6.3 Lengdekontraksjon | Fysikk 2

Når lengder krymper

Vi har sett at tid er relativ — bevegelige klokker tikker saktere. Nå møter vi den uunngåelige følgesvennen: bevegelige objekter er kortere i bevegelsesretningen. Effekten kalles lengdekontraksjon eller Lorentzkontraksjon, og den er uløselig knyttet til tidsdilatasjon. De to er to sider av samme sak, og sammen sørger de for at relativitetsteorien henger logisk sammen. I dette kapittelet skal vi forstå hva egenlengde er, utlede kontraksjonsformelen, og se hvordan myonenes reise ser ut fra deres eget perspektiv — pluss det berikende garasjeparadokset som binder lengdekontraksjon og samtidighet sammen.

Egenlengde og lengdekontraksjon

La en stav ligge i ro i et system. Lengden målt der kalles egenlengden $L_0$ — den lengste lengden objektet kan ha. Lar vi staven bevege seg med fart $v$ langs sin egen lengde, måler en utenforstående observatør den som kortere. Vi kan utlede dette fra tidsdilatasjon og kravet om konsistens. Et romskip reiser mellom to stasjoner med egenlengde $L_0$ mellom seg. Fra stasjonene tar reisen $\Delta t = L_0/v$ . Fra romskipet, som er i ro, måler man egentid (begge passeringer skjer ved romskipet): $\Delta\tau = \Delta t/\gamma = L_0/(\gamma v)$ . Men da blir avstanden romskipet ser $L = v\,\Delta\tau = L_0/\gamma$ . Altså:

$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Tre ting er viktige å forstå. For det første skjer kontraksjonen bare i bevegelsesretningen — dimensjoner på tvers er upåvirket. Et romskip som farer horisontalt ser kortere ut horisontalt, men har normal høyde og bredde; en kule ville sett flattrykt ut. For det andre er det ingen kraft som presser objektet sammen — det er romtidens geometri, ikke fysisk kompresjon. For det tredje er effekten symmetrisk: A mener Bs stav er kortere, og B mener As stav er kortere, og begge har rett i sitt eget system.

📝Oppgave Quiz 1

Myonet sett innenfra

I forrige kapittel forklarte vi at myonene når bakken fordi tidsdilatasjon forlenger deres observerte levetid. Men fra myonets eget perspektiv tikker dets klokke helt normalt — så hvordan overlever det? Svaret er lengdekontraksjon.

Fra myonets system er det jorda og atmosfæren som farer oppover med $v = 0{,}998c$ . Da er atmosfærens tykkelse lengdekontrahert. Med egenlengde $L_0 = 15$ km og $\gamma \approx 15{,}8$ blir den $L = 15\,000/15{,}8 \approx 950$ m. For myonet er altså atmosfæren bare $950$ m tykk! Og i sin egen levetid på $2{,}2\,\mu$ s rekker det å reise $d = 0{,}998\cdot 3{,}00\times 10^8\cdot 2{,}2\times 10^{-6} \approx 660$ m — nok til at en stor andel av myonene kommer gjennom.

Dette er det vakre med relativitetsteorien: de to perspektivene gir samme svar. Fra jorda forlenges myonets levetid (tidsdilatasjon); fra myonet krymper atmosfæren (lengdekontraksjon). Det er to beskrivelser av nøyaktig samme fysiske hendelse. Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon er ikke uavhengige effekter, men to vinkler på den samme dype sannheten om at rom og tid henger sammen.

📝Oppgave Quiz 2

Garasjeparadokset og rom-tid-diagrammer

Et herlig tankeeksperiment binder lengdekontraksjon og samtidighet sammen: garasjeparadokset. En stav med egenlengde $20$ m farer med $v = 0{,}866c$ ( $\gamma = 2$ ) mot en garasje med egenlengde $10$ m og en dør i hver ende. Fra garasjens perspektiv er staven kontrahert til $20/2 = 10$ m — den passer akkurat, og begge dørene kan lukkes samtidig med staven inni! Men fra stavens perspektiv er det garasjen som er kontrahert, til $10/2 = 5$ m — garasjen er bare en fjerdedel av staven, så den passer åpenbart ikke. Hvem har rett?

Løsningen er relativitet av samtidighet. Utsagnet «begge dørene lukkes samtidig» gjelder bare i garasjens system. I stavens system lukkes dørene ikke samtidig: den bakre døren lukkes først (mens staven er inne) og åpnes igjen før den fremre lukkes, slik at staven aldri er innesperret. Begge har rett i sitt eget system — det er ingen reell motsetning.

For å visualisere slikt bruker fysikere rom-tid-diagrammer (Minkowski-diagram), med romkoordinat $x$ horisontalt og $ct$ vertikalt (tiden ganget med $c$ så aksene har samme enhet). Banen til et objekt gjennom rom-tid kalles en verdenslinje: et objekt i ro har en loddrett verdenslinje, et med konstant fart en skrå linje, og lys en linje på nøyaktig $45°$ (siden $x = ct$ ). La oss regne et eksempel: LHC-ringen ved CERN har egenomkrets $L_0 = 26{,}7$ km, og protoner farer der med $\gamma \approx 7461$ . Sett fra protonets system er ringen kontrahert til $L = 26\,700/7461 \approx 3{,}6$ m!

📝Oppgave Quiz 3

Oppsummering

Lengdekontraksjon er tidsdilatasjonens speilbilde: $L = L_0/\gamma = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$ , der egenlengden $L_0$ (hvilesystemet) er den lengste. Kontraksjonen skjer bare i bevegelsesretningen, er ikke fysisk kompresjon, og er symmetrisk. Myonet når bakken fordi atmosfæren er lengdekontrahert i dets system — samme utfall som tidsdilatasjon sett fra jorda. Garasjeparadokset løses av relativitet av samtidighet, og rom-tid-diagrammer visualiserer verdenslinjer, der lys alltid har $45°$ . Tid og rom er to sider av samme romtid.