3.4 Kapasitans og kondensatorer | Fysikk 2

Kondensatorer, kapasitans, lagret energi og kobling av kondensatorer.

45 min

12 oppgaver

KondensatorerKapasitansParallellplatekondesatorDielektrikumLagret energiSerie- og parallellkobling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Elektrisk potensial og spenning

Kva er ein kondensator?

Ein kondensator er ein komponent som kan lagre elektrisk ladning og energi. Han er sett saman av to leiande plater (eller overflater) som er skilde av eit isolerande materiale.

Kvardagsdøme:
- Blitsen til kameraet – kondensatoren lagrar energi som blir frigjord raskt
- Defibrillator – medisinsk utstyr som gjev elektrisk støyt til hjartet
- Glattekondensatorar i straumforsyningar
- Minnelagring (DRAM) i datamaskiner
- Berøringsskjermar (kapasitive)

Kvifor er kondensatorar viktige?
- Lagrar energi for seinare bruk
- Jamnar ut spenningsvariasjonar
- Filtrerer frekvensar i elektronikk
- Grunnlag for mange sensorar

Prinsipp:
Når vi koplar ein kondensator til eit batteri, strøymer elektron til den eine platen og bort frå den andre. Platene får motsette ladningar +Q og -Q, og det blir bygd opp ei spenning mellom dei.

Kapasitans

C

Kapasitans

C = \frac{Q}{U}

Omforma:

Q = CU \quad \text{og} \quad U = \frac{Q}{C}

**Tolking:** Jo større kapasitans, desto meir ladning kan lagrast ved same spenning.

Platekondensatoren

Den enklaste kondensatoren er platekondensatoren – to parallelle, plane metallplater med areal $A$ og avstand $d$ mellom seg.

Kapasitans for platekondensator:

$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}$

der:
- $C$ er kapasitansen [F]
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m er permittiviteten i vakuum
- $A$ er arealet til kvar plate [m²]
- $d$ er avstanden mellom platene [m]

Kva påverkar kapasitansen?
- Større areal $A$ → større kapasitans (meir plass til ladning)
- Mindre avstand $d$ → større kapasitans (sterkare elektrisk felt)

Døme:
To plater med areal 1.0 cm² = $1.0 \times 10^{-4}$ m² og avstand 0.1 mm = $1.0 \times 10^{-4}$ m:

$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot \frac{1.0 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-4}} = 8.85 \text{ pF}$

Kapasitans for platekondensator

C = \varepsilon0 \frac{A}{d} $der $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m er permittiviteten i vakuum. **Med dielektrikum:**$ C = \varepsilon0 \varepsilon_r \frac{A}{d}

der $\varepsilon_r$ er den relative permittiviteten til materialet mellom platene.

Elektrisk felt i ein platekondensator

Mellom platene i ein platekondensator er det elektriske feltet homogent – det har same styrke og retning overalt (bortsett frå ved kantane).

Feltstyrke:

$E = \frac{U}{d}$

der:
- $E$ er feltstyrken [V/m = N/C]
- $U$ er spenninga over kondensatoren [V]
- $d$ er avstanden mellom platene [m]

Feltretning:
- Feltet peikar frå positiv plate (+Q) til negativ plate (-Q)
- Feltlinjene er parallelle og jamt fordelte

Samanheng med ladning:
Frå $C = \varepsilon_0 A/d$ og $C = Q/U$ får vi:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{Cd} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}$

Eller:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

der $\sigma = Q/A$ er overflateladningstettleiken på platene.

Praktisk tyding:
- Sterkare felt → meir kraft på ladningar
- For sterkt felt → "gjennomslag" (gnistar)
- Luft: gjennomslag ved ca. $3 \times 10^6$ V/m

Elektrisk felt i platekondensator

E = \frac{U}{d}

Alternativt uttrykt ved ladning:

E = \frac{\sigma}{\varepsilon0} = \frac{Q}{\varepsilon0 A}

der $\sigma = Q/A$ er overflateladningstettleiken [C/m²].

