7.4 Lagranges multiplikatormetode | Matematikk for økonomer

Optimering med bibetingelse — Lagrange-funksjonen, førsteordens betingelser og skyggepristolkning av $\lambda$.

60 min

14 oppgaver

Lagranges multiplikatormetodeBibetingelseSkyggeprisNyttemaksimeringKostnadsminimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Stasjonære punkter og andrederiverttest

Brukes videre i

7.5Cobb-Douglas og økonomiske anvendelser

I førre kapittel maksimerte vi ein funksjon fritt — vi kunne velje $x$ og $y$ heilt fritt. I røynda er ressursar knappe: konsumenten har eit budsjett å forhalde seg til, bedrifta har eit produksjonsmål eller ei avgrensa mengd innsatsfaktorar. Vi har altså optimeringsproblem med bivilkår.

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) utvikla ein elegant teknikk som let oss løyse slike problem ved å innføre ein hjelpevariabel — lagrange-multiplikatoren $\lambda$ . Metoden er sentral i mikroøkonomi, og multiplikatoren $\lambda$ får ei konkret økonomisk tolking som skuggepris.

Optimering med bivilkår

\text{Maksimer (eller minimer)} \quad f(x, y)

Lagrange-funksjonen

\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda (g(x, y) - c)

📜Førsteordens vilkår

For optimum av

f(x, y)

under bivilkåret

g(x, y) = c

må følgjande vere oppfylt:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = f_x - \lambda \, g_x = 0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = f_y - \lambda \, g_y = 0$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(g(x, y) - c) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad g(x, y) = c$

Merk at den tredje likninga automatisk gir tilbake bivilkåret.

Geometrisk intuisjon: I eit stasjonært punkt for det vilkårsbundne problemet er nivåkurvene til

f

g

tangerande. Det tyder at gradientane

\nabla f

\nabla g

er parallelle — éin er eit skalert multiplum av den andre. Skalaren er nettopp

\lambda

. Dette gir den tilpassingsvilkåret

\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}

som ofte gir den raskaste vegen til løysinga.

✏️Eksempel 1 — Enkel nyttemaksimering

Ein konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = xy$ og budsjettlinje $2x + 3y = 12$ . Finn den kombinasjonen som maksimerer nytta.

Her er

f(x, y) = xy

g(x, y) = 2x + 3y

c = 12

Lagrange-funksjonen:
$\mathcal{L} = xy - \lambda(2x + 3y - 12)$

Førsteordens vilkår:
$\mathcal{L}_x = y - 2 \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = y/2$
$\mathcal{L}_y = x - 3 \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = x/3$
$\mathcal{L}_\lambda = -(2x + 3y - 12) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3y = 12$

Frå dei to første likningane: $y/2 = x/3 \Rightarrow 3y = 2x \Rightarrow x = \tfrac{3y}{2}$ .

Set inn i bivilkåret: $2 \cdot \tfrac{3y}{2} + 3y = 12 \Rightarrow 6y = 12 \Rightarrow y = 2, x = 3$ .

$\lambda = y/2 = 1$ .

Optimal kombinasjon: $(x, y) = (3, 2)$ med nytte $U = 6$ og Lagrange-multiplikator $\lambda = 1$ .

Effektivisering: Du kan ofte hoppe over

\lambda

ved å bruke tilpassingsvilkåret direkte:

\displaystyle \frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}

. I eksemplet over:

\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{3y}{2}

, så bruker du bivilkåret.

Men hugs: viss oppgåva krev tolkinga av $\lambda$ , må du rekne ut den sjølv.

✏️Eksempel 2 — Cobb-Douglas nytte med budsjettlinje

Ein konsument har nytte $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$ . Prisane er $p_x = 4$ og $p_y = 9$ , og inntekta er $m = 100$ . Finn det optimale konsumet.

Vi har

f(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}

og budsjettlinja

4x + 9y = 100

Førsteordens partielle:
$U_x = 0{,}5 x^{-0{,}5} y^{0{,}5} = 0{,}5 \sqrt{y/x}$
$U_y = 0{,}5 x^{0{,}5} y^{-0{,}5} = 0{,}5 \sqrt{x/y}$

Tilpassingsvilkåret $\displaystyle \frac{U_x}{U_y} = \frac{p_x}{p_y}$ :
$\frac{0{,}5 \sqrt{y/x}}{0{,}5 \sqrt{x/y}} = \frac{y}{x} = \frac{4}{9}$

Altså $y = \tfrac{4x}{9}$ .

Bivilkåret: $4x + 9 \cdot \tfrac{4x}{9} = 100 \Rightarrow 4x + 4x = 100 \Rightarrow x = 12{,}5$ . Då $y = \tfrac{4 \cdot 12{,}5}{9} = \tfrac{50}{9} \approx 5{,}56$ .

