6.3 Lengdekontraksjon | Fysikk 2

Lengdekontraksjon, egenlengde og observert lengde ved relativistiske farter.

45 min

12 oppgaver

LengdekontraksjonEgenlengdeObservert lengdeLorentzkontraksjonRom-tid-diagrammer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Tidsdilatasjon

Lengdekontraksjon

I førre kapittel såg vi at tid er relativ – bevegelege klokker tikkar saktare. No skal vi sjå at relativitetsteorien har ein tilsvarande konsekvens for lengder: bevegelege objekt er kortare i rørsleretninga.

Denne effekten blir kalla lengdekontraksjon eller Lorentzkontraksjon og er uløyseleg knytt til tidsdilatasjon. Dei to effektane er to sider av same sak og sikrar at relativitetsteorien er konsistent.

Eigenlengd og observert lengd

Tenk deg ein stav som ligg i ro i eit referansesystem $S$ . Lengda til staven målt i dette systemet blir kalla eigenlengda (proper length), og vi nemner ho $L_0$ .

No beveger staven seg med fart $v$ langs si eiga lengderetning i eit anna referansesystem $S'$ . Ein observatør i $S'$ måler lengda til staven. Resultatet er overraskande: staven er kortare enn eigenlengda!

Eigenlengd

L_0

Utleiing av lengdekontraksjonsformelen

Vi kan utleie lengdekontraksjonen ved å bruke tidsdilatasjon og kravet om at fysikken er konsistent.

Tankeeksperiment

Eit romskip reiser mellom to romstasjonar $A$ og $B$ med fart $v$ . Avstanden mellom stasjonane er $L_0$ (eigenlengd, målt av stasjonane som er i ro i høve til kvarandre).

Frå referansesystemet til stasjonane:
Romskipet brukar tida:
$\Delta t = \frac{L_0}{v}$

Frå referansesystemet til romskipet:
Romskipet er i ro; det er stasjonane som beveger seg. Romskipet måler eigentid (begge hendingane – «passerer A» og «passerer B» – skjer på same stad, nemleg ved romskipet):
$\Delta\tau = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{L_0}{\gamma v}$

Men frå perspektivet til romskipet beveger stasjonane seg med fart $v$ , og tida er $\Delta\tau$ . Avstanden mellom stasjonane, sett frå romskipet, er difor:
$L = v \cdot \Delta\tau = v \cdot \frac{L_0}{\gamma v} = \frac{L_0}{\gamma}$

Lengdekontraksjon (Lorentzkontraksjon)

L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

Der $L_0$ er eigenlengda (lengda målt i kvilesystemet til objektet) og $L$ er den observerte lengda i eit referansesystem der objektet beveger seg med fart $v$. Sidan $\gamma \geq 1$, er $L \leq L_0$ – den observerte lengda er alltid kortare enn eller lik eigenlengda.

Viktige eigenskapar ved lengdekontraksjon

1. Berre i rørsleretninga

Lengdekontraksjonen skjer berre i rørsleretninga. Dimensjonar vinkelrett på rørsleretninga er upåverka.

Eit romskip som beveger seg horisontalt med $0{,}90c$ vil sjå kortare ut i horisontal retning, men ha normal høgd og breidd. Eit kuleforma objekt ville sjå flattrykt ut – som eit oblat sfæroid.

2. Reell, men ikkje «fysisk kompresjon»

Lengdekontraksjonen er ikkje forårsaka av noka kraft som pressar objektet saman. Det er ein konsekvens av geometrien til romtida – av korleis rom og tid heng saman. Objektet er ikkje «eigentleg» kortare; lengda kjem an på referansesystemet.

3. Symmetrisk effekt

Akkurat som med tidsdilatasjon er lengdekontraksjonen symmetrisk. Observatør A meiner at staven til B er kortare, medan observatør B meiner at staven til A er kortare. Begge har rett i sitt eige referansesystem.

4. Verdiar av kontraksjonen

$v/c$	$\gamma$	$L/L_0$
$0{,}10$	$1{,}005$	$0{,}995$ (0,5 % kortare)
$0{,}50$	$1{,}155$	$0{,}866$ (13 % kortare)
$0{,}80$	$1{,}667$	$0{,}600$ (40 % kortare)
$0{,}90$	$2{,}294$	$0{,}436$ (56 % kortare)
$0{,}99$	$7{,}089$	$0{,}141$ (86 % kortare)
$0{,}999$	$22{,}37$	$0{,}045$ (96 % kortare)

Lengdekontraksjon gjeld BERRE i rørsleretninga

Ein svært vanleg feil er å bruke lengdekontraksjon på alle dimensjonar. Berre lengda langs rørsleretninga blir kontrahert. Dimensjonar vinkelrett på rørsla er uendra.

