mm terminar: K0=Kt(1+p100m)mt\displaystyle K_0 = \frac{K_t}{\left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{m t}}. Med kontinuerleg rente: K0=Kt⋅e−rtK_0 = K_t \cdot e^{-r t}.

📝Oppgave 5
Samleoppgåve. Eit idrettslag får to tilbod om sponsoravtale:

- Avtale 1: 200 000200\,000 kr utbetalt i dag.
- Avtale 2: 70 00070\,000 kr om 1 år, 80 00080\,000 kr om 2 år og 90 00090\,000 kr om 3 år.

Idrettslaget reknar med ei kalkulasjonsrente på 4 %4\,\%. Rund av til to desimalar.

a

Rekn ut noverdien av kvar av dei tre utbetalingane i avtale 2.

b

Kva er noverdien av avtale 2 til saman?

c

Kva avtale bør idrettslaget velje, og kor mykje betre er han målt i dagens kroner?

d
Rekneark. Prøv deg fram til den kalkulasjonsrenta som gjer dei to avtalane likeverdige. Oppgi svaret med éin desimal.
e

Drøft kva idrettslaget bør leggje vekt på i tillegg til noverdien.

Løs oppgaven
📝Oppgave 6
Del 2 — rekneark. Ein kommune vurderer å etterisolere ein skule. Tiltaket kostar 1 800 0001\,800\,000 kr i dag og gir sparte energikostnader på 260 000260\,000 kr kvart år i 10 år, første gong om eitt år. Kalkulasjonsrenta er 4 %4\,\%.

Lag eit rekneark med år 1 til 10 i kolonne A, den årlege innsparinga i kolonne B og noverdien av innsparinga i kolonne C.

a

Kva formel set du i C2 (år 1 i rad 2) slik at han kan dragast nedover?

b

Kva er noverdien av innsparinga i år 1 og i år 10? Rund av til to desimalar.

c

Kva er noverdien av alle innsparingane til saman? Bruk =SUMMER(C2:C11). Rund av til næraste krone.

d

Trekk frå kostnaden på 1 800 0001\,800\,000 kr. Er tiltaket lønsamt, og kva blir svaret dersom kalkulasjonsrenta i staden er 6 %6\,\%? Rund av til næraste krone.

e

Drøft kva kommunen bør merke seg før han bruker dette talet som avgjerdsgrunnlag.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.