Maksimal nytte: $U(12{,}5, 50/9) = \sqrt{12{,}5} \cdot \sqrt{50/9} = \sqrt{12{,}5 \cdot 50/9} = \sqrt{625/9} = 25/3 \approx 8{,}33$ .

For nytta

U = x^{\alpha} y^{\beta}

med

\alpha + \beta = 1

kan det visast at konsumenten bruker andelen

\alpha

av budsjettet på vare

x

og andelen

\beta

på vare

y

p_x x = \alpha m, \quad p_y y = \beta m

I eksempel 2 har vi $\alpha = \beta = 0{,}5$ , så $p_x x = 50$ og $p_y y = 50$ — kontroller sjølv: $4 \cdot 12{,}5 = 50$ ✓ og $9 \cdot 50/9 = 50$ ✓.

📝Oppgave 1

Maksimer $f(x, y) = xy$ under $x + y = 10$ .

Set opp Lagrange-funksjonen.

Skriv ned førsteordens vilkår.

Finn $(x, y)$ og $\lambda$ .

Rekn ut maksimal verdi av $f$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Maksimer $U(x, y) = x^2 y$ under $2x + y = 12$ .

Set opp Lagrange-funksjonen.

Finn førsteordens vilkår.

Løys systemet.

Rekn ut $U(x, y)$ i optimum.

Løs oppgaven Tren

Kva seier eigentleg

\lambda

oss? Den maksimale nytteverdien

V

er ein funksjon av høgresida

c

til bivilkåret:

V(c) = \max_{g(x, y) = c} f(x, y).

Det finst eit bemerkelsesverdig teorem (omhyllingssetninga) som seier:

📜Lagrange-multiplikatoren som skuggepris

\frac{dV}{dc} = \lambda^*,

der

\lambda^*

er verdien av Lagrange-multiplikatoren i optimum.

Tolking: $\lambda^*$ er skuggeprisen for bivilkåret — kor mykje optimal verdi aukar per eining som $c$ blir utvida.

- I konsumentteori: $\lambda$ = ekstra nytte per ekstra krone i inntekt (grensenytta av pengar)
- I produksjon: $\lambda$ = ekstra produksjon per ekstra eining ressurs
- I kostnadsminimering: $\lambda$ = ekstra kostnad per ekstra eining produsert

✏️Eksempel 3 — Tolking av $\lambda$

I Eksempel 1 fann vi $\lambda = 1$ for problemet "maksimer $xy$ under $2x + 3y = 12$ ". Tolk dette talet og stadfest det ved ei direkte utrekning med $c = 13$ .

\lambda^* = 1

tyder at viss budsjettet blir auka frå 12 til 13, vil maksimal nytte auke med ca. 1 eining.

Verifikasjon med $c = 13$ :
Tilpassinga $y = \tfrac{2x}{3}$ er den same. Bivilkår: $2x + 3 \cdot \tfrac{2x}{3} = 13 \Rightarrow 4x = 13 \Rightarrow x = 13/4 = 3{,}25$ , $y = 13/6 \approx 2{,}17$ .

Maksimal nytte: $U = x \cdot y = 3{,}25 \cdot 2{,}17 = \tfrac{13}{4} \cdot \tfrac{13}{6} = \tfrac{169}{24} \approx 7{,}04$ .

Med $c = 12$ : $U = 6$ . Differansen er $7{,}04 - 6 = 1{,}04 \approx 1 = \lambda^*$ ✓

(Den vesle skilnaden på $0{,}04$ skuldast at $\lambda$ er ein marginal storleik — han måler endring per lita eining, og blir meir eksakt for små $\Delta c$ .)

✏️Eksempel 4 — Kostnadsminimering med produksjonskrav

Ei bedrift må produsere $Q = 100$ einingar. Produktfunksjonen er $Q = 10 \sqrt{KL}$ . Pris på kapital er $r = 4$ og pris på arbeidskraft er $w = 9$ . Finn den billigaste kombinasjonen av $K$ og $L$ .

Problem: minimer

C(K, L) = 4K + 9L

under

10 \sqrt{KL} = 100 \Rightarrow \sqrt{KL} = 10 \Rightarrow KL = 100

Lagrange-funksjonen:
$\mathcal{L} = 4K + 9L - \lambda(KL - 100)$

Førsteordens:
$\mathcal{L}_K = 4 - \lambda L = 0 \Rightarrow \lambda = 4/L$
$\mathcal{L}_L = 9 - \lambda K = 0 \Rightarrow \lambda = 9/K$
$KL = 100$

Frå dei to første: $4/L = 9/K \Rightarrow 4K = 9L \Rightarrow K = \tfrac{9L}{4}$ .

Set inn: $\tfrac{9L}{4} \cdot L = 100 \Rightarrow L^2 = \tfrac{400}{9} \Rightarrow L = \tfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ , $K = \tfrac{9}{4} \cdot \tfrac{20}{3} = 15$ .