Døme: Eit romskip med lengd 100 m, breidd 20 m og høgd 10 m beveger seg langs lengdeaksen sin med $0{,}80c$ :
- Lengd: $L = 100 / 1{,}667 = 60$ m (kontrahert)
- Breidd: 20 m (uendra)
- Høgd: 10 m (uendra)

Tenk deg at to identiske sylindrar passerer kvarandre i motsette retningar. Viss kontraksjon gjaldt vinkelrett på rørsla, ville kvar observatør meine at sylinderen til den andre er smalare, og at den eine skulle passe inni den andre. Men dei kan ikkje begge ha rett – det ville bryte med kausalitet. Difor skjer kontraksjon berre langs rørsleretninga.

Myoneksperimentet – frå perspektivet til myonet

I kapittel 6.2 forklarte vi at myon når jordoverflata fordi tidsdilatasjon forlengjer den observerte levetida deira. Men frå perspektivet til myonet sjølv er det ikkje klokka til myonet som tikkar saktare – klokka til myonet tikkar normalt. Korleis overlever myonet?

Perspektivet til myonet: lengdekontraksjon

Frå referansesystemet til myonet er det Jorda (og atmosfæren) som beveger seg oppover med fart $v = 0{,}998c$ . Tjukkleiken til atmosfæren er lengdekontrahert:

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

Med $L_0 = 15 \text{ km}$ (tjukkleiken til atmosfæren) og $\gamma \approx 15{,}8$ :

$L = \frac{15\,000}{15{,}8} \approx 950 \text{ m}$

Frå perspektivet til myonet er atmosfæren berre 950 m tjukk! Med fart $0{,}998c$ og levetid $2{,}2 \, \mu\text{s}$ kan myonet reise:

$d = 0{,}998 \times 3{,}00 \times 10^8 \times 2{,}2 \times 10^{-6} \approx 660 \text{ m}$

Mange myon (dei med lenger levetid enn gjennomsnittet) rekk å krysse 950 m. Resultatet er det same som vi fekk frå tidsdilatasjon – relativitetsteorien er konsistent.

Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon er ikkje uavhengige effektar – dei er to perspektiv på det same fenomenet.

Perspektiv	Effekt	Forklaring
Systemet til Jorda	Tidsdilatasjon	Klokka til myonet tikkar saktare, så det lever lenger
Systemet til myonet	Lengdekontraksjon	Atmosfæren er kortare, så myonet treng ikkje reise like langt

Begge gir same fysiske resultat: myonet når jordoverflata. Denne konsistensen er eit sterkt teikn på at teorien er korrekt.

Garasjeparadokset (stav-garasje-paradokset)

Eit morosamt tankeeksperiment som illustrerer lengdekontraksjon og relativitet av samtidigheit:

Scenariet

Ein stav med eigenlengd 20 m beveger seg med $v = 0{,}866c$ ( $\gamma = 2$ ) mot ein garasje med eigenlengd 10 m. Garasjen har ei dør i kvar ende.

Frå perspektivet til garasjen:
Staven er lengdekontrahert til $L = 20/2 = 10$ m – han passar akkurat i garasjen! Begge dørene kan lukkast samtidig med staven inni.

Frå perspektivet til staven:
Garasjen er lengdekontrahert til $L = 10/2 = 5$ m – garasjen er berre ein fjerdedel av lengda til staven! Staven passar openbert ikkje.

Oppløysinga

Paradokset blir løyst av relativitet av samtidigheit. «Begge dørene blir lukka samtidig» gjeld berre i referansesystemet til garasjen. I referansesystemet til staven blir dørene ikkje lukka samtidig:

- Den bakre døra blir lukka først (staven er allereie inne)
- Den fremre døra blir lukka seinare (etter at staven har kome ut)

Ingen del av staven opplever å vere fanga. Det er inga sjølvmotseiing, berre ulik oppfatning av «når».

Introduksjon til rom-tid-diagram

Eit rom-tid-diagram (Minkowski-diagram) er eit nyttig verktøy for å visualisere hendingar i spesiell relativitetsteori.

