1.2 Rente på rente

Hva vet vi? $K_0 = 25\,000$ kr og $p = 3{,}5$.
Hva må vi finne? Kapitalen etter hvert av de tre årene.

Å øke et beløp med $3{,}5\,\%$ er det samme som å gange med vekstfaktoren

$\displaystyle 1 + \frac{3{,}5}{100} = 1{,}035$

Etter 1 år:

$K_1 = 25\,000\text{ kr} \cdot 1{,}035 = 25\,875\text{ kr}$

Etter 2 år tar vi renten av det nye beløpet — altså av $25\,875$ kr, ikke av $25\,000$ kr:

$K_2 = 25\,875\text{ kr} \cdot 1{,}035 = 26\,780{,}63\text{ kr}$

Etter 3 år:

$K_3 = 26\,780{,}63\text{ kr} \cdot 1{,}035 = 27\,717{,}95\text{ kr}$

Renten for hvert av de tre årene i eksempelet, avrundet til hele kroner. Rentesatsen er den samme hele veien, men rentebeløpet vokser — fordi det regnes av et større beløp hvert år. Det er rente på rente.

Svar: Etter 1 år står det $25\,875$ kr, etter 2 år $26\,780{,}63$ kr og etter 3 år $27\,717{,}95$ kr.

NB: Det første året ga $875$ kr i rente. Det andre året ga $905{,}63$ kr. Det er samme rentesats, men renten blir større, fordi den regnes av et større beløp. Det er rente på rente.

a) Hva vet vi? $K_0 = 150\,000$ kr, $p = 4{,}2$ og $n = 12$.

Vi skriver formelen tom, og setter så inn tallene:

$\displaystyle K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

$\displaystyle K_{12} = 150\,000 \cdot \left(1 + \frac{4{,}2}{100}\right)^{12}$

$= 150\,000 \cdot 1{,}042^{12}$

$= 150\,000 \cdot 1{,}638372$

$= 245\,755{,}86$

Svar: Det står omtrent $245\,756$ kr på kontoen etter 12 år.

b) Rentene er alt som har kommet i tillegg til det bedriften satte inn:

$245\,755{,}86\text{ kr} - 150\,000\text{ kr} = 95\,755{,}86\text{ kr}$

Svar: Omtrent $95\,756$ kr er renter.

(Føres ikke) Hadde vi bare fått rente av de opprinnelige $150\,000$ kr hvert år, ville rentene blitt $0{,}042 \cdot 150\,000 \cdot 12 = 75\,600$ kr. Rente på rente ga altså rundt $20\,000$ kr ekstra på tolv år.

Hva vet vi? $K_{15} = 500\,000$ kr, $p = 4$ og $n = 15$.
Hva må vi finne? Startkapitalen $K_0$.

Vi setter inn i formelen:

$K_0 \cdot 1{,}04^{15} = 500\,000$

For å få $K_0$ alene deler vi på $1{,}04^{15}$ på begge sider:

$\displaystyle \frac{K_0 \cdot 1{,}04^{15}}{1{,}04^{15}} = \frac{500\,000}{1{,}04^{15}}$

$\displaystyle K_0 = \frac{500\,000}{1{,}800944}$

$K_0 = 277\,632{,}25$

Svar: Familien må sette inn omtrent $277\,632$ kr i dag.

Vi kontrollerer: $277\,632{,}25 \cdot 1{,}04^{15} = 500\,000$. Det stemmer.

NB: Dette er nøyaktig samme regning som å finne prisen før en prisøkning i kapittel 1.1 — vi deler på vekstfaktoren i stedet for å gange. Det er også det som kalles nåverdi, og som får et helt kapittel for seg i kapittel 2.2.

Hva vet vi? $K_0 = 80\,000$ kr, $K_6 = 108\,000$ kr og $n = 6$.
Hva må vi finne? Rentesatsen $p$, eller først vekstfaktoren $v$.

Vi setter inn i formelen med $v$ som ukjent:

$80\,000 \cdot v^6 = 108\,000$

Vi deler på $80\,000$ på begge sider:

$\displaystyle v^6 = \frac{108\,000}{80\,000} = 1{,}35$

For å få $v$ alene tar vi den 6. roten på begge sider:

$\displaystyle v = \sqrt[6]{1{,}35} = 1{,}35^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}051289$

Nå leser vi vekstfaktoren: den ligger $0{,}051289$ over 1.

$p \approx 5{,}13$

Svar: Den gjennomsnittlige årlige avkastningen var omtrent $5{,}13\,\%$.

Vi kontrollerer: $80\,000 \cdot 1{,}051289^6 = 108\,000$. Det stemmer.

NB: Svaret er en gjennomsnittlig årlig vekst. Fondet har nesten sikkert svingt opp og ned underveis; $5{,}13\,\%$ er den faste renten som ville gitt samme sluttbeløp.

Hva vet vi? $K_0 = 50\,000$ kr og $p = 5$. Vi vil ha $K_n \geq 100\,000$ kr.

Vi setter opp ulikheten:

$50\,000 \cdot 1{,}05^n \geq 100\,000$

$1{,}05^n \geq 2$

Her er den ukjente en eksponent. Inntil vi har logaritmer (kapittel 3.4), prøver vi oss fram — i et regneark eller med kalkulator:

NB: Legg merke til at doblingstiden ikke er avhengig av hvor mye vi startet med. Ulikheten ble til $1{,}05^n \geq 2$ da vi delte på $50\,000$ — startbeløpet forsvant. Med $5\,\%$ rente tar det omtrent 14–15 år å doble pengene, enten det er 50 kroner eller 50 millioner.