Dielektrikum

Eit dielektrikum er eit isolerande materiale som blir plassert mellom platene i ein kondensator. Dette kan vere luft, papir, plast, glas, keramikk, eller andre isolatorar.

Kva skjer med dielektrikum?

Når vi set inn eit dielektrikum:
1. Molekyla i materialet blir polariserte – dei får ein liten elektrisk dipol
2. Dipolane ordnar seg slik at dei delvis motverkar det ytre feltet
3. Feltet inne i materialet blir svakare
4. Kapasitansen aukar!

Relativ permittivitet (dielektrisk konstant):

$\varepsilon_r = \frac{C_{med}}{C_{uten}}$

Kapasitans med dielektrikum:
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$

Typiske verdiar for $\varepsilon_r$ :

Materiale	$\varepsilon_r$
Vakuum	1.0000
Luft	1.0006
Papir	2-4
Glas	4-10
Keramikk	10-10000
Vatn	80

Fordelar med dielektrikum:
- Aukar kapasitansen utan å auke storleiken
- Isolerer platene frå kvarandre
- Aukar gjennomslaget (toler høgare spenning)

Relativ permittivitet

\varepsilon_r

Energi lagra i ein kondensator

Når vi lader opp ein kondensator, blir det lagra energi i det elektriske feltet mellom platene.

Utleiing:
Arbeidet som trengst for å flytte ei lita ladning $dq$ frå den eine platen til den andre når spenninga er $U$ :

$dW = U \, dq = \frac{q}{C} \, dq$

Totalt arbeid (frå $q=0$ til $q=Q$ ):
$W = \int_0^Q \frac{q}{C} \, dq = \frac{1}{C} \cdot \frac{Q^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}$

Tre ekvivalente uttrykk for energi:

$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}$

Vel formelen ut frå kva storleikar du kjenner!

Døme:
Ein kondensator på 100 μF blir lada til 12 V:
$E = \frac{1}{2} \cdot 100 \times 10^{-6} \cdot 12^2 = 7.2 \times 10^{-3} \text{ J} = 7.2 \text{ mJ}$

Energitettleik:
Energien per volum i feltet:
$u = \frac{E}{Ad} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

der $E$ er feltstyrken.

Energi lagra i kondensator

E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}

der: - $E$ er energien [J] - $C$ er kapasitansen [F] - $U$ er spenninga [V] - $Q$ er ladninga [C] **Energitettleik:**

u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2

der $E$ er feltstyrken i kondensatoren.

Kondensatorar i serie og parallell

Akkurat som motstandar, kan kondensatorar koplast i serie eller parallell.

Parallellkopling

Ved parallellkopling er spenninga lik over alle kondensatorane.

Ekvivalent kapasitans:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots$

Parallellkopla kapasitans blir addert – motsett av motstandar!

Kvifor? Same spenning gjev ladningar $Q_1 = C_1 U$ , $Q_2 = C_2 U$ , osv.
Total ladning: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + \cdots = (C_1 + C_2 + \cdots)U$

Seriekopling

Ved seriekopling er ladninga lik på alle kondensatorane.

Ekvivalent kapasitans:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \cdots$

For to kondensatorar:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

Seriekopla kapasitans er mindre enn den minste enkeltkapasitansen.

Kvifor? Same ladning $Q$ gjev spenningar $U_1 = Q/C_1$ , $U_2 = Q/C_2$ , osv.
Total spenning: $U_{total} = U_1 + U_2 + \cdots$

Samanlikning

Serie	Parallell
Ladning	Lik	Fordelt
Spenning	Fordelt	Lik
Kapasitans	Minkar	Aukar

Kondensatorar i serie og parallell

**Parallellkopling:**

C{eq} = C1 + C2 + C3 + \cdots

**Seriekopling:**

\frac{1}{C{eq}} = \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} + \frac{1}{C3} + \cdots

For to kondensatorar i serie:

C{eq} = \frac{C1 \cdot C2}{C1 + C_2}

✏️Rekne ut kapasitans og ladning

Oppgåve:
Ein kondensator har kapasitans 47 μF og er kopla til ei 9 V kjelde. Rekn ut ladninga som blir lagra.

