6.4 Relativistisk energi og masse

Den mest berømte ligningen

$E = mc^2$ er kanskje den mest kjente ligningen i all vitenskap. Men hva betyr den egentlig? I dette kapittelet skal vi forstå den dype innsikten bak: at masse og energi er to former av samme ting. Vi skal se at den klassiske beskrivelsen av bevegelsesmengde og kinetisk energi må endres ved høye hastigheter, og at dette leder oss til forbløffende sannheter — hvorfor ingen massiv partikkel kan nå lyshastigheten, hvordan fotoner kan ha bevegelsesmengde uten masse, og hvordan sola og atombomber omdanner masse til energi.

Relativistisk bevegelsesmengde og energi

I klassisk mekanikk er bevegelsesmengden $p = mv$. Men ved høye hastigheter viser det seg at denne ikke bevares i alle referansesystemer — det ville brutt med Einsteins første postulat. Løsningen er den relativistiske bevegelsesmengden:

$$p = \gamma mv = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

der $m$ er den invariante (hvile-)massen. For lave hastigheter er $\gamma \approx 1$ og vi gjenfinner $p \approx mv$, men når $v \to c$ vokser $\gamma \to \infty$ og dermed $p \to \infty$. Det er nettopp derfor ingen massiv partikkel kan akselereres til lyshastigheten — det ville krevd uendelig bevegelsesmengde.

Einstein utledet videre at den totale energien til en fri partikkel er

$$E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

Dette har en oppsiktsvekkende konsekvens. Selv når objektet er i ro ($v = 0$, $\gamma = 1$), har det energi: $E_0 = mc^2$. Dette er hvileenergien — energien som ligger lagret i selve massen. Masse er rett og slett en form for energi. Og det er enormt mye: $1$ kg masse tilsvarer $E = (3{,}00\times 10^8)^2 = 9{,}0\times 10^{16}$ J, nok til å dekke en storbys energibehov i lang tid.

Kinetisk energi og energi-bevegelsesmengde-relasjonen

Den relativistiske kinetiske energien er forskjellen mellom total energi og hvileenergi:

$$E_k = E - E_0 = (\gamma - 1)mc^2$$

Gjenfinner vi den klassiske $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2$? Ja. For $v \ll c$ kan vi tilnærme $\displaystyle \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}v^2/c^2$, og da blir $\displaystyle E_k \approx \frac{1}{2}(v^2/c^2)\cdot mc^2 = \frac{1}{2}mv^2$. Den klassiske formelen er altså et spesialtilfelle av den relativistiske.

Det finnes en dypere, hastighetsuavhengig sammenheng mellom energi, bevegelsesmengde og masse:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

Denne kan utledes fra $E = \gamma mc^2$ og $p = \gamma mv$, og den knytter de tre størrelsene sammen i det som ofte kalles energitrekanten: total energi $E$ er hypotenusen, $pc$ og hvileenergien $mc^2$ er katetene, og Pytagoras gir relasjonen.

Det vakreste følger for masseløse partikler. For fotoner er $m = 0$, og da forenkles relasjonen til $E = pc$. Fotoner har altså både energi og bevegelsesmengde, men ingen masse — all energien er knyttet til bevegelsesmengden. Det er derfor fotoner alltid beveger seg med nøyaktig $c$ og aldri kan ha noen annen fart.

Masse omdannet til energi

Den mest dramatiske demonstrasjonen av $E = mc^2$ finner vi i kjernereaksjoner, der målbare mengder masse blir til energi. Når en atomkjerne dannes av protoner og nøytroner, er den litt lettere enn summen av delene. Denne forskjellen kalles massedefekten $\Delta m$, og den tilsvarende bindingsenergien er $E_{\text{binding}} = \Delta m\,c^2$.

I fisjon spaltes en tung kjerne som uran-235 i to lettere, og de samlede produktene har litt mindre masse enn utgangskjernen. Masseforskjellen frigjøres som energi — prinsippet bak både kjernekraftverk og atombomber. I et eksempel der $^{235}$U spaltes, er massedefekten rundt $\Delta m \approx 3{,}2\times 10^{-28}$ kg, som gir $E = \Delta m\,c^2 \approx 2{,}9\times 10^{-11}$ J per spalting.

Enda renere er annihilasjon: når et elektron og dets antipartikkel, et positron, møtes, omdannes all massen til energi i form av fotoner. To elektronmasser gir $E = 2m_ec^2 = 2\cdot 9{,}109\times 10^{-31}\cdot(3{,}00\times 10^8)^2 \approx 1{,}64\times 10^{-13}$ J. Og sola selv lyser takket være $E = mc^2$: med en effekt på $L = 3{,}85\times 10^{26}$ W taper den $\Delta m = L/c^2 \approx 4{,}3\times 10^9$ kg masse — over fire millioner tonn — hvert eneste sekund. I partikkelfysikk er det derfor naturlig å oppgi masse i energienheter, som elektronets $0{,}511$ MeV$/c^2$ eller protonets $938{,}3$ MeV$/c^2$.

Oppsummering

Ved høye hastigheter blir bevegelsesmengden relativistisk: $p = \gamma mv$, som går mot uendelig når $v \to c$ — derfor kan ingen massiv partikkel nå $c$. Den totale energien er $E = \gamma mc^2$, og selv i ro har et objekt hvileenergi $E_0 = mc^2$ — masse er en form for energi. Kinetisk energi er $E_k = (\gamma - 1)mc^2$, som gir $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2$ ved lave farter. Den invariante relasjonen $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ knytter alt sammen, og for masseløse fotoner blir den $E = pc$. I kjernereaksjoner frigjøres massedefekten som energi ($E = \Delta m\,c^2$), og det er slik sola lyser og kjernekraft virker.