1.5 Kontinuerlig rente utforsket digitalt | Matematikk for økonomi

Grenseverdien mot e, og K·e^{rt} utforsket i regneark og GeoGebra.

45 min

6 oppgaver

Tallet eKontinuerlig rente

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kontinuerlig rente utforsket digitalt

I kapittel 1.4 så vi at den effektive renten steg når renten ble tilskrevet oftere — men at den flatet ut mot en grense. Vi brukte grensen uten å vise hvor den kom fra.

Nå skal vi finne den selv. Dette kapittelet er en utforsking: vi lar et regneark regne mange tilfeller, ser på mønsteret i tallene, og trekker konklusjonen. Det er slik tallet $e$ ble oppdaget en gang på 1600-tallet, og det er en god måte å møte det på.

Du trenger et regneark. Alt i kapittelet kan også gjøres med kalkulator eller CAS, men mønsteret ser du best når mange rader står under hverandre.

Utforskingen: én krone, hundre prosent rente

Vi tar det mest ekstreme tilfellet vi kan tenke oss, for da blir mønsteret tydeligst.

Du setter 1 krone i banken. Den nominelle renten er $100\,\%$ per år. Så spør vi: hvor mye har du etter ett år?

Med årlig tilskriving er svaret enkelt: $1 \cdot 2 = 2$ kr.

Men hva om banken tilskriver halvårlig? Da er terminrenten $50\,\%$ , og du får

$1 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 1{,}5^2 = 2{,}25\text{ kr}$

Mer enn 2 kroner. Og hva om banken tilskriver hver måned? Hver dag? Hvert sekund? Går det mot uendelig?

✏️Eksempel 1 — hva skjer når vi deler året i flere og flere terminer?

1 krone settes i banken i ett år med $100\,\%$ nominell rente. Regn ut sluttbeløpet når renten tilskrives $m$ ganger i året, for $m = 1, 2, 4, 12, 52, 365, 8\,760$ (timer) og $525\,600$ (minutter).

Løsning:

Hva vet vi? Nominell rente $100\,\%$ gir $r = 1$ . Terminrenten er $\displaystyle \frac{1}{m}$ , og det er $m$ terminer.

Sluttbeløpet blir altså

$\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$

I regnearket legger vi $m$ -verdiene i kolonne A og formelen =(1+1/A2)^A2 i B2, og drar den nedover.

$m$	$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$
1	2,000000000
2	2,250000000
4	2,441406250
12	2,613035290
52	2,692596954
365	2,714567482
8 760	2,718126692
525 600	2,718279243
31 536 000	2,718281778

Svar: Beløpet vokser, men det går ikke mot uendelig. Det låser seg fast rundt

2{,}71828\ldots

NB: Se på hvor desimalene stivner. Etter

m = 8\,760

er de tre første desimalene låst (

2{,}718

). Etter

m = 525\,600

er de fire første låst (

2{,}7182

). Uansett hvor fint vi deler opp året, kommer vi aldri over

2{,}7182818\ldots

Det tallet har fått sitt eget navn.

Tallet

e

e = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \approx 2{,}718281828

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ nærmer seg $e$

Den blå kurven er

\displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x

, den røde stiplede linja er

e \approx 2{,}718

. Kurven stiger hele tiden, men kommer aldri over linja. Det er nettopp det en grenseverdi er: en verdi funksjonen nærmer seg så mye vi vil, uten å nå den.

(1+1/x)^x

e

📜Kontinuerlig rente

For en nominell rente

r

(skrevet som desimaltall) gjelder

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = e^{\,r}$

Med kontinuerlig rente er kapitalen etter $t$ år derfor

$K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$

og den effektive renten er

$p_{\text{eff}} = \left(e^{\,r} - 1\right) \cdot 100\,\%$

✏️Eksempel 2 — formelen i bruk

60\,000

kr plasseres med kontinuerlig rente på

3{,}8\,\%

i 15 år.

a) Hvor mye har beløpet vokst til?

b) Hvor mye ville det vært med årlig rentetilskriving og samme nominelle rente?

