1.1 Prosentregning og vekstfaktor

a) Hva vet vi? Prisen er $1\,290$ kr, og avslaget er $30\,\%$ av denne prisen.
Hva må vi finne? Først avslaget i kroner, så den nye prisen.

Vi gjør om prosenten til desimaltall:

$\displaystyle 30\,\% = \frac{30}{100} = 0{,}30$

Så tar vi $30\,\%$ av $1\,290$ kr:

$\displaystyle \frac{p}{100} \cdot G = 0{,}30 \cdot 1290\text{ kr} = 387\text{ kr}$

Avslaget er $387$ kr. Den nye prisen finner vi ved å trekke avslaget fra:

$1290\text{ kr} - 387\text{ kr} = 903\text{ kr}$

Svar: Avslaget er $387$ kr, og jakka koster $903$ kr på salg.

(Føres ikke) Legg merke til at $1290 - 0{,}30 \cdot 1290 = 0{,}70 \cdot 1290 = 903$. Det er nettopp denne snarveien vi skal sette i system om litt, når vi innfører vekstfaktor.

b) Hva vet vi? Prisen uten mva er $3\,400$ kr, og mva er $25\,\%$ av den.

$25\,\% = 0{,}25$

$0{,}25 \cdot 3400\text{ kr} = 850\text{ kr}$

Merverdiavgiften er $850$ kr. Prisen med mva blir

$3400\text{ kr} + 850\text{ kr} = 4250\text{ kr}$

Svar: Kunden skal betale $4\,250$ kr.

NB: Merverdiavgiften legges oppå prisen uten mva. Det betyr at mva ikke er $25\,\%$ av sluttprisen — den er $25\,\%$ av prisen uten mva. Dette skillet kommer tilbake i Eksempel 6.

a) Hva vet vi? Gammel verdi $G = 78$ øre, ny verdi $N = 94$ øre.
Hva må vi finne? Den prosentvise endringen.

Vi skriver formelen tom, og setter så inn tallene:

$\displaystyle \text{prosentvis endring} = \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{94 - 78}{78} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{16}{78} \cdot 100\,\%$

$\approx 20{,}51\,\%$

Svar: Strømprisen steg med omtrent $20{,}5\,\%$.

b) Her er $G = 4{,}2$ og $N = 3{,}7$ (millioner kroner).

$\displaystyle \text{prosentvis endring} = \frac{3{,}7 - 4{,}2}{4{,}2} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{-0{,}5}{4{,}2} \cdot 100\,\%$

$\approx -11{,}90\,\%$

Svar: Omsetningen falt med omtrent $11{,}9\,\%$.

NB: Svaret ble negativt fordi den nye verdien er mindre enn den gamle. Vi lar minustegnet komme av seg selv i regningen, og oversetter det til ordet «falt» i svarsetningen.

Først skiller vi begrepene, slik at vi vet hva vi regner på: prosentpoeng er differansen mellom to prosenttall, mens prosentvis endring regnes ut fra den opprinnelige verdien.

a) Vi trekker det gamle prosenttallet fra det nye:

$5{,}00\,\% - 4{,}25\,\% = 0{,}75$ prosentpoeng

Svar: Renten har steget $0{,}75$ prosentpoeng.

b) Her er $G = 4{,}25$ og $N = 5{,}00$. Vi bruker formelen for prosentvis endring:

$\displaystyle \frac{N - G}{G} \cdot 100\,\% = \frac{5{,}00 - 4{,}25}{4{,}25} \cdot 100\,\%$

$\displaystyle = \frac{0{,}75}{4{,}25} \cdot 100\,\%$

$\approx 17{,}65\,\%$

Svar: Renten har steget med omtrent $17{,}6\,\%$.

c) Renteøkningen på $0{,}75$ prosentpoeng gjelder hele lånet:

$0{,}0075 \cdot 2\,500\,000\text{ kr} = 18\,750\text{ kr}$

Svar: Kunden må betale $18\,750$ kr mer i renter det første året.

