9.1 Matriser og matriseregning | Matematikk for økonomer

Matriser, transponering, addisjon, skalarmultiplikasjon og matrise-multiplikasjon.

60 min

18 oppgaver

MatriseTransponeringIdentitetsmatriseMatrise-multiplikasjonSalgsmatrise

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

9.2Determinanter og invers matrise

I økonomi og statistikk møter vi ofte store mengder tal organiserte i tabellar — til dømes salstal for fleire produkt over fleire månader, eller prisar frå ulike leverandørar. Matriser er den matematiske måten å handtere slike tabellar på.

Ei matrise er rett og slett eit rektangulært oppsett med tal, og vi har eigne reknereglar for å addere, subtrahere og multiplisere matriser. Matriserekning er fundamentet i moderne kvantitative metodar — frå produksjonsanalyse til porteføljeoptimering.

Matrise

A

✏️Eksempel 1: Identifisere dimensjon og element

Gitt matrisa

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

a) Kva er dimensjonen til $A$ ?

b) Kva er $a_{12}$ , $a_{21}$ og $a_{23}$ ?

a) Matrisa har 2 rader og 3 kolonnar, så dimensjonen er

2 \times 3

b)
- $a_{12}$ er elementet i rad 1, kolonne 2: $a_{12} = -1$
- $a_{21}$ er elementet i rad 2, kolonne 1: $a_{21} = 0$
- $a_{23}$ er elementet i rad 2, kolonne 3: $a_{23} = 4$

📝Oppgave 1

Gitt matrisene

$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

Kva er dimensjonen til $A$ ?

Kva er dimensjonen til $B$ ?

Kva er $a_{32}$ ?

Kva er $b_{14}$ ?

Kva er $b_{23}$ ?

Løs oppgaven Tren

Spesielle matriser

m = n

Kvifor matriser i økonomi?

Tenk deg at ein butikk sel tre produkt i to butikkar. Vi kan organisere salstala slik:

$S = \begin{pmatrix} 120 & 80 & 50 \\ 90 & 110 & 70 \end{pmatrix}$

Her er $s_{ij}$ talet på selde einingar av produkt $j$ i butikk $i$ . Matriser lèt oss rekne med slike tabellar på same måte som vi reknar med tal — vi kan summere sal over månader, rekne ut totalinntekt, samanlikne med fjoråret, og mykje meir.

Transponering

A^T

✏️Eksempel 2: Transponering

Finn

A^T

når

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Vi gjer rader om til kolonnar og omvendt.

A

2 \times 3

, så

A^T

blir

3 \times 2

$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Legg merke til at den første raden i $A$ , $(2,5,-1)$ , blir første kolonne i $A^T$ .

📜Eigenskapar ved transponering

For matriser

A

B

med passande dimensjonar og skalar

k

$\left(A^T\right)^T = A$

$\left(A + B\right)^T = A^T + B^T$

$\left(kA\right)^T = k A^T$

$\left(AB\right)^T = B^T A^T$

(Merk at rekkjefølgja snur i siste regel!)

📝Oppgave 2

Finn den transponerte matrisa.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Addisjon og subtraksjon av matriser

To matriser kan adderast (eller subtraherast) berre viss dei har same dimensjon. Vi adderer komponent for komponent.

📜Matriseaddisjon

For

m \times n

-matriser

A

B

$\left(A + B\right)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Resultatet er ei $m \times n$ -matrise.

✏️Eksempel 3: Addisjon av matriser

Butikken Eik AS har selt sko og vesker i to byar i januar og februar. Salsmatrisene er:

$\text{Januar:} \quad J = \begin{pmatrix} 120 & 60 \\ 90 & 40 \end{pmatrix}, \quad \text{Februar:} \quad F = \begin{pmatrix} 100 & 80 \\ 110 & 50 \end{pmatrix}$

Radene er Oslo og Bergen, kolonnane er sko og vesker. Finn totalt sal for dei to månadene.

Vi adderer komponent for komponent:

$J + F = \begin{pmatrix} 120+100 & 60+80 \\ 90+110 & 40+50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 220 & 140 \\ 200 & 90 \end{pmatrix}$

Oslo har selt 220 sko og 140 vesker, Bergen har selt 200 sko og 90 vesker i januar og februar til saman.

Pass på dimensjonen!

Viss $A$ er $2 \times 3$ og $B$ er $3 \times 2$ , er $A + B$ ikkje definert. Du kan berre addere matriser med nøyaktig same dimensjon.

📝Oppgave 3

Rekn ut.

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}

Er $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$ definert?