Løsning:

a) Hva vet vi? $K_0 = 60\,000$ kr, nominell rente $3{,}8\,\%$ og $t = 15$ år.
Hva må vi finne? Kapitalen etter 15 år.

Først skriver vi renten som desimaltall:

$\displaystyle r = \frac{3{,}8}{100} = 0{,}038$

Så regner vi ut eksponenten:

$r \cdot t = 0{,}038 \cdot 15 = 0{,}57$

Vi skriver formelen tom, og setter så inn tallene:

$K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$

$K_{15} = 60\,000 \cdot e^{0{,}57}$

$= 60\,000 \cdot 1{,}768267$

$= 106\,096{,}02$

Svar: Beløpet har vokst til omtrent $106\,096$ kr.

b) Med årlig tilskriving er vekstfaktoren $1{,}038$ :

$60\,000 \cdot 1{,}038^{15} \approx 104\,981{,}20\text{ kr}$

Svar: Omtrent $104\,981$ kr — altså rundt $1\,115$ kr mindre.

NB: Legg merke til rekkefølgen i a): vi gjorde renten om til desimaltall, regnet ut hele eksponenten $r \cdot t$ for seg, og satte den så inn. Den rekkefølgen er verdt å holde på — den vanligste feilen med denne formelen er å skrive $e^{3{,}8 \cdot 15}$ i stedet for $e^{0{,}038 \cdot 15}$ , og da blir svaret astronomisk galt.

Prøv selv: kontinuerlig rente

Sett inn startkapital, rentesats og antall år. Sammenlign gjerne med renteregneren i kapittel 1.2 og se hvor liten forskjellen er på korte horisonter — og hvor stor den blir på lange.

Startkapital K₀

Rente r

Tid t

år

K_t = K_0 \cdot e^{rt}

106 096 kr

r_{\text{eff}} = e^r - 1

3,873 %

Doblingstid

18,24 år

📝Oppgave 1

Regn ut kapitalen med kontinuerlig rente. Rund av til to desimaler. Skriv renten som desimaltall og regn ut eksponenten $r \cdot t$ før du setter inn.

20\,000

kr,

3{,}0\,\%

kontinuerlig rente, 10 år.

500\,000

kr,

4{,}5\,\%

kontinuerlig rente, 7 år.

75\,000

kr,

2{,}2\,\%

kontinuerlig rente, 25 år.

1\,200\,000

kr,

5{,}8\,\%

kontinuerlig rente, 3 år.

En elev skriver $20\,000 \cdot e^{3 \cdot 10}$ i a). Hva er svaret da, og hva er feilen?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3 — hvor mye må settes inn i dag?

Et fond regner med kontinuerlig avkastning på $4\,\%$ . Hvor mye må settes inn i dag for å ha $1\,000\,000$ kr om 20 år?

Løsning:

Hva vet vi? $K_{20} = 1\,000\,000$ kr, $r = 0{,}04$ og $t = 20$ .
Hva må vi finne? Startkapitalen $K_0$ .

Vi setter inn i formelen med $K_0$ som ukjent:

$K_0 \cdot e^{0{,}04 \cdot 20} = 1\,000\,000$

$K_0 \cdot e^{0{,}8} = 1\,000\,000$

Vi deler på $e^{0{,}8}$ på begge sider:

$\displaystyle K_0 = \frac{1\,000\,000}{e^{0{,}8}} = \frac{1\,000\,000}{2{,}225541} \approx 449\,328{,}96$

Svar: Det må settes inn omtrent $449\,329$ kr i dag.

Vi kontrollerer: $449\,328{,}96 \cdot e^{0{,}8} = 1\,000\,000$ . Det stemmer.

(Føres ikke) Dette kan også skrives $K_0 = K_t \cdot e^{-r\,t}$ , siden $\displaystyle \frac{1}{e^{0{,}8}} = e^{-0{,}8}$ . Den formen møter du ofte i økonomifag, og den er praktisk fordi den bare er én multiplikasjon.

