2.4 Todimensjonal bevegelse

Todimensjonal rørsle

Når eit objekt rører seg i to dimensjonar (x-y plan), må vi handsame rørsla i kvar retning separat.

Prinsipp om uavhengige komponentar

Nøkkelprinsipp: Rørsla i x-retning og y-retning er uavhengige av kvarandre.

Dette betyr:
- Vi kan analysere x-rørsle og y-rørsle separat
- Rørslelikningane gjeld for kvar retning
- Vi kombinerer komponentane for å finne total rørsle

Døme:
- Horisontal rørsle: Konstant fart (ingen akselerasjon)
- Vertikal rørsle: Fritt fall (akselerasjon $-g$)

Vektoroppløysing

For å analysere todimensjonal rørsle må vi løyse opp vektorar i komponentar.

Frå vektor til komponentar

Gitt ein vektor med beløp $v$ og vinkel $\theta$ med x-aksen:

X-komponent:
$$v_x = v \cos \theta$$

Y-komponent:
$$v_y = v \sin \theta$$

Viktige vinklar:
- $\cos 0° = 1$, $\sin 0° = 0$ (horisontal)
- $\cos 30° \approx 0.866$, $\sin 30° = 0.5$
- $\cos 45° \approx 0.707$, $\sin 45° \approx 0.707$
- $\cos 60° = 0.5$, $\sin 60° \approx 0.866$
- $\cos 90° = 0$, $\sin 90° = 1$ (vertikal)

Frå komponentar til vektor

Gitt komponentar $(v_x, v_y)$:

Beløp:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Vinkel:
$$\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$

Skrå kast

Skrå kast er eit klassisk døme på todimensjonal rørsle. Eit objekt blir kasta med startfart $v_0$ i vinkel $\theta$ over horisonten.

Komponentar av startfart

Horisontal komponent:
$$v_{0x} = v_0 \cos \theta$$

Vertikal komponent:
$$v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

Rørsle i x-retning (horisontal)

Ingen horisontal akselerasjon (neglisjerer luftmotstand):
$$a_x = 0$$

Horisontal fart (konstant):
$$v_x = v_{0x} = v_0 \cos \theta$$

Horisontal posisjon:
$$x = v_{0x} t = v_0 \cos \theta \cdot t$$

Rørsle i y-retning (vertikal)

Akselerasjon (tyngdekraft):
$$a_y = -g = -9.81 \text{ m/s}^2$$

Vertikal fart:
$$v_y = v_{0y} - gt = v_0 \sin \theta - gt$$

Vertikal posisjon:
$$y = v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

Baneform

Banen til eit skrå kast er ein parabel.

Banelikning (eliminere tid):
$$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}$$

Dette er ei andregradslikning i $x$, som gir ein parabel.

Rekkevidde og maksimal høgd

Rekkevidde (R)

Rekkevidde er horisontal distanse når objektet landar på same høgd som det blei kasta frå.

Tid i lufta:

Objektet landar når $y = 0$:
$$0 = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$
$$t(v_0 \sin \theta - \frac{1}{2}gt) = 0$$

$t = 0$ (start) eller $\displaystyle t = \frac{2v_0 \sin \theta}{g}$ (landing)

Rekkevidde:
$$R = x(t) = v_0 \cos \theta \cdot \frac{2v_0 \sin \theta}{g}$$

Bruk $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$:

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Maksimal rekkevidde:

Sidan $\sin(2\theta)$ er maksimal når $2\theta = 90°$, er rekkevidda maksimal ved:
$$\theta = 45°$$

$$R_{\text{maks}} = \frac{v_0^2}{g}$$

Maksimal høgd (H)

Maksimal høgd blir nådd når $v_y = 0$:

$$v_y = v_0 \sin \theta - gt = 0$$
$$t = \frac{v_0 \sin \theta}{g}$$

Høgd:
$$H = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

Set inn $t$:
$$H = v_0 \sin \theta \cdot \frac{v_0 \sin \theta}{g} - \frac{1}{2}g \left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right)^2$$

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$

Oppsummering

- Todimensjonal rørsle kan analyserast ved å handsame x- og y-rørsla uavhengig av kvarandre
- Vektoroppløysing: $v_x = v\cos\theta$ og $v_y = v\sin\theta$, der $\theta$ er vinkelen med x-aksen
- Frå komponentar til vektor: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ og $\theta = \arctan(v_y/v_x)$
- For skrå kast: horisontal rørsle har konstant fart ($a_x = 0$), vertikal rørsle har akselerasjon $a_y = -g$
- Banen til eit skrå kast er ein parabel
- Rekkevidde: $\displaystyle R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$, maksimal ved $\theta = 45°$ med $\displaystyle R_{\text{maks}} = \frac{v_0^2}{g}$
- Maksimal høgd: $\displaystyle H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$
- Tid i lufta: $\displaystyle T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$
- For horisontalt kast frå høgd: tida blir bestemt av vertikal rørsle, rekkevidde = $v_{0x} \cdot t$
- Rørslelikningane gjeld separat for kvar retning