1.5 Kontinuerleg rente utforska digitalt | Matematikk for økonomi

Grenseverdien mot e, og K·e^{rt} utforska i rekneark og GeoGebra.

45 min

6 oppgaver

Talet eKontinuerleg rente

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kontinuerleg rente utforska digitalt

I kapittel 1.4 såg vi at den effektive renta steig når renta vart tilskriven oftare — men at ho flata ut mot ei grense. Vi brukte grensa utan å vise kvar ho kom frå.

No skal vi finne ho sjølve. Dette kapittelet er ei utforsking: vi lèt eit rekneark rekne mange tilfelle, ser på mønsteret i tala, og trekkjer konklusjonen. Det er slik talet $e$ vart oppdaga ein gong på 1600-talet, og det er ein god måte å møte det på.

Du treng eit rekneark. Alt i kapittelet kan også gjerast med kalkulator eller CAS, men mønsteret ser du best når mange rader står under kvarandre.

Utforskinga: éi krone, hundre prosent rente

Vi tek det mest ekstreme tilfellet vi kan tenkje oss, for då blir mønsteret tydelegast.

Du set 1 krone i banken. Den nominelle renta er $100\,\%$ per år. Så spør vi: kor mykje har du etter eitt år?

Med årleg tilskriving er svaret enkelt: $1 \cdot 2 = 2$ kr.

Men kva om banken tilskriv halvårleg? Då er terminrenta $50\,\%$ , og du får

$1 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 1{,}5^2 = 2{,}25\text{ kr}$

Meir enn 2 kroner. Og kva om banken tilskriv kvar månad? Kvar dag? Kvart sekund? Går det mot uendeleg?

✏️Døme 1 — kva skjer når vi deler året i fleire og fleire terminar?

1 krone blir sett i banken i eitt år med $100\,\%$ nominell rente. Rekn ut sluttbeløpet når renta blir tilskriven $m$ gonger i året, for $m = 1, 2, 4, 12, 52, 365, 8\,760$ (timar), $525\,600$ (minutt) og $31\,536\,000$ (sekund).

Løysing:

Kva veit vi? Nominell rente $100\,\%$ gir $r = 1$ . Terminrenta er $\displaystyle \frac{1}{m}$ , og det er $m$ terminar.

Sluttbeløpet blir altså

$\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$

I reknearket legg vi $m$ -verdiane i kolonne A og formelen =(1+1/A2)^A2 i B2, og drar han nedover.

$m$	$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$
1	2,000000000
2	2,250000000
4	2,441406250
12	2,613035290
52	2,692596954
365	2,714567482
8 760	2,718126692
525 600	2,718279243
31 536 000	2,718281778

Svar: Beløpet veks, men det går ikkje mot uendeleg. Det låser seg fast rundt

2{,}71828\ldots

NB: Sjå på kvar desimalane stivnar.
Etter

m = 8\,760

er dei tre første desimalane låste (

2{,}718

).
Etter

m = 525\,600

er dei fire første låste (

2{,}7182

).
Uansett kor fint vi deler opp året, kjem vi aldri over

2{,}7182818\ldots

Det talet har fått sitt eige namn.

Talet

e

e = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \approx 2{,}718281828

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ nærmar seg $e$

Den blå kurva er

\displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x

, den raude stipla linja er

e \approx 2{,}718

. Kurva stig heile tida, men kjem aldri over linja. Det er nettopp det ein grenseverdi er: ein verdi funksjonen nærmar seg så mykje vi vil, utan å nå han.

(1+1/x)^x

e

📜Kontinuerleg rente

For ei nominell rente

r

(skriven som desimaltal) gjeld

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = e^{\,r}$

Med kontinuerleg rente er kapitalen etter $t$ år difor

$K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$

og den effektive renta er

$p_{\text{eff}} = \left(e^{\,r} - 1\right) \cdot 100\,\%$

✏️Døme 2 — formelen i bruk

60\,000

kr blir plasserte med kontinuerleg rente på

3{,}8\,\%

i 15 år.

a) Kor mykje har beløpet vakse til?

b) Kor mykje ville det vore med årleg rentetilskriving og same nominelle rente?