Oppbygging

- Horisontal akse: romkoordinat $x$
- Vertikal akse: tidskoordinat $ct$ (vi gangar tida med $c$ slik at begge aksar har eining lengd)
- Verdslinje: Bana til eit objekt gjennom rom-tid

Viktige element

- Eit objekt i ro har ei vertikal verdslinje (det beveger seg berre framover i tid)
- Eit objekt med konstant fart har ei rett, skrå verdslinje
- Lys har ei verdslinje med 45° vinkel (fordi $x = ct$ , altså $x/ct = 1$ )
- Lyskjegla deler rom-tid i «framtid», «fortid» og «annan stad» (hendingar som ikkje kan påverke kvarandre)

Lengdekontraksjon i diagrammet

I eit rom-tid-diagram kan lengdekontraksjon forståast geometrisk. Ein stav i rørsle har ei skrå «samtidigheitsflate» – dei to endane er på ulike tidspunkt i det stasjonære systemet. Det vi kallar «lengda» er avstanden mellom endepunkta ved same tidspunkt, og dette gir ulike verdiar i ulike referansesystem.

✏️Døme: Kontrahert romskip

Eit romskip har ei eigenlengd på $L_0 = 120 \text{ m}$ . Det passerer ein romstasjon med fart $v = 0{,}80c$ .

a) Rekn ut lengda til romskipet observert frå romstasjonen.
b) Kva er breidda og høgda til romskipet (begge 25 m i eige system) sett frå romstasjonen?
c) Kor lang tid tek det for romskipet å passere eit punkt på romstasjonen, målt frå romstasjonen?

a) Lorentzfaktoren:

\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{0{,}60} = 1{,}667

Observert lengd:
$L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{120}{1{,}667} = 72{,}0 \text{ m}$

b) Breidd og høgd er vinkelrett på rørsleretninga og er uendra:
- Breidd: $25 \text{ m}$
- Høgd: $25 \text{ m}$

Romskipet ser «flattrykt» ut – 72 m langt, men 25 m breitt og høgt.

c) Romstasjonen ser eit 72 m langt skip passere med $0{,}80c$ :

$\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{72{,}0}{0{,}80 \times 3{,}00 \times 10^8} = \frac{72{,}0}{2{,}40 \times 10^8} = 3{,}00 \times 10^{-7} \text{ s} = 300 \text{ ns}$

✏️Døme: Reise til Sirius

Stjerna Sirius er $d_0 = 8{,}6$ lysår frå Jorda. Eit romskip reiser dit med fart $v = 0{,}95c$ .

a) Kva er avstanden til Sirius i referansesystemet til romskipet?
b) Kor lang tid tek reisa i referansesystemet til Jorda?
c) Kor lang tid tek reisa i referansesystemet til romskipet? (Rekn på to måtar.)

\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}95^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0975}} = 3{,}203

a) Kontrahert avstand:
$d = \frac{d_0}{\gamma} = \frac{8{,}6}{3{,}203} = 2{,}68 \text{ lysår}$

Frå perspektivet til romskipet er Sirius berre 2,68 lysår unna.

b) Reisetid frå Jorda:
$\Delta t = \frac{d_0}{v} = \frac{8{,}6}{0{,}95} = 9{,}05 \text{ år}$

c) Metode 1 – Tidsdilatasjon:
$\Delta\tau = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{9{,}05}{3{,}203} = 2{,}83 \text{ år}$

Metode 2 – Kontrahert avstand:
$\Delta\tau = \frac{d}{v} = \frac{2{,}68}{0{,}95} = 2{,}82 \text{ år}$

Begge metodane gir (tilnærma) same svar – skilnaden kjem av avrunding. Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon gir konsistente resultat.

✏️Døme: Partikkel i akselerator

I CERN-akseleratoren LHC blir proton akselererte til $v = 0{,}999\,999\,991c$ ( $\gamma \approx 7461$ ). LHC-ringen har ein omkrins på $L_0 = 26{,}7 \text{ km}$ .

Kva er ringomkrinsen sett frå referansesystemet til protonet?

L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{26\,700}{7461} = 3{,}58 \text{ m}

Frå perspektivet til protonet er den 26,7 km lange ringen berre 3,6 meter i omkrins! Protonet «ser» heile akseleratoren kontrahert til ein liten ring.

Dette illustrerer det ekstreme ved relativistiske effektar: ved farter ekstremt nær $c$ kan kilometer bli til meter.

Oppsummering

- Eigenlengd ( $L_0$ ): Lengda målt i det eigne referansesystemet til objektet – den lengste moglege lengda
- Lengdekontraksjon: $L = L_0/\gamma = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$
- Kontraksjonen skjer berre i rørsleretninga – vinkelrette dimensjonar er uendra
- Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon er to sider av same sak og gir konsistente resultat
- Garasjeparadokset blir løyst ved relativitet av samtidigheit
- Rom-tid-diagram visualiserer hendingar og verdslinjer i relativistisk fysikk

Oppgaver

Lett3 oppgaver

Medium4 oppgaver

Vanskelig3 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.