6.4 Relativistisk energi og masse

Relativistisk energi og masse

Den kanskje mest berømte ligningen i all vitenskap er Einsteins $E = mc^2$. I dette kapittelet skal vi forstå hva denne ligningen egentlig betyr, og utforske de dype konsekvensene av at masse og energi er ekvivalente størrelser.

Vi skal se at den klassiske beskrivelsen av bevegelsesmengde og kinetisk energi må modifiseres ved høye hastigheter, og at dette leder til forbløffende innsikter om naturen.

Relativistisk bevegelsesmengde

I klassisk mekanikk er bevegelsesmengden (impulsen) til et objekt med masse $m$ og hastighet $v$:

$$p_{\text{klassisk}} = mv$$

Denne definisjonen sikrer at bevegelsesmengden er bevart i kollisjoner. Men ved høye hastigheter viser det seg at den klassiske formelen ikke gir bevart bevegelsesmengde. Vi trenger en modifikasjon.

Problemet med klassisk bevegelsesmengde

Tenk deg en perfekt elastisk kollisjon mellom to identiske partikler, analysert i to ulike referansesystemer. Hvis vi bruker den klassiske definisjonen $p = mv$ sammen med den relativistiske hastighetstransformasjonen, finner vi at bevegelsesmengden ikke er bevart i det andre referansesystemet. Dette bryter med det første postulatet – naturlovene skal være de samme i alle inertielle systemer.

Løsningen

Einstein viste at bevegelsesmengden er bevart i alle referansesystemer dersom vi definerer:

$$\vec{p} = \gamma m \vec{v} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Her er $m$ den invariante massen (også kalt hvilemassen) – massen målt i objektets eget referansesystem.

Egenskaper ved relativistisk bevegelsesmengde

1. Lav-hastighets-grense: For $v \ll c$ er $\gamma \approx 1$, og $p \approx mv$ (klassisk resultat)
2. Høy hastighet: Når $v \to c$, vokser $\gamma \to \infty$ og dermed $p \to \infty$
3. Uendelig bevegelsesmengde ved $c$: For å akselerere et massivt objekt til lyshastigheten trengs uendelig bevegelsesmengde – og dermed uendelig energi. Det er derfor ingen massiv partikkel kan nå lyshastigheten.

Historisk merknad: «Relativistisk masse»

I eldre lærebøker møter man begrepet «relativistisk masse» $m_{\text{rel}} = \gamma m$, slik at $p = m_{\text{rel}}v$. Denne tolkingen brukes sjelden i dag. Moderne fysikk foretrekker å bruke invariant masse $m$ (uavhengig av hastighet) og legge all hastighetsavhengighet i Lorentzfaktoren.

Relativistisk energi

Einstein utledet at den totale energien til en fri partikkel med masse $m$ og hastighet $v$ er:

$$E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Denne formelen har to bemerkelseverdige konsekvenser:

1. Hvileenergi

Når objektet er i ro ($v = 0$, $\gamma = 1$), har det fortsatt energi:

$$E_0 = mc^2$$

Dette er hvileenergien – den energien som er «lagret» i selve massen. En masse $m$ er ekvivalent med en energi $mc^2$. Dette er den berømte formelen som viser at masse er en form for energi.

Relativistisk kinetisk energi

Den kinetiske energien er forskjellen mellom total energi og hvileenergi:

$$E_k = E - E_0 = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$$

Kontroll: Klassisk grense

For $v \ll c$ kan vi bruke tilnærmingen:

$$\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$$

Da blir:

$$E_k = (\gamma - 1)mc^2 \approx \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \cdot mc^2 = \frac{1}{2}mv^2$$

Vi gjenfinner den klassiske kinetiske energien! Den relativistiske formelen inneholder den klassiske som et spesialtilfelle.

Energi-bevegelsesmengde-relasjonen

Det finnes en viktig relasjon mellom energi, bevegelsesmengde og masse som er uavhengig av hastighet:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Denne kan utledes fra definisjonene $E = \gamma mc^2$ og $p = \gamma mv$:

$$E^2 - (pc)^2 = (\gamma mc^2)^2 - (\gamma mvc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 (1 - v^2/c^2)$$

Siden $\gamma^2 (1 - v^2/c^2) = 1$:

$$E^2 - (pc)^2 = m^2c^4 = (mc^2)^2$$

Spesialtilfelle: Masseløse partikler

For partikler uten masse ($m = 0$), som fotoner, forenkles relasjonen til:

$$E = pc$$

Fotoner har energi og bevegelsesmengde, men ingen masse. Deres energi er utelukkende knyttet til bevegelsesmengden.