Løysing:

a) Kva veit vi? $K_0 = 60\,000$ kr, nominell rente $3{,}8\,\%$ og $t = 15$ år.
Kva må vi finne? Kapitalen etter 15 år.

Først skriv vi renta som desimaltal:

$\displaystyle r = \frac{3{,}8}{100} = 0{,}038$

Så reknar vi ut eksponenten:

$r \cdot t = 0{,}038 \cdot 15 = 0{,}57$

Vi skriv formelen tom, og set så inn tala:

$K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$

$K_{15} = 60\,000 \cdot e^{0{,}57}$

$= 60\,000 \cdot 1{,}768267$

$= 106\,096{,}02$

Svar: Beløpet har vakse til omtrent $106\,096$ kr.

b) Med årleg tilskriving er vekstfaktoren $1{,}038$ :

$60\,000 \cdot 1{,}038^{15} \approx 104\,981{,}20\text{ kr}$

Svar: Omtrent $104\,981$ kr — altså rundt $1\,115$ kr mindre.

NB: Legg merke til rekkjefølgja i a): vi gjorde renta om til desimaltal, rekna ut heile eksponenten $r \cdot t$ for seg, og sette han så inn. Den rekkjefølgja er verd å halde på — den vanlegaste feilen med denne formelen er å skrive $e^{3{,}8 \cdot 15}$ i staden for $e^{0{,}038 \cdot 15}$ , og då blir svaret astronomisk gale.

Prøv sjølv: kontinuerleg rente

Set inn startkapital, rentesats og talet på år. Samanlikn gjerne med rentekalkulatoren i kapittel 1.2 og sjå kor liten skilnaden er på korte horisontar — og kor stor han blir på lange.

Startkapital K₀

Rente r

Tid t

år

K_t = K_0 \cdot e^{rt}

106 096 kr

r_{\text{eff}} = e^r - 1

3,873 %

Doblingstid

18,24 år

📝Oppgave 1

Rekn ut kapitalen med kontinuerleg rente. Rund av til to desimalar. Skriv renta som desimaltal og rekn ut eksponenten $r \cdot t$ før du set inn.

20\,000

kr,

3{,}0\,\%

kontinuerleg rente, 10 år.

500\,000

kr,

4{,}5\,\%

kontinuerleg rente, 7 år.

75\,000

kr,

2{,}2\,\%

kontinuerleg rente, 25 år.

1\,200\,000

kr,

5{,}8\,\%

kontinuerleg rente, 3 år.

Ein elev skriv $20\,000 \cdot e^{3 \cdot 10}$ i a). Kva er svaret då, og kva er feilen?

Løs oppgaven

✏️Døme 3 — kor mykje må setjast inn i dag?

Eit fond reknar med kontinuerleg avkasting på $4\,\%$ . Kor mykje må setjast inn i dag for å ha $1\,000\,000$ kr om 20 år?

Løysing:

Kva veit vi? $K_{20} = 1\,000\,000$ kr, $r = 0{,}04$ og $t = 20$ .
Kva må vi finne? Startkapitalen $K_0$ .

Vi set inn i formelen med $K_0$ som ukjend:

$K_0 \cdot e^{0{,}04 \cdot 20} = 1\,000\,000$

$K_0 \cdot e^{0{,}8} = 1\,000\,000$

Vi deler på $e^{0{,}8}$ på begge sider:

$\displaystyle K_0 = \frac{1\,000\,000}{e^{0{,}8}} \approx \frac{1\,000\,000}{2{,}22554093} \approx 449\,328{,}96$

Svar: Det må setjast inn omtrent $449\,329$ kr i dag.

Vi kontrollerer: $449\,328{,}96 \cdot e^{0{,}8} \approx 1\,000\,000$ . Det stemmer.

(Førast ikkje) Dette kan også skrivast $K_0 = K_t \cdot e^{-r\,t}$ , sidan $\displaystyle \frac{1}{e^{0{,}8}} = e^{-0{,}8}$ . Den forma møter du ofte i økonomifag, og ho er praktisk fordi ho berre er éin multiplikasjon.

📝Oppgave 2

Rekn ut den effektive renta ved kontinuerleg rente. Oppgi fire desimalar.

r = 2{,}0\,\%

r = 4{,}0\,\%

r = 7{,}5\,\%

r = 12{,}0\,\%

Samanlikn d) med månadleg tilskriving av same nominelle rente. Kor mange prosentpoeng skil?