Løysing:
Gjeve: $C = 47$ μF $= 47 \times 10^{-6}$ F, $U = 9$ V

Frå $C = Q/U$ får vi:
$Q = CU = 47 \times 10^{-6} \cdot 9 = 4.23 \times 10^{-4} \text{ C} = 423 \text{ μC}$

Svar: Ladninga er 423 μC eller 0.42 mC.

✏️Platekondensator med dielektrikum

Oppgåve:
Ein platekondensator har plater med areal 20 cm² og avstand 0.5 mm. Mellom platene er det glas med

\varepsilon_r = 5

. Rekn ut kapasitansen.

Løysing:
Gjeve:
- $A = 20$ cm² $= 20 \times 10^{-4}$ m² $= 2.0 \times 10^{-3}$ m²
- $d = 0.5$ mm $= 0.5 \times 10^{-3}$ m $= 5 \times 10^{-4}$ m
- $\varepsilon_r = 5$
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m

Kapasitans med dielektrikum:
$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot 5 \cdot \frac{2.0 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4}}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \cdot 5 \cdot 4 = 1.77 \times 10^{-10} \text{ F}$

Svar: Kapasitansen er 177 pF (eller 0.177 nF).

✏️Energi i kondensator

Oppgåve:
Ein defibrillator brukar ein kondensator på 32 μF lada til 5000 V. Kor mykje energi blir frigjord ved utlading?

Løysing:
Gjeve: $C = 32$ μF $= 32 \times 10^{-6}$ F, $U = 5000$ V

Energi lagra:
$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \times 10^{-6} \cdot 5000^2$
$E = \frac{1}{2} \cdot 32 \times 10^{-6} \cdot 25 \times 10^6 = 400 \text{ J}$

Svar: 400 J energi blir frigjord.

Perspektiv: Dette er nok energi til å løfte ein 4 kg gjenstand 10 meter opp ( $E_p = mgh = 4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ J).

📝Oppgave 3.37

Kva skjer med kapasitansen til ein platekondensator dersom avstanden mellom platene blir halvert?

📝Oppgave 3.38

Ein kondensator på 100 μF er lada til 10 V. Kor mykje energi er lagra?

📝Oppgave 3.39

Kva er det elektriske feltet i ein platekondensator med spenning 12 V og plateavstand 2.0 mm?

📝Oppgave 3.40

Ein platekondensator har sirkulære plater med diameter 8.0 cm og avstand 1.0 mm mellom platene. Det er luft mellom platene ( $\varepsilon_r \approx 1$ ).

a) Rekn ut kapasitansen.
b) Kondensatoren blir kopla til eit 9.0 V batteri. Kor stor ladning blir lagra på kvar plate?
c) Kva er feltstyrken mellom platene?

📝Oppgave 3.41

Ein kondensator på 220 μF er lada opp til 25 V.

a) Rekn ut ladninga som er lagra.
b) Rekn ut energien som er lagra.
c) Kondensatoren blir lada ut gjennom ein motstand og frigjev all energien som varme på 0.50 s. Kva er gjennomsnittleg effekt?

📝Oppgave 3.42

Ein platekondensator med luft mellom platene har kapasitans 50 pF. Mellomrommet blir fylt med eit dielektrikum (isolerande materiale), og kapasitansen blir målt til 175 pF.

a) Bestem den relative permittiviteten $\varepsilon_r$ til dielektrikumet.
b) Kva slags materiale kan dette vere? (Sjå tabellen i teoridelen)

📝Oppgave 3.43

I ein platekondensator er det eit homogent elektrisk felt på 50 kV/m. Avstanden mellom platene er 2.0 mm.

a) Rekn ut spenninga over kondensatoren.
b) Dersom platene har areal 100 cm², kva er kapasitansen? (Luft mellom platene)
c) Rekn ut ladninga på kvar plate.