📝Oppgave 2

Regn ut den effektive renten ved kontinuerlig rente. Oppgi fire desimaler.

r = 2{,}0\,\%

r = 4{,}0\,\%

r = 7{,}5\,\%

r = 12{,}0\,\%

Sammenlign d) med månedlig tilskriving av samme nominelle rente. Hvor mange prosentpoeng skiller?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Hvor mye må settes inn i dag med kontinuerlig rente? Rund av til to desimaler.

250\,000

kr om 5 år,

r = 4{,}0\,\%

800\,000

kr om 12 år,

r = 3{,}5\,\%

2\,000\,000

kr om 30 år,

r = 6{,}0\,\%

Hvor mye måtte settes inn i a) hvis renten i stedet var $4\,\%$ med årlig tilskriving?

Hvor mye mindre må settes inn med kontinuerlig rente enn med årlig i a) og d), og hvorfor er det slik?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 — betyr det noe på lang sikt?

100\,000

kr plasseres i 40 år med

5\,\%

nominell rente. Sammenlign årlig, månedlig og kontinuerlig rentetilskriving.

Løsning:

Årlig ( $m = 1$ ):

$100\,000 \cdot 1{,}05^{40} = 100\,000 \cdot 7{,}039989 \approx 703\,998{,}87\text{ kr}$

Månedlig ( $m = 12$ , altså $12 \cdot 40 = 480$ terminer):

$\displaystyle 100\,000 \cdot \left(1 + \frac{5}{1200}\right)^{480} \approx 735\,841{,}73\text{ kr}$

Kontinuerlig:

$100\,000 \cdot e^{0{,}05 \cdot 40} = 100\,000 \cdot e^{2} = 100\,000 \cdot 7{,}389056 \approx 738\,905{,}61\text{ kr}$

Et stolpediagram med to blå stolper merket «årlig → månedlig» og «månedlig → kontinuerlig» under aksen. Loddrett akse viser kroner fra 0 til 35 000. Den første stolpen er 31 843 kr høy, den andre bare 3 064 kr — omtrent en tiendedel. Verdiene står over stolpene. Ved siden av står «100 000 kr i 40 år med 5 % nominell rente» og «sluttbeløp: 703 999 / 735 842 / 738 906 kr».

Gevinsten ved å gå fra årlig til månedlig tilskriving er omtrent ti ganger så stor som gevinsten ved å gå videre til kontinuerlig. Den store gevinsten ligger i de første stegene, ikke i å presse $m$ mot uendelig.

Svar: Årlig gir omtrent $704\,000$ kr, månedlig omtrent $736\,000$ kr og kontinuerlig omtrent $739\,000$ kr.

NB: Her er poenget verdt å dvele ved. Å gå fra årlig til månedlig tilskriving ga nesten $32\,000$ kr. Å gå videre fra månedlig til kontinuerlig ga bare rundt $3\,000$ kr — en tiendedel så mye. På ett år var forskjellene småpenger (kapittel 1.4); på førti år er de merkbare, men den store gevinsten ligger i de første stegene, ikke i å presse $m$ mot uendelig.

Årlig mot kontinuerlig tilskriving over tid

100\,000

kr med samme nominelle rente, tilskrevet årlig (blå) og kontinuerlig (rød). Dra i renten og se hvordan avstanden mellom kurvene vokser med både rentenivå og tid — men langsomt.

årlig tilskriving

kontinuerlig

p

(nominell rente i prosent)

✏️Eksempel 5 — doblingstid med kontinuerlig rente

Med kontinuerlig rente på $5\,\%$ : hvor lang tid tar det før kapitalen har doblet seg? Finn svaret med én desimal ved å prøve deg fram i et regneark.

Løsning:

Hva vet vi? $r = 0{,}05$ . Vi vil ha $K_t = 2 \cdot K_0$ .

