2.1 Framtidsverdi | Matematikk for økonomi

Kva eit beløp i dag er verd om n år, og samanlikning av beløp fram i tid.

45 min

6 oppgaver

Framtidsverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Framtidsverdi

Eit tilbod du får i økonomi, kjem nesten alltid med eit tidspunkt festa til seg. Kunden kan betale $180\,000$ kr no, eller $95\,000$ kr no og $95\,000$ kr om tre år. Du kan få pengane utbetalte i dag, eller eit større beløp om fem år. For å kunne svare på kva som løner seg, må vi klare å samanlikne beløp som ligg på ulike tidspunkt.

Det kan vi ikkje gjere direkte. $100\,000$ kr i dag og $100\,000$ kr om seks år er ikkje det same, for pengane du har i dag, kan setjast i banken og vekse i mellomtida.

Løysinga er å flytte alle beløpa til same tidspunkt før vi samanliknar. I dette kapittelet flyttar vi dei framover. Verktøyet har vi alt frå kapittel 1.2 — vi skal berre gi det eit namn og bruke det på ein ny måte.

Framtidsverdi, kalkulasjonsrente og tidslinje

n

✏️Døme 1 — framtidsverdien av eit beløp

Silje har $85\,000$ kr som ho ikkje skal bruke på ei stund. Banken gir $4{,}2\,\%$ rente per år. Kva er framtidsverdien av pengane om 7 år?

Løysing:

Kva veit vi? $K_0 = 85\,000$ kr, $p = 4{,}2$ og $n = 7$ .
Kva må vi finne? Framtidsverdien $K_7$ .

Vi teiknar tidslinja først, så ser vi kva som skal flyttast kvar:

år	0	1	2	3	4	5	6	7
beløp	$85\,000$ kr	$K_7 = ?$

Vi skriv formelen tom, og set så inn tala:

\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

$\displaystyle K_7 = 85\,000 \cdot \left(1 + \frac{4{,}2}{100}\right)^7$

$= 85\,000 \cdot 1{,}042^7$

$= 85\,000 \cdot 1{,}333749$

$= 113\,368{,}65$

Svar: Framtidsverdien om 7 år er omtrent $113\,369$ kr.

NB: Rekninga er nøyaktig den same som i kapittel 1.2. Det nye er kva vi bruker ho til: $113\,369$ kr om 7 år og $85\,000$ kr i dag er to måtar å seie det same på, så lenge renta er $4{,}2\,\%$ . Silje er likegyldig mellom dei.

📜Framtidsverdi

Framtidsverdien om

n

år av beløpet

K_0

, med kalkulasjonsrente

p

prosent per år, er

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Blir renta tilskriven $m$ gonger i året, er framtidsverdien etter $t$ år

$K_t = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}$

Med kontinuerleg rente $r$ (som desimaltal) er han

$K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$

Dei tre linjene er ikkje tre nye formlar: den første er vekstfaktorrekninga frå kapittel 1.2, den andre er terminrekninga frå 1.4, og den tredje er grensa vi utforska i 1.5. Det nye i dette kapittelet er kva vi bruker dei til.

Framtidsverdien av fleire beløp er summen av framtidsverdiane til kvart enkelt beløp. Kvart beløp blir flytt frå sitt eige tidspunkt fram til samanlikningstidspunktet.

Avrunding: Vi oppgir beløp med to desimalar, men reknar alltid vidare med dei uavrunda tala — dei kalkulatoren eller reknearket har lagra. Difor skriv vi $\approx$ og ikkje $=$ på linjer der eit avrunda tal står på venstresida, og difor kan ein sum avvike med nokre få øre frå det du får ved å leggje saman dei avrunda delsvara.

📝Oppgave 1

Rekn ut framtidsverdien. Rund av til næraste krone.

30\,000

kr om 5 år, kalkulasjonsrente

3\,\%

75\,000

kr om 12 år, kalkulasjonsrente

4{,}5\,\%

12\,000

kr om 20 år, kalkulasjonsrente

2{,}8\,\%

250\,000

kr om 7 år, kalkulasjonsrente

5{,}2\,\%

60\,000

kr om 4 år, kalkulasjonsrente

6\,\%

nominell med månadleg rentetilskriving

Løs oppgaven

Å samanlikne to alternativ

No kan vi svare på spørsmålet vi starta med. Oppskrifta er kort, og ho er den same kvar gong:

1. Teikn tidslinja og skriv beløpa under året dei kjem.
2. Vel eitt samanlikningstidspunkt. I dette kapittelet vel vi det seinaste året som er nemnt.
3. Flytt kvart beløp dit med framtidsverdiformelen. Eit beløp som alt ligg på samanlikningstidspunktet, står i ro.
4. Samanlikn, og svar på spørsmålet som vart stilt.