Hvorfor kan ingen massiv partikkel nå lyshastigheten?

La oss se på dette fra energiperspektivet. For å akselerere et objekt med masse $m$ til hastighet $v$ trengs kinetisk energi:

$$E_k = (\gamma - 1)mc^2$$

Når $v \to c$:
- $\gamma \to \infty$
- $E_k \to \infty$

Det kreves uendelig energi for å akselerere et massivt objekt til lyshastigheten. Siden uendelig energi ikke er tilgjengelig, kan ingen massiv partikkel nå $c$.

Hva med partikler i akseleratorer?

I partikkelakseleratorer som LHC akselereres protoner til $v = 0{,}999\,999\,991c$ ($\gamma \approx 7461$). Hvert proton har da en energi på ca. 7 TeV (teraelektronvolt). For å øke hastigheten ytterligere mot $c$ ville det kreves stadig mer energi, uten noen gang å nå $c$.

Masseløse partikler

Fotoner (lyspartikler) beveger seg alltid med hastighet $c$. De har ingen masse og kan ikke bevege seg med noen annen hastighet. De starter med $v = c$ fra det øyeblikket de oppstår.

Oppsummert:
- Massive partikler: Alltid $v < c$, kan akselereres mot men aldri til $c$
- Masseløse partikler: Alltid $v = c$, kan ikke bremses eller akselereres

Masse-energi-ekvivalens i kjernereaksjoner

Den mest dramatiske demonstrasjonen av $E = mc^2$ finner vi i kjernereaksjoner, der en målbar mengde masse omdannes til energi.

Massedefekt

Når atomkjerner dannes fra protoner og nøytroner, er kjernen lettere enn summen av enkeltpartiklene. Denne masseforskjellen kalles massedefekten $\Delta m$, og den tilsvarende energien er bindingsenergien:

$$E_{\text{binding}} = \Delta m \cdot c^2$$

Fisjon (kjernespalting)

I kjernefysisk fisjon spaltes en tung kjerne (som uran-235) i to lettere kjerner. De lettere kjernene har samlet sett litt mindre masse enn den opprinnelige kjernen. Masseforskjellen frigjøres som energi.

Eksempel: Fisjon av $^{235}$U:

$$^{235}_{92}\text{U} + n \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3n + \text{energi}$$

Massedefekten er ca. $\Delta m \approx 3{,}2 \times 10^{-28} \text{ kg}$, som gir:

$$E = \Delta m \cdot c^2 = 3{,}2 \times 10^{-28} \times (3{,}0 \times 10^8)^2 \approx 2{,}9 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 180 \text{ MeV}$$

Fusjon (kjernesammenslåing)

I kjernefusjon smelter lette kjerner (som hydrogen) sammen til tyngre kjerner (som helium). Igjen er produktet lettere enn reaktantene.

Eksempel: Fusjon av deuterium og tritium:

$$^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \to ^{4}_{2}\text{He} + n + 17{,}6 \text{ MeV}$$

Dette er prosessen som driver Solen. Hvert sekund omdanner Solen ca. 600 millioner tonn hydrogen til helium, og ca. 4,3 millioner tonn masse omdannes til energi – noe som tilsvarer en luminositet på $3{,}8 \times 10^{26}$ W.

Oppsummering

- Relativistisk bevegelsesmengde: $p = \gamma mv$ – vokser mot uendelig når $v \to c$
- Total energi: $E = \gamma mc^2$ – inkluderer hvileenergi og kinetisk energi
- Hvileenergi: $E_0 = mc^2$ – masse er en form for energi
- Kinetisk energi: $E_k = (\gamma - 1)mc^2$ – gir $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2$ for $v \ll c$
- Energi-bevegelsesmengde-relasjonen: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$
- Masseløse partikler: $E = pc$ (fotoner har energi og bevegelsesmengde, men ingen masse)
- Hastighetsbegrensning: Ingen massiv partikkel kan nå $c$ – det ville kreve uendelig energi
- Kjernereaksjoner: Massedefekten frigjøres som energi ($E = \Delta m \cdot c^2$)