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Kor mykje må setjast inn i dag med kontinuerleg rente? Rund av til to desimalar.

250\,000

kr om 5 år,

r = 4{,}0\,\%

800\,000

kr om 12 år,

r = 3{,}5\,\%

2\,000\,000

kr om 30 år,

r = 6{,}0\,\%

Kor mykje måtte ha vore sett inn i a) dersom renta i staden var $4\,\%$ med årleg tilskriving?

Kor mykje mindre må setjast inn med kontinuerleg rente enn med årleg i a) og d), og kvifor er det slik?

Løs oppgaven

✏️Døme 4 — har det noko å seie på lang sikt?

100\,000

kr blir plasserte i 40 år med

5\,\%

nominell rente. Samanlikn årleg, månadleg og kontinuerleg rentetilskriving.

Løysing:

Årleg ( $m = 1$ ):

$100\,000 \cdot 1{,}05^{40} \approx 100\,000 \cdot 7{,}0399887 \approx 703\,998{,}87\text{ kr}$

Månadleg ( $m = 12$ , altså $12 \cdot 40 = 480$ terminar):

$\displaystyle 100\,000 \cdot \left(1 + \frac{5}{1200}\right)^{480} \approx 735\,841{,}73\text{ kr}$

Kontinuerleg:

$100\,000 \cdot e^{0{,}05 \cdot 40} = 100\,000 \cdot e^{2} \approx 100\,000 \cdot 7{,}3890561 \approx 738\,905{,}61\text{ kr}$

Eit stolpediagram med to blå stolpar merkte «årleg → månadleg» og «månadleg → kontinuerleg» under aksen. Loddrett akse viser kroner frå 0 til 35 000. Den første stolpen er 31 843 kr høg, den andre berre 3 064 kr — omtrent ein tiandedel. Verdiane står over stolpane. Ved sida av står «100 000 kr i 40 år med 5 % nominell rente» og «sluttbeløp: 703 999 / 735 842 / 738 906 kr».

Gevinsten ved å gå frå årleg til månadleg tilskriving er omtrent ti gonger så stor som gevinsten ved å gå vidare til kontinuerleg. Den store gevinsten ligg i dei første stega, ikkje i å presse $m$ mot uendeleg.

Svar: Årleg gir omtrent $704\,000$ kr, månadleg omtrent $736\,000$ kr og kontinuerleg omtrent $739\,000$ kr.

NB: Her er poenget verd å dvele ved. Å gå frå årleg til månadleg tilskriving gav nesten $32\,000$ kr. Å gå vidare frå månadleg til kontinuerleg gav berre rundt $3\,000$ kr — ein tiandedel så mykje. På eitt år var skilnadene småpengar (kapittel 1.4); på førti år er dei merkbare, men den store gevinsten ligg i dei første stega, ikkje i å presse $m$ mot uendeleg.

Årleg mot kontinuerleg tilskriving over tid

100\,000

kr med same nominelle rente, tilskriven årleg (blå) og kontinuerleg (raud). Dra i renta og sjå korleis avstanden mellom kurvene veks med både rentenivå og tid — men langsamt.

årleg tilskriving

kontinuerleg

p

(nominell rente i prosent)

✏️Døme 5 — doblingstid med kontinuerleg rente

Med kontinuerleg rente på $5\,\%$ : kor lang tid tek det før kapitalen har dobla seg? Finn svaret med éin desimal ved å prøve deg fram i eit rekneark.

Løysing:

Kva veit vi? $r = 0{,}05$ . Vi vil ha $K_t = 2 \cdot K_0$ .