Valet av samanlikningstidspunkt påverkar ikkje kva alternativ som er best — det påverkar berre kva tal vi ser undervegs. Det kjem vi tilbake til i kapittel 2.2, der vi flyttar beløpa den andre vegen i staden.

✏️Døme 2 — kva tilbod er best?

Jamal har selt ein snøskuter og får velje mellom to oppgjer:

- Alternativ A: $50\,000$ kr i dag.
- Alternativ B: $62\,000$ kr om 5 år.

Jamal kan setje pengar i banken til $3{,}8\,\%$ rente. Kva alternativ bør han velje?

Løysing:

Kva veit vi? To beløp på to ulike tidspunkt, og ei kalkulasjonsrente på $3{,}8\,\%$ .
Kva må vi finne? Kva beløp som er størst når dei ligg på same tidspunkt.

Vi teiknar tidslinja:

år	0	1	2	3	4	5
A	$50\,000$ kr
B	$62\,000$ kr

Vi vel år 5 som samanlikningstidspunkt. Då må A flyttast fram 5 år, medan B alt ligg der.
Alternativ A framskrive til år 5:

K_5 = 50\,000 \cdot 1{,}038^5

$= 50\,000 \cdot 1{,}204999$

$= 60\,249{,}96$

Alternativ B i år 5: $62\,000$ kr — beløpet ligg alt på samanlikningstidspunktet og skal ikkje flyttast.

Vi samanliknar:

$62\,000\text{ kr} - 60\,249{,}96\text{ kr} = 1\,750{,}04\text{ kr}$

Svar: Jamal bør velje alternativ B. Det er omtrent $1\,750$ kr meir verd, målt i kroner om 5 år.

NB: Legg merke til kor tett dei ligg. Alternativ B er $12\,000$ kr større på papiret, men nesten heile forspranget blir ete opp av at A får stå fem år i banken. Hadde renta vore litt høgare, ville A vunne — og akkurat kvar grensa går, reknar vi ut i Døme 4.

Når tek framtidsverdien igjen eit fast beløp?

Den blå kurva er framtidsverdien av dei

50\,000

kronene til Jamal,

\displaystyle 50\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^x

. Den raude linja er alternativ B på

62\,000

kr om 5 år. Dra i rentesatsen: med

3{,}8\,\%

ligg kurva under linja ved år 5 — B vinn, slik vi rekna ut i Døme 2. Skrur du renta oppover, kryssar kurva linja tidlegare og tidlegare — og til slutt før år 5. Då vinn A. Finn gjerne grensa sjølv med glidaren; vi reknar ho ut i Døme 4.

framtidsverdien av 50 000 kr

alternativ B: 62 000 kr

p

(kalkulasjonsrente i prosent)

3,8

📝Oppgave 2

Ein kunde skuldar deg pengar og tilbyr to oppgjer:

- Tilbod A: $80\,000$ kr i dag.
- Tilbod B: $100\,000$ kr om 6 år.

Kalkulasjonsrenta er $4\,\%$ . Rund av til to desimalar.

Kva er framtidsverdien av tilbod A om 6 år?

Kva tilbod er best?

Kor mykje betre er det beste tilbodet, målt i kroner om 6 år?

Kva kalkulasjonsrente ville gjort dei to tilboda likeverdige? Rund av til to desimalar.

Forklar med éi setning kva svaret i d) tyder for valet mellom A og B.

Løs oppgaven

✏️Døme 3 — fleire beløp på ulike tidspunkt

Nora set inn $20\,000$ kr på ein konto i dag og $15\,000$ kr om 3 år. Renta er $4\,\%$ per år. Kor mykje står på kontoen etter 8 år, og kor mykje av det er renter?

Løysing:

Kva veit vi? To innskot på to ulike tidspunkt, $p = 4$ .
Kva må vi finne? Framtidsverdien av begge, i år 8.

Tidslinja:

år	0	3	8
innskot	$20\,000$ kr	$15\,000$ kr
står i	8 år	5 år

Det siste innskotet kjem i år 3 og står difor berre til år 8 — altså

8 - 3 = 5

år. Kvart beløp blir flytt frå sitt eige tidspunkt.
Det første innskotet:

20\,000 \cdot 1{,}04^8 \approx 20\,000 \cdot 1{,}368569 \approx 27\,371{,}38

Det andre innskotet:

$15\,000 \cdot 1{,}04^5 \approx 15\,000 \cdot 1{,}216653 \approx 18\,249{,}79$

Til saman:

$27\,371{,}38\text{ kr} + 18\,249{,}79\text{ kr} = 45\,621{,}17\text{ kr}$

Nora har sett inn $20\,000\text{ kr} + 15\,000\text{ kr} = 35\,000\text{ kr}$ , så rentene er

$45\,621{,}17\text{ kr} - 35\,000\text{ kr} = 10\,621{,}17\text{ kr}$

Dei to pilene har ulik lengd fordi beløpa står ulikt lenge. Det første innskotet blir flytt 8 år, det andre berre $8 - 3 = 5$ år.