Skalar-multiplikasjon

Vi kan multiplisere ei matrise med eit tal (ein skalar) ved å multiplisere alle elementa med talet.

📜Skalar-multiplikasjon

For ei matrise

A

og ein skalar

k

$\left(kA\right)_{ij} = k \cdot a_{ij}$

✏️Eksempel 4: Skalar-multiplikasjon

Ein produsent doblar produksjonen. Den nye produksjonsmatrisa er

2P

, der

$P = \begin{pmatrix} 30 & 50 \\ 20 & 40 \end{pmatrix}$

Finn $2P$ , og finn òg $\displaystyle \frac{1}{2}P$ (halv produksjon).

2P = \begin{pmatrix} 2 \cdot 30 & 2 \cdot 50 \\ 2 \cdot 20 & 2 \cdot 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 & 100 \\ 40 & 80 \end{pmatrix}

$\frac{1}{2}P = \begin{pmatrix} 15 & 25 \\ 10 & 20 \end{pmatrix}$

📝Oppgave 4

La $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ og $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ . Rekn ut:

3A

-2B

2A + B

A - 3B

Matrise-multiplikasjon

Dette er den viktigaste — og litt meir komplekse — reknemåten med matriser. Matrise-multiplikasjon er bygd opp slik at han modellerer samansetjing av lineære avbildningar, og han dukkar opp overalt frå økonomi til datamaskin-grafikk.

Matrise-multiplikasjon

AB

Hugseregel:

\underbrace{(m \times p)}_{A} \cdot \underbrace{(p \times n)}_{B} = \underbrace{(m \times n)}_{AB}

Dei «indre» tala må vere like ( $p = p$ ), dei «ytre» tala bestemmer dimensjonen til produktet.

✏️Eksempel 5: Multiplikasjon av $2 \times 2$-matriser

Rekn ut

AB

når

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Begge matrisene er

2 \times 2

, så produktet

AB

blir

2 \times 2

Vi finn kvart element ved å ta skalarprodukt av rad i $A$ med kolonne i $B$ :

$\left(AB\right)_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$

$\left(AB\right)_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22$

$\left(AB\right)_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 15 + 28 = 43$

$\left(AB\right)_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 18 + 32 = 50$

$AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

✏️Eksempel 6: Sal gonga pris

Ein butikk har selt produkt i to filialar:

$S = \begin{pmatrix} 30 & 20 & 10 \\ 40 & 15 & 25 \end{pmatrix} \quad \text{(rader: Oslo, Bergen; kolonnar: A, B, C)}$

Prisane er:

$P = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \\ 200 \end{pmatrix}$

Finn $SP$ , og tolk resultatet.

S

2 \times 3

P

3 \times 1

. Produktet

SP

blir

2 \times 1

$SP = \begin{pmatrix} 30 \cdot 100 + 20 \cdot 150 + 10 \cdot 200 \\ 40 \cdot 100 + 15 \cdot 150 + 25 \cdot 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3000 + 3000 + 2000 \\ 4000 + 2250 + 5000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8000 \\ 11\,250 \end{pmatrix}$

Tolking: Oslo har ei samla omsetning på 8 000 kr, og Bergen har ei samla omsetning på 11 250 kr.

✏️Eksempel 7: Når dimensjonane ikkje passar

La $A$ vere $2 \times 3$ og $B$ vere $2 \times 2$ . Er $AB$ definert? Er $BA$ definert?

$AB$ :

A

har 3 kolonnar og

B

har 2 rader.

3 \neq 2

, så $AB$ er ikkje definert.

$BA$ : $B$ har 2 kolonnar og $A$ har 2 rader. $2 = 2$ , så $BA$ er definert og blir ei $2 \times 3$ -matrise.

📝Oppgave 5

Rekn ut $AB$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Eigenskapar ved matrise-multiplikasjon

Matrise-multiplikasjon er assosiativ og distributiv, men ikkje kommutativ generelt — det tyder at $AB \neq BA$ vanlegvis.

📜Reknereglar for matrise-multiplikasjon

For matriser $A$ , $B$ , $C$ med passande dimensjonar og skalar $k$ :

1. Assosiativ: $\left(AB\right)C = A\left(BC\right)$
2. Distributiv: $A\left(B + C\right) = AB + AC$ og $\left(A+B\right)C = AC + BC$
3. Skalar: $k\left(AB\right) = \left(kA\right)B = A\left(kB\right)$
4. Identitet: $I_n A = A I_n = A$ når $A$ er $n \times n$
5. Generelt: $AB \neq BA$ (matrise-multiplikasjon er ikkje kommutativ)

✏️Eksempel 8: $AB \neq BA$

Vis at

AB \neq BA

for

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

$BA = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

Vi ser at $AB \neq BA$ . Rekkjefølgja er avgjerande!