Vi set opp likninga:

$K_0 \cdot e^{0{,}05\,t} = 2 \cdot K_0$

Vi deler på $K_0$ på begge sider — startkapitalen forsvinn, akkurat som i kapittel 1.2:

$e^{0{,}05\,t} = 2$

Her står den ukjende i eksponenten. Vi prøver oss fram i reknearket med formelen =EKSP(0,05*A2):

$t$	$e^{0{,}05t}$
13,0	1,915541
13,5	1,964033
13,8	1,993716
13,86	1,999706
13,9	2,003709

Verdien passerer 2 mellom

t = 13{,}86

t = 13{,}9

.
Svar: Doblingstida er omtrent

13{,}9

år.
NB: Tommelfingerregelen

\displaystyle \frac{72}{5} = 14{,}4

år bommar med eit halvt år her. Regelen er laga for årleg tilskriving og er ei grov tilnærming; med kontinuerleg rente er den eksakte doblingstida

\displaystyle \frac{\ln 2}{r}

, og den formelen får vi bruk for i kapittel 3.4 når vi har lært logaritmar. Fram til då er reknearket verktøyet.

📝Oppgave 4

Doblingstid med kontinuerleg rente. Prøv deg fram i eit rekneark og oppgi doblingstida med éin desimals nøyaktigheit.

r = 2{,}0\,\%

r = 4{,}0\,\%

r = 8{,}0\,\%

Gong svara i a), b) og c) med renta i prosent. Kva legg du merke til?

Kvifor er tommelfingerregelen $\displaystyle \frac{72}{p}$ ikkje heilt rett her? Ville $\displaystyle \frac{69}{p}$ vore betre for kontinuerleg rente?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Talet $e$ er grenseverdien $\displaystyle \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \approx 2{,}718281828$ . Det er irrasjonalt, som $\pi$ .
- Grensa generelt: $\displaystyle \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m \to e^{\,r}$ når $m$ veks.
- Kontinuerleg rente: $K_t = K_0 \cdot e^{\,r\,t}$ , der $r$ er den nominelle renta som desimaltal.
- Baklengs: $\displaystyle K_0 = \frac{K_t}{e^{\,r\,t}} = K_t \cdot e^{-r\,t}$ .
- Effektiv rente: $\left(e^{\,r} - 1\right) \cdot 100\,\%$ — taket for ei gitt nominell rente.
- Praktisk: den store gevinsten ligg i å gå frå årleg til månadleg tilskriving. Frå månadleg til kontinuerleg er skilnaden liten. Kontinuerleg rente er først og fremst ein modell som er enkel å rekne med, og ei øvre grense ein kan stole på.
- Talet på år finn vi førebels ved å prøve oss fram i rekneark. Frå kapittel 3.4 bruker vi logaritmar.

📝Oppgave 5

Samleoppgåve. Eit fond blir modellert med kontinuerleg avkasting på

5{,}5\,\%

. Ein kunde set inn

180\,000

kr og lèt dei stå i 12 år. Vi går ut frå at inflasjonen er

2{,}5\,\%

per år.

Kor mykje er fondet verd etter 12 år? Rund av til to desimalar.

Kva er den effektive årlege avkastinga? Oppgi fire desimalar.

Kor mykje ville fondet vore verd med $5{,}5\,\%$ og årleg tilskriving? Kor stor er skilnaden?

Kva er fondet verd i dagens kroner etter 12 år, når vi tek omsyn til inflasjonen? Rund av til to desimalar.

Rekn ut den reale årlege vekstfaktoren, og drøft kva svaret i d) tyder for kunden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Del 2 — utforsking i rekneark. Du skal undersøkje kor raskt

\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m

nærmar seg

e

Lag eit rekneark med $m$ -verdiane $10$ , $100$ , $1\,000$ , $10\,000$ , $100\,000$ , $1\,000\,000$ og $10\,000\,000$ i kolonne A.

Kva formlar set du i B2 og C2 for å få $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m$ og avviket frå $e$ ?

Kva blir verdien for $m = 1\,000$ og for $m = 1\,000\,000$ ? Oppgi ni desimalar.

Sjå på avvikskolonnen. Kva skjer med avviket kvar gong $m$ blir ti gonger større?

Lag ein ny kolonne med $\displaystyle \left(1 + \frac{0{,}04}{m}\right)^m$ for dei same $m$ -verdiane, og samanlikn med $e^{0{,}04}$ . Kva blir dei to tala for $m = 100\,000$ ? Oppgi ni desimalar.

Drøft: kvifor seier vi at $e$ er ein grenseverdi og ikkje berre «det talet uttrykket blir til slutt»? Og kvifor er det likevel heilt uproblematisk å bruke $e^{\,r\,t}$ når vi reknar på pengar?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.