Svar: Det står omtrent $45\,621$ kr på kontoen etter 8 år, og $10\,621$ kr av det er renter.

NB: Den vanlegaste feilen her er å gonge begge innskota med $1{,}04^8$ . Eksponenten er ikkje «talet på år i oppgåva», men talet på år akkurat det beløpet står. Skriv difor alltid ned kor mange år kvart beløp skal flyttast, før du reknar.

📝Oppgave 3

Ola sparer til hytteoppussing. Han set inn $25\,000$ kr i dag, $18\,000$ kr om 2 år og $30\,000$ kr om 5 år. Renta er $4{,}4\,\%$ per år. Rund av til to desimalar.

Kva er framtidsverdien i år 8 av det første innskotet?

Kva er framtidsverdien i år 8 av det andre innskotet?

Kva er framtidsverdien i år 8 av det tredje innskotet?

Kor mykje står på kontoen etter 8 år?

Kor mykje av dette er renter?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 — kva rente gjer alternativa likeverdige?

Vi går tilbake til Jamal i Døme 2: $50\,000$ kr i dag mot $62\,000$ kr om 5 år. Kva kalkulasjonsrente ville gjort dei to alternativa like mykje verd?

Løysing:

Kva veit vi? $K_0 = 50\,000$ kr, $K_5 = 62\,000$ kr og $n = 5$ .
Kva må vi finne? Rentesatsen $p$ — eller først vekstfaktoren $v$ .

At alternativa er likeverdige, tyder at framtidsverdien av A er nøyaktig lik B. Det gir oss ei likning:

$50\,000 \cdot v^5 = 62\,000$

Vi deler på $50\,000$ på begge sider:

$\displaystyle v^5 = \frac{62\,000}{50\,000}$

$v^5 = 1{,}24$

For å få $v$ åleine tek vi den 5. rota på begge sider:

$\displaystyle v = \sqrt[5]{1{,}24} = 1{,}24^{\frac{1}{5}}$

$v = 1{,}043961$

No les vi vekstfaktoren: han ligg $0{,}043961$ over 1.

$p \approx 4{,}40$

Svar: Med ei kalkulasjonsrente på omtrent $4{,}40\,\%$ er dei to alternativa likeverdige.

Vi kontrollerer: $50\,000 \cdot 1{,}043961^5 \approx 62\,000$ . Det stemmer.

NB: Dette talet er verd å forstå godt, for det snur svaret. I Døme 2 var renta $3{,}8\,\%$ — lågare enn $4{,}40\,\%$ — og då vann B. Får Jamal derimot $5\,\%$ i banken, er renta høgare enn grensa, og då vinn A. Grenserenta fortel altså ikkje kva alternativ som er best; ho fortel kva du må tru om renta for at det eine skal slå det andre.

📝Oppgave 4

Her skal du finne renta eller tida. Rund rentesatsar av til to desimalar og oppgi tid i heile år.

Kva kalkulasjonsrente gjer $40\,000$ kr i dag likeverdig med $55\,000$ kr om 6 år?

Kva kalkulasjonsrente gjer $150\,000$ kr i dag likeverdig med $200\,000$ kr om 9 år?

Renta er $4\,\%$ . Etter kor mange heile år har framtidsverdien av $40\,000$ kr passert $55\,000$ kr?

Renta er $5\,\%$ . Etter kor mange heile år har framtidsverdien av $150\,000$ kr passert $200\,000$ kr?

I a) fann du $5{,}45\,\%$ , og i c) brukte du $4\,\%$ på dei same beløpa. Forklar samanhengen mellom dei to svara.

Løs oppgaven

✏️Døme 5 — fleire terminar i året

Ei verksemd set av $120\,000$ kr til ei framtidig utskifting av utstyr. Kontoen har $5{,}4\,\%$ nominell rente med månadleg rentetilskriving.

a) Kva er framtidsverdien om 9 år?

b) Kor mykje meir er dette enn om renta hadde vore tilskriven éin gong i året?

Løysing:

a) Kva veit vi? $K_0 = 120\,000$ kr, $p = 5{,}4$ , $m = 12$ og $t = 9$ år.