Pass på rekkjefølgja!

Når du multipliserer matriser, må du vere nøye med rekkjefølgja. $AB$ og $BA$ er vanlegvis ulike, og nokre gonger er berre den eine definert.

✏️Eksempel 9: Identitetsmatrisa

Vis at

I_2 A = A

for

$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

I_2 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = A

Identitetsmatrisa verkar som «1» i matriseverda.

📝Oppgave 6

La $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ og $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ .

Rekn ut $AB$ .

Rekn ut $BA$ .

Er $AB = BA$ ?

Rekn ut $A I_2$ .

Bruksområde i økonomi

Matrise-multiplikasjon blir mykje brukt i økonomi. Nokre typiske eksempel:

- Produksjons-kostnad: Ei produksjonsmatrise blir gonga med ei pris-/kostnadsmatrise.
- Lønskostnader: Talet på timar per tilsett per oppgåve, gonga med timekostnad.
- Marknadsdelar: Overgangar mellom marknadsdelar over tid blir modellerte som $\mathbf{x}_{t+1} = M \mathbf{x}_t$ .
- Porteføljevekt × avkastning for å rekne porteføljeavkastning.

✏️Eksempel 10: Produksjon og kostnader

Ei bedrift produserer to varer (V1 og V2). Per eining brukar ho arbeid, materialar og straum:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{(rader: arbeid, materialar, straum; kolonnar: V1, V2)}$

Kostnaden per eining av kvar innsatsfaktor er:

$\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 200 & 100 & 50 \end{pmatrix} \quad \text{(arbeid, materialar, straum)}$

Finn kostnaden per eining av V1 og V2.

Vi reknar

\mathbf{k} A

(ei

1 \times 3

gonga

3 \times 2

, gir

1 \times 2

$\mathbf{k} A = \begin{pmatrix} 200 & 100 & 50 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 200 \cdot 2 + 100 \cdot 4 + 50 \cdot 1 & 200 \cdot 3 + 100 \cdot 1 + 50 \cdot 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 400 + 400 + 50 & 600 + 100 + 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 850 & 800 \end{pmatrix}$

V1 kostar 850 kr per eining å produsere, og V2 kostar 800 kr per eining.

📝Oppgave 7

Ein bilforhandlar sel små bilar (S), mellomstore (M) og store bilar (L) i to filialar:

$Q = \begin{pmatrix} 12 & 18 & 6 \\ 8 & 15 & 10 \end{pmatrix} \quad \text{(rad 1: Oslo, rad 2: Trondheim)}$

Prisane i tusen kroner er:

$\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 200 \\ 350 \\ 600 \end{pmatrix}$

Kva er dimensjonen til $Q\mathbf{p}$ ?

Rekn ut $Q\mathbf{p}$ og tolk svaret.

Anta at prisane aukar med 5 % neste år. Kva matrise-operasjon gir den nye omsetninga?

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 8

La $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ og $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Rekn ut $A(B + C)$ .

Rekn ut $AB + AC$ og kontroller at det er likt svaret i a).

Rekn ut $(AB)^T$ og $B^T A^T$ . Stadfest at dei er like.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Matriser

Operasjon	Krav	Resultat
Addisjon $A + B$	Same dimensjon	Element for element
Subtraksjon $A - B$	Same dimensjon	Element for element
Skalar $kA$	—	Multipliser alt med $k$
Transp. $A^T$	—	Byt rader og kolonnar
Produkt $AB$	Kolonnar i $A$ = rader i $B$	$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$
Identitet	$A$ kvadratisk	$I A = A I = A$

Viktige reglar:
- Assosiativ:

(AB)C = A(BC)

- Distributiv:

A(B+C) = AB + AC

- IKKJE kommutativ:

AB \neq BA

generelt
-

(AB)^T = B^T A^T

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matrise: Eit rektangulært oppsett av tal i rader og kolonnar.
- Transponert matrise: Byter om rader og kolonnar.
- Addisjon og skalarmultiplikasjon: Blir utført komponent for komponent.
- Matrisemultiplikasjon: Definert når talet på kolonnar i $A$ er lik talet på rader i $B$ ; ikkje kommutativ.

Viktige formlar

(m \times p) \cdot (p \times n) = (m \times n), \qquad AB \neq BA

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Matrise	Tabell av tal i rader og kolonnar
Transponert	$A^T$ , rader og kolonnar bytte
Skalar	Eit enkelt tal
Matrisemultiplikasjon	Indre dimensjonar må stemme

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.