Vi setter opp likningen:

$K_0 \cdot e^{0{,}05\,t} = 2 \cdot K_0$

Vi deler på $K_0$ på begge sider — startkapitalen forsvinner, akkurat som i kapittel 1.2:

$e^{0{,}05\,t} = 2$

Her står den ukjente i eksponenten. Vi prøver oss fram i regnearket med formelen =EKSP(0,05*A2):

$t$	$e^{0{,}05t}$
13,0	1,915541
13,5	1,964033
13,9	2,003709
13,86	1,999706

Verdien passerer 2 mellom

t = 13{,}86

t = 13{,}9

.
Svar: Doblingstiden er omtrent

13{,}9

år.
NB: Tommelfingerregelen

\displaystyle \frac{72}{5} = 14{,}4

år bommer med et halvt år her. Regelen er laget for årlig tilskriving og er en grov tilnærming; med kontinuerlig rente er den eksakte doblingstiden

\displaystyle \frac{\ln 2}{r}

, og den formelen får vi bruk for i kapittel 3.4 når vi har lært logaritmer. Inntil da er regnearket verktøyet.

📝Oppgave 4

Doblingstid med kontinuerlig rente. Prøv deg fram i et regneark og oppgi doblingstiden med én desimals nøyaktighet.

r = 2{,}0\,\%

r = 4{,}0\,\%

r = 8{,}0\,\%

Gang svarene i a), b) og c) med renten i prosent. Hva legger du merke til?

Hvorfor er tommelfingerregelen $\displaystyle \frac{72}{p}$ ikke helt riktig her? Ville $\displaystyle \frac{69}{p}$ vært bedre for kontinuerlig rente?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Tallet $e$ er grenseverdien $\displaystyle \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \approx 2{,}718281828$ . Det er irrasjonalt, som $\pi$ .
- Grensen generelt: $\displaystyle \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m \to e^{\,r}$ når $m$ vokser.
- Kontinuerlig rente: $K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$ , der $r$ er den nominelle renten som desimaltall.
- Baklengs: $\displaystyle K_0 = \frac{K_t}{e^{\,r\,t}} = K_t \cdot e^{-r\,t}$ .
- Effektiv rente: $\left(e^{\,r} - 1\right) \cdot 100\,\%$ — taket for en gitt nominell rente.
- Praktisk: den store gevinsten ligger i å gå fra årlig til månedlig tilskriving. Fra månedlig til kontinuerlig er forskjellen liten. Kontinuerlig rente er først og fremst en modell som er enkel å regne med, og en øvre grense man kan stole på.
- Antall år finner vi foreløpig ved å prøve oss fram i regneark. Fra kapittel 3.4 bruker vi logaritmer.

📝Oppgave 5

Samleoppgave. Et fond modelleres med kontinuerlig avkastning på

5{,}5\,\%

. En kunde setter inn

180\,000

kr og lar dem stå i 12 år. Inflasjonen antas å være

2{,}5\,\%

per år.

Hvor mye er fondet verdt etter 12 år? Rund av til to desimaler.

Hva er den effektive årlige avkastningen? Oppgi fire desimaler.

Hvor mye ville fondet vært verdt med $5{,}5\,\%$ og årlig tilskriving? Hvor stor er forskjellen?

Hva er fondet verdt i dagens kroner etter 12 år, når vi tar hensyn til inflasjonen? Rund av til to desimaler.

Regn ut den reale årlige vekstfaktoren, og drøft hva svaret i d) betyr for kunden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Del 2 — utforsking i regneark. Du skal undersøke hvor raskt

\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m

nærmer seg

e

Lag et regneark med $m$ -verdiene $10$ , $100$ , $1\,000$ , $10\,000$ , $100\,000$ , $1\,000\,000$ og $10\,000\,000$ i kolonne A.

Hvilke formler setter du i B2 og C2 for å få $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$ og avviket fra $e$ ?

Hva blir verdien for $m = 1\,000$ og for $m = 1\,000\,000$ ? Oppgi ni desimaler.

Se på avvikskolonnen. Hva skjer med avviket hver gang $m$ blir ti ganger større?

Lag en ny kolonne med $\displaystyle \left(1 + \frac{0{,}04}{m}\right)^m$ for de samme $m$ -verdiene, og sammenlign med $e^{0{,}04}$ . Hva blir de to tallene for $m = 100\,000$ ? Oppgi ni desimaler.

Drøft: hvorfor sier vi at $e$ er en grenseverdi og ikke bare «det tallet uttrykket blir til slutt»? Og hvorfor er det likevel helt uproblematisk å bruke $e^{\,r\,t}$ når vi regner på penger?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.