NB: Legg merke til hvilket av tallene vi brukte i c). Det er prosentpoengene — ikke de $17{,}6$ prosentene — som sier hvor mye mer det koster. Derfor er dette skillet ikke bare språkpirk: det avgjør regnestykket.

a) Prisen skal øke, så vi bruker $\displaystyle 1 + \frac{p}{100}$ med $p = 3$:

$\displaystyle 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$

Svar: Vekstfaktoren er $1{,}03$.

b) Verdien skal minke, så vi bruker $\displaystyle 1 - \frac{p}{100}$ med $p = 12$:

$\displaystyle 1 - \frac{12}{100} = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$

Svar: Vekstfaktoren er $0{,}88$.

c) $1{,}045$ ligger $0{,}045$ over 1, altså en vekst på $4{,}5\,\%$.

$0{,}93$ ligger $0{,}07$ under 1, altså en nedgang på $7\,\%$.

d) Hva vet vi? $G = 3\,850\,000$ kr, vekst på $4{,}5\,\%$.

Vekstfaktoren er $\displaystyle 1 + \frac{4{,}5}{100} = 1{,}045$.

$N = G \cdot 1{,}045 = 3\,850\,000\text{ kr} \cdot 1{,}045 = 4\,023\,250\text{ kr}$

Svar: Leiligheten er verdt $4\,023\,250$ kr.

(Føres ikke) Med den gamle framgangsmåten ville vi regnet $0{,}045 \cdot 3\,850\,000 = 173\,250$ og lagt det til. Samme svar, men to regnestykker i stedet for ett — og den forskjellen vokser fort når vi skal gjøre det mange ganger etter hverandre.

a) Hva vet vi? Utgangspris $800$ kr, først $+20\,\%$, så $-20\,\%$.

Vekstfaktorene er $\displaystyle v_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}20$ og $\displaystyle v_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}80$.

Vi ganger dem på etter tur:

Etter økningen: $800\text{ kr} \cdot 1{,}20 = 960\text{ kr}$

Etter nedsettelsen: $960\text{ kr} \cdot 0{,}80 = 768\text{ kr}$

Svar: Jakka koster $768$ kr.

b) Den samlede vekstfaktoren er produktet av de to:

$v = v_1 \cdot v_2 = 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$

Vi kontrollerer: $800\text{ kr} \cdot 0{,}96 = 768\text{ kr}$. Det stemmer med a).

Vi leser vekstfaktoren: $0{,}96$ ligger $0{,}04$ under 1.

$1 - 0{,}96 = 0{,}04 = 4\,\%$

Svar: Den samlede vekstfaktoren er $0{,}96$, og prisen har samlet sett gått ned $4\,\%$.

NB: Vi legger ikke sammen prosentene. $+20\,\%$ og $-20\,\%$ gir ikke $0\,\%$. Det er vekstfaktorene som ganges sammen, aldri prosentene som legges sammen.

a) Hva vet vi? Prisen etter at mva er lagt til er $N = 14\,875$ kr, og mva er $25\,\%$.
Hva må vi finne? Prisen $G$ før mva ble lagt til.

Å legge til $25\,\%$ svarer til vekstfaktoren

$\displaystyle v = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25$

Vi bruker $\displaystyle G = \frac{N}{v}$:

$\displaystyle G = \frac{14\,875\text{ kr}}{1{,}25} = 11\,900\text{ kr}$

Vi kontrollerer: $11\,900\text{ kr} \cdot 1{,}25 = 14\,875\text{ kr}$. Det stemmer.

Svar: Prisen uten merverdiavgift er $11\,900$ kr.

(Føres ikke) Merverdiavgiften er da $14\,875 - 11\,900 = 2\,975$ kr. Legg merke til at dette ikke er $25\,\%$ av $14\,875$ kr — det ville vært $3\,718{,}75$ kr. Mva er $25\,\%$ av prisen uten mva.

b) Prisen har økt $9\,\%$, så vekstfaktoren er

$\displaystyle v = 1 + \frac{9}{100} = 1{,}09$

$\displaystyle G = \frac{N}{v} = \frac{348{,}80\text{ kr}}{1{,}09} = 320\text{ kr}$

Svar: Abonnementet kostet $320$ kr i måneden før økningen.

NB: Den vanligste feilen her er å trekke fra $9\,\%$ av $348{,}80$ kr. Det gir $317{,}41$ kr, og er feil — for de $9$ prosentene ble regnet av den gamle prisen, ikke av den nye.