📝Oppgave 3.44

To kondensatorar med kapasitans $C_1 = 10$ μF og $C_2 = 20$ μF blir kopla saman.

a) Rekn ut den ekvivalente kapasitansen når dei blir kopla i parallell.
b) Rekn ut den ekvivalente kapasitansen når dei blir kopla i serie.
c) Parallellkoplinga i (a) blir kopla til eit 12 V batteri. Kor mykje energi blir lagra totalt?

📝Oppgave 3.45

Tre kondensatorar med kapasitans 2.0 μF, 3.0 μF og 6.0 μF er kopla i serie og tilkopla ei 24 V kjelde.

a) Rekn ut den ekvivalente kapasitansen.
b) Rekn ut ladninga på kvar kondensator.
c) Rekn ut spenninga over kvar kondensator.
d) Verifiser at summen av spenningane er 24 V.

📝Oppgave 3.46

Ein platekondensator har plater med areal 50 cm² og avstand 0.50 mm. Mellom platene er det luft. Kondensatoren blir lada til 500 V.

a) Rekn ut kapasitansen.
b) Rekn ut feltstyrken mellom platene.
c) Rekn ut energitettleiken (energi per volum) i feltet.
d) Rekn ut total energi lagra ved å bruke energitettleiken og volumet.
e) Verifiser svaret i (d) med formelen $\displaystyle E = \frac{1}{2}CU^2$ .

📝Oppgave 3.47

I kretsen under er $C_1 = 4.0$ μF, $C_2 = 6.0$ μF, og $C_3 = 12$ μF. $C_1$ og $C_2$ er kopla i parallell, og denne kombinasjonen er kopla i serie med $C_3$ . Spenninga over kretsen er 18 V.

a) Rekn ut den totale ekvivalente kapasitansen.
b) Rekn ut ladninga på $C_3$ .
c) Rekn ut spenninga over $C_3$ .
d) Rekn ut spenninga over $C_1$ og $C_2$ .
e) Rekn ut ladninga på $C_1$ og $C_2$ kvar for seg.

📝Oppgave 3.48

Ein platekondensator med luft mellom platene har kapasitans 100 pF og er lada til 200 V. Kondensatoren er ikkje kopla til batteriet.

a) Rekn ut ladninga og energien som er lagra.

No blir det sett inn eit dielektrikum med $\varepsilon_r = 4$ mellom platene.

b) Kva skjer med ladninga?
c) Rekn ut den nye kapasitansen.
d) Rekn ut den nye spenninga over kondensatoren.
e) Rekn ut den nye energien. Kvar vart det av energien som manglar?

Oppsummering

Kondensator:
- Lagrar elektrisk ladning og energi
- To leiande plater skilde av isolator

Kapasitans:
$C = \frac{Q}{U}$
- Eining: Farad (F) – typisk μF, nF, pF
- Mål på kor mykje ladning kondensatoren kan lagre per volt

Platekondensator:
$C = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \quad \text{eller} \quad C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$
- $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m

Elektrisk felt i kondensator:
$E = \frac{U}{d}$
- Homogent felt mellom platene

Dielektrikum:
- Isolerande materiale mellom platene
- Aukar kapasitansen med faktor $\varepsilon_r$
- $\varepsilon_r$ = relativ permittivitet

Energi i kondensator:
$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}QU = \frac{Q^2}{2C}$

Energitettleik:
$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

Serie og parallell:

Serie	Parallell
Kapasitans	$\displaystyle \frac{1}{C} = \sum\frac{1}{C_i}$	$C = \sum C_i$
Ladning	Lik	Fordelt
Spenning	Fordelt	Lik

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektrisk straum og motstand.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.