2.4 Todimensjonal bevegelse

En ball som gjør to ting på en gang

Kast en ball på skrå opp i lufta og følg den med blikket. Den beskriver en myk bue, en parabel, før den faller ned igjen. Det ser komplisert ut -- men hemmeligheten i todimensjonal bevegelse er forbløffende enkel: ballen gjør egentlig to uavhengige bevegelser samtidig.

Dette er prinsippet om uavhengige komponenter, og det er nøkkelen til hele kapittelet. Bevegelsen langs x-aksen (vannrett) og bevegelsen langs y-aksen (loddrett) påvirker ikke hverandre i det hele tatt. Den vannrette bevegelsen ruller jevnt av gårde med konstant fart, fordi ingenting bremser den i vannrett retning (vi ser bort fra luftmotstand). Den loddrette bevegelsen, derimot, er rent fritt fall med akselerasjonen $-g$.

Det betyr at vi kan løse hver retning for seg, med bevegelseslikningene vi allerede kan, og så sette komponentene sammen til slutt. To enkle problemer i stedet for ett vanskelig. Det er denne splitten som gjør at vi i det hele tatt kan regne på skrå kast.

Å løse opp en vektor

Før vi kan splitte bevegelsen, må vi kunne splitte starthastigheten i sine to retninger. Det kalles vektoroppløsning. Har du en hastighet med beløp $v$ og en vinkel $\theta$ med x-aksen, finner du komponentene med trigonometri: x-komponenten er $v_x = v \cos\theta$, og y-komponenten er $v_y = v \sin\theta$.

Noen vinkler dukker opp om og om igjen, så det lønner seg å kjenne dem: $\cos 0° = 1$ og $\sin 0° = 0$ (helt vannrett), $\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 45° = \sin 45° \approx 0{,}707$, $\sin 60° \approx 0{,}866$, og $\cos 90° = 0$ med $\sin 90° = 1$ (helt loddrett).

La oss prøve. En ball kastes med 20 m/s i 30 graders vinkel. Hva blir komponentene? Vannrett: $v_{0x} = 20\cos 30° = 20 \cdot 0{,}866 \approx 17{,}3$ m/s. Loddrett: $v_{0y} = 20\sin 30° = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ m/s. Ballen starter altså med 17,3 m/s framover og 10 m/s oppover -- to tall vi nå kan behandle hver for seg. Veien tilbake finnes også: fra komponenter til vektor bruker vi $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ for beløpet og $\displaystyle \theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$ for vinkelen.

Skrå kast -- bevegelsen i to spor

Nå setter vi sammen alt til et skrå kast. Et objekt kastes med starthastighet $v_0$ i vinkel $\theta$. Vi splitter starthastigheten: $v_{0x} = v_0\cos\theta$ vannrett og $v_{0y} = v_0\sin\theta$ loddrett. Så følger vi hver retning for seg.

I x-retning er det ingen akselerasjon, $a_x = 0$, fordi ingenting trekker i ballen vannrett. Derfor er den vannrette farten konstant hele veien: $v_x = v_0\cos\theta$, og posisjonen blir rett og slett $x = v_0\cos\theta \cdot t$ -- akkurat som konstant fart.

I y-retning virker tyngdekraften, så $a_y = -g$. Den loddrette farten avtar, snur og øker igjen: $v_y = v_0\sin\theta - gt$, og høyden blir $\displaystyle y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ -- akkurat som fritt fall.

Kombinasjonen av en jevn vannrett bevegelse og en kvadratisk loddrett bevegelse gir nettopp en parabel. Eliminerer du tiden, får du banelikningen $\displaystyle y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$ -- en andregradslikning i $x$, som jo alltid tegner en parabel. Det vakre buen til den kastede ballen er altså bare matematikk: konstant fart i den ene retningen, fritt fall i den andre, samtidig.

Rekkevidde, høyde og hvorfor 45 grader vinner

To spørsmål dukker alltid opp ved skrå kast: hvor langt når det, og hvor høyt? La oss utlede svarene.

Rekkevidden $R$ er hvor langt vannrett ballen når før den lander på samme høyde. Ballen er i lufta så lenge $y > 0$. Setter vi $y = 0$, får vi at lufttiden er $\displaystyle T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$. Ganger vi det med den konstante vannrette farten, og bruker den trigonometriske regelen $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$, faller alt på plass: $\displaystyle R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$.

Her ligger en perle. Rekkevidden er størst når $\sin(2\theta)$ er størst, og $\sin$ topper seg ved 90 grader. Altså er $2\theta = 90°$, som gir $\theta = 45°$. Det lengste kastet får du på nøyaktig 45 grader -- enten du kaster ball, spyd eller kanonkule. Da blir maksimal rekkevidde $\displaystyle R_{maks} = \frac{v_0^2}{g}$.

Maksimal høyde $H$ når ballen når den loddrette farten $v_y$ blir null. Litt algebra gir $\displaystyle H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$.

La oss regne et eksempel med $v_0 = 30$ m/s, $\theta = 45°$ og $g = 10$ m/s². Høyden: $\displaystyle H = \frac{30^2 \cdot \sin^2 45°}{2 \cdot 10} = \frac{900 \cdot 0{,}5}{20} = 22{,}5$ m. Rekkevidden: $\displaystyle R = \frac{900 \cdot \sin 90°}{10} = \frac{900 \cdot 1}{10} = 90$ m. Lufttiden: $\displaystyle T = \frac{2 \cdot 30 \cdot \sin 45°}{10} \approx 4{,}24$ s.

Et spesialtilfelle er det vannrette kastet, der ballen sendes rett fram fra en høyde. Da er $v_{0y} = 0$, og lufttiden bestemmes utelukkende av fallet. Kaster du en ball på 15 m/s vannrett fra en 80 m høy klippe, faller den i $0 = 80 - 5t^2$, altså $t = 4$ s -- helt uavhengig av den vannrette farten. På de fire sekundene rekker den vannrett $x = 15 \cdot 4 = 60$ m. Det loddrette og det vannrette holder seg adskilt, helt til ballen treffer.

Oppsummering

Den kastede ballens vakre bue viste seg å være to enkle bevegelser på en gang. Prinsippet om uavhengige komponenter lar oss splitte bevegelsen: vannrett (x) går med konstant fart fordi $a_x = 0$, mens loddrett (y) er fritt fall med $a_y = -g$. Vi løser hver retning for seg og setter komponentene sammen.

Vektoroppløsning gir startkomponentene $v_{0x} = v_0\cos\theta$ og $v_{0y} = v_0\sin\theta$, og veien tilbake er $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ og $\theta = \arctan(v_y/v_x)$. Kombinasjonen av konstant vannrett og kvadratisk loddrett bevegelse gir alltid en parabel.

For skrå kast lærte vi de tre nøkkelformlene: rekkevidde $\displaystyle R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$, maksimal høyde $\displaystyle H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$, og lufttid $\displaystyle T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$. Det viktigste enkeltresultatet: rekkevidden er størst ved 45 grader. Og for det vannrette kastet fra en høyde bestemmes lufttiden utelukkende av fallet, mens rekkevidden er den vannrette farten ganget med den tiden. To uavhengige spor -- det er hele hemmeligheten bak todimensjonal bevegelse.