Terminrenta er

$\displaystyle \frac{p}{m} = \frac{5{,}4\,\%}{12} = 0{,}45\,\%$

og talet på terminar til saman er

$m \cdot t = 12 \cdot 9 = 108$

Vi skriv formelen tom, og set så inn tala:

$\displaystyle K_t = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}$

$\displaystyle K_9 = 120\,000 \cdot \left(1 + \frac{5{,}4}{1200}\right)^{108}$

$= 120\,000 \cdot 1{,}0045^{108}$

$\approx 120\,000 \cdot 1{,}624028$

$\approx 194\,883{,}42$

Svar: Framtidsverdien er omtrent $194\,883$ kr.

b) Med årleg tilskriving:

$120\,000 \cdot 1{,}054^9 \approx 120\,000 \cdot 1{,}6053343 \approx 192\,640{,}12$

Differansen er

$194\,883{,}42\text{ kr} - 192\,640{,}12\text{ kr} = 2\,243{,}30\text{ kr}$

Svar: Den månadlege tilskrivinga gir omtrent $2\,243$ kr meir på ni år.

(Førast ikkje) Kontroll med effektiv rente:

$\left(1 + \frac{5{,}4}{1200}\right)^{12} \approx 1{,}05535675$

altså omtrent $5{,}5357\,\%$ effektivt.

$120\,000 \cdot 1{,}05535675^9 \approx 194\,883$

Det er same svar. Framtidsverdi kan alltid reknast anten med terminrenta og $m \cdot t$ terminar, eller med den effektive renta og $t$ år.

Prøv sjølv: framtidsverdi

Set inn beløp, kalkulasjonsrente, talet på år og talet på terminar per år. Bruk han gjerne til å kontrollere svara dine — men skriv alltid tidslinja og rekninga i svaret ditt.

Startkapital K₀

Nominell rente r

Tid t

år

Kapitaliseringer/år m

K_t = K_0 \cdot (1 + r/m)^{mt}

101 226 kr

Avkastning

21 226 kr

r_{\text{eff}} = (1 + r/m)^m - 1

4 %

Oppsummering

- Framtidsverdien av eit beløp er verdien det har seinare, når det får stå til rente fram til då: $\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .
- Kalkulasjonsrenta er renta vi flyttar beløpa med. Ho er ein føresetnad i modellen og skal alltid stå i svaret ditt.
- Beløp på ulike tidspunkt kan ikkje samanliknast direkte. Flytt dei til same tidspunkt først.
- Oppskrifta: teikn tidslinja → vel eitt samanlikningstidspunkt → flytt kvart beløp frå sitt eige tidspunkt → samanlikn.
- Fleire beløp: framtidsverdien er summen av framtidsverdiane. Eksponenten er talet på år akkurat det beløpet står.
- Grenserenta mellom to alternativ finn vi av likninga $K_0 \cdot v^n = K_n$ : del på $K_0$ , ta den $n$ -te rota, og les vekstfaktoren.
- Med $m$ terminar i året: $\displaystyle K_t = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{m t}$ . Med kontinuerleg rente: $K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$ .

📝Oppgave 5

Samleoppgåve. Eit lite firma sel ein varebil. Kjøparen tilbyr to oppgjer:

- Alternativ 1: $180\,000$ kr kontant i dag.
- Alternativ 2: $95\,000$ kr i dag og $95\,000$ kr om 3 år.

Firmaet reknar med ei kalkulasjonsrente på $5\,\%$ . Rund av til to desimalar.

Kva er framtidsverdien i år 3 av alternativ 1?

Kva er framtidsverdien i år 3 av alternativ 2?

Kva alternativ bør firmaet velje, og kor mykje betre er det målt i kroner om 3 år?

Kva kalkulasjonsrente ville gjort dei to alternativa likeverdige? Rund av til to desimalar.

Drøft kva firmaet elles bør ta med i vurderinga før det vel.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Ein kunde skal plassere

200\,000

kr i 20 år og får tre tilbod:

Alternativ	Nominell rente	Tilskriving
1	4,10 %	årleg
2	3,95 %	månadleg
3	3,90 %	kontinuerleg

Lag eit rekneark med år

0

til

20

i kolonne A og framtidsverdien for kvart alternativ i kolonne B, C og D.

Kva formlar set du i B2, C2 og D2 (år $0$ i rad 2) slik at dei kan dragast nedover?

Kor mykje står i kvart alternativ etter 20 år? Rund av til næraste krone.

Kva alternativ er best, og kor mykje skil det beste frå det dårlegaste etter 20 år?

Rekn ut den effektive renta i kvart alternativ. Oppgi fire desimalar.

Drøft kva denne oppgåva viser om forholdet mellom nominell rente og tilskrivingshyppigheit.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.