1.2 Rente på rente

Kva veit vi? $K_0 = 25\,000$ kr og $p = 3{,}5$.
Kva må vi finne? Kapitalen etter kvart av dei tre åra.

Å auke eit beløp med $3{,}5\,\%$ er det same som å gonge med vekstfaktoren

$\displaystyle 1 + \frac{3{,}5}{100} = 1{,}035$

Etter 1 år:

$K_1 = 25\,000\text{ kr} \cdot 1{,}035 = 25\,875\text{ kr}$

Etter 2 år tek vi renta av det nye beløpet — altså av $25\,875$ kr, ikkje av $25\,000$ kr:

$K_2 = 25\,875\text{ kr} \cdot 1{,}035 \approx 26\,780{,}63\text{ kr}$

Etter 3 år:

$K_3 = 26\,780{,}63\text{ kr} \cdot 1{,}035 \approx 27\,717{,}95\text{ kr}$

Renta for kvart av dei tre åra i dømet, avrunda til heile kroner. Rentesatsen er den same heile vegen, men rentebeløpet veks — fordi det blir rekna av eit større beløp kvart år. Det er rente på rente.

Svar: Etter 1 år står det $25\,875$ kr, etter 2 år $26\,780{,}63$ kr og etter 3 år $27\,717{,}95$ kr.

NB: Det første året gav $875$ kr i rente. Det andre året gav $905{,}63$ kr. Det er same rentesats, men renta blir større, fordi ho blir rekna av eit større beløp. Det er rente på rente.

a) Kva veit vi? $K_0 = 150\,000$ kr, $p = 4{,}2$ og $n = 12$.

Vi skriv formelen tom, og set så inn tala:

$\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

$\displaystyle K_{12} = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{4{,}2}{100}\right)^{12}$

$= 150\,000 \cdot 1{,}042^{12}$

$= 150\,000 \cdot 1{,}638372$

$= 245\,755{,}86$

Svar: Det står omtrent $245\,756$ kr på kontoen etter 12 år.

b) Rentene er alt som har kome i tillegg til det verksemda sette inn:

$245\,755{,}86\text{ kr} - 150\,000\text{ kr} = 95\,755{,}86\text{ kr}$

Svar: Omtrent $95\,756$ kr er renter.

(Førast ikkje) Hadde vi berre fått rente av dei opphavlege $150\,000$ kr kvart år, ville rentene blitt $0{,}042 \cdot 150\,000 \cdot 12 = 75\,600$ kr. Rente på rente gav altså rundt $20\,000$ kr ekstra på tolv år.

Kva veit vi? $K_{15} = 500\,000$ kr, $p = 4$ og $n = 15$.
Kva må vi finne? Startkapitalen $K_0$.

Vi set inn i formelen:

$K_0 \cdot 1{,}04^{15} = 500\,000$

For å få $K_0$ åleine deler vi på $1{,}04^{15}$ på begge sider:

$\displaystyle \frac{K_0 \cdot 1{,}04^{15}}{1{,}04^{15}} = \frac{500\,000}{1{,}04^{15}}$

$\displaystyle K_0 = \frac{500\,000}{1{,}800944}$

$K_0 = 277\,632{,}25$

Svar: Familien må setje inn omtrent $277\,632$ kr i dag.

Vi kontrollerer: $277\,632{,}25 \cdot 1{,}04^{15} \approx 500\,000$. Det stemmer.

NB: Dette er nøyaktig same rekning som å finne prisen før ein prisauke i kapittel 1.1 — vi deler på vekstfaktoren i staden for å gonge. Det er også det som blir kalla noverdi, og som får eit heilt kapittel for seg i kapittel 2.2.

Kva veit vi? $K_0 = 80\,000$ kr, $K_6 = 108\,000$ kr og $n = 6$.
Kva må vi finne? Rentesatsen $p$, eller først vekstfaktoren $v$.

Vi set inn i formelen med $v$ som ukjend:

$80\,000 \cdot v^6 = 108\,000$

Vi deler på $80\,000$ på begge sider:

$\displaystyle v^6 = \frac{108\,000}{80\,000} = 1{,}35$

For å få $v$ åleine tek vi den 6. rota på begge sider:

$\displaystyle v = \sqrt[6]{1{,}35} = 1{,}35^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}051289$

No les vi vekstfaktoren: han ligg $0{,}051289$ over 1.

$p \approx 5{,}13$

Svar: Den gjennomsnittlege årlege avkastinga var omtrent $5{,}13\,\%$.

Vi kontrollerer: $80\,000 \cdot 1{,}051289^6 \approx 108\,000$. Det stemmer.

NB: Svaret er ein gjennomsnittleg årleg vekst. Fondet har nesten sikkert svinga opp og ned undervegs; $5{,}13\,\%$ er den faste renta som ville gitt same sluttbeløp.

Kva veit vi? $K_0 = 50\,000$ kr og $p = 5$. Vi vil ha $K_n \geq 100\,000$ kr.

Vi set opp ulikskapen:

$50\,000 \cdot 1{,}05^n \geq 100\,000$

$1{,}05^n \geq 2$

Her er den ukjende ein eksponent. Fram til vi har logaritmar (kapittel 3.4), prøver vi oss fram — i eit rekneark eller med kalkulator:

NB: Legg merke til at doblingstida ikkje er avhengig av kor mykje vi starta med. Ulikskapen vart til $1{,}05^n \geq 2$ då vi delte på $50\,000$ — startbeløpet forsvann. Med $5\,\%$ rente tek det omtrent 14–15 år å doble pengane, anten det er 50 kroner eller 50 millionar.