$\lambda = 4/L = 4 / (20/3) = 12/20 = 0{,}6$

Minimum kostnad: $C = 4 \cdot 15 + 9 \cdot \tfrac{20}{3} = 60 + 60 = 120$ .

Tolking av $\lambda = 0{,}6$ : Å auke produksjonsmålet frå 100 til 101 einingar vil auke totalkostnaden med ca. $0{,}6$ kr — dette er grensekostnaden for produksjonen ved dette nivået.

📝Oppgave 3

Ein konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = x y$ . Prisane er $p_x = 2$ og $p_y = 5$ , inntekt $m = 40$ .

Set opp Lagrange-funksjonen.

Finn optimal $(x, y)$ .

Finn $\lambda$ .

Kva tyder $\lambda = 2$ økonomisk?

Rekn ut maksimal nytte.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5 — Produktoptimering

Ei bedrift har Cobb-Douglas produktfunksjon $Q(K, L) = K^{0{,}4} L^{0{,}6}$ . Innsatsfaktorprisar: $r = 8$ for kapital og $w = 6$ for arbeidskraft. Totalt budsjett for innsatsfaktorar: $T = 240$ kr.

Finn den kombinasjonen $(K, L)$ som maksimerer produksjonen.

Problem: maks

K^{0{,}4} L^{0{,}6}

under

8K + 6L = 240

$Q_K = 0{,}4 K^{-0{,}6} L^{0{,}6}$
$Q_L = 0{,}6 K^{0{,}4} L^{-0{,}4}$

Tilpassingsvilkåret $\displaystyle \frac{Q_K}{Q_L} = \frac{r}{w}$ :
$\frac{0{,}4 K^{-0{,}6} L^{0{,}6}}{0{,}6 K^{0{,}4} L^{-0{,}4}} = \frac{0{,}4}{0{,}6} \cdot \frac{L}{K} = \frac{8}{6}$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{L}{K} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{L}{K} = 2 \Rightarrow L = 2K$

Bivilkår: $8K + 6 \cdot 2K = 20 K = 240 \Rightarrow K = 12, L = 24$ .

Maks produksjon: $Q = 12^{0{,}4} \cdot 24^{0{,}6}$ .
Bruk $12 = 24/2$ : $Q = (24/2)^{0{,}4} \cdot 24^{0{,}6} = 24 \cdot 2^{-0{,}4} = 24 \cdot 0{,}758 \approx 18{,}19$ .

Skuggepris: $\lambda = Q_K / r = 0{,}4 \cdot 12^{-0{,}6} \cdot 24^{0{,}6} / 8 = 0{,}05 \cdot 24^{0{,}6} / 12^{0{,}6} = 0{,}05 \cdot 2^{0{,}6} \approx 0{,}076$ . Kvar ekstra krone i budsjettet gir ca. $0{,}076$ ekstra einingar produksjon.

📝Oppgave 4

Ei bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = K L$ . Innsatsfaktorprisar: $r = 1$ og $w = 4$ . Bedrifta skal produsere $Q = 16$ .

Set opp problemet.

Set opp Lagrange og førsteordens vilkår.

Løys systemet.

Kva er minimum kostnad?

Tolk $\lambda = 1/2$ .

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6 — Maks med ulineær bivilkår

Finn maks av $f(x, y) = x + 2y$ under $x^2 + y^2 = 5$ .

\mathcal{L} = x + 2y - \lambda(x^2 + y^2 - 5)

Førsteordens:
$\mathcal{L}_x = 1 - 2 \lambda x = 0 \Rightarrow x = 1/(2\lambda)$
$\mathcal{L}_y = 2 - 2 \lambda y = 0 \Rightarrow y = 1/\lambda$
$x^2 + y^2 = 5$

Set inn: $\dfrac{1}{4\lambda^2} + \dfrac{1}{\lambda^2} = 5 \Rightarrow \dfrac{5}{4\lambda^2} = 5 \Rightarrow \lambda^2 = \tfrac{1}{4} \Rightarrow \lambda = \pm \tfrac{1}{2}$ .

- $\lambda = 1/2$ : $x = 1, y = 2$ . $f(1, 2) = 5$ . (Maksimum)
- $\lambda = -1/2$ : $x = -1, y = -2$ . $f(-1, -2) = -5$ . (Minimum)

Konklusjon: Maks er 5 i punktet $(1, 2)$ , min er $-5$ i $(-1, -2)$ .

📝Oppgave 5

Finn maks og min av $f(x, y) = 3x + 4y$ under $x^2 + y^2 = 25$ .

Set opp Lagrange-funksjonen.

Skriv ned førsteordens vilkår.

Løys systemet.

Kva er maks- og minimumsverdiane?

✏️Eksempel 7 — Nyttemaksimering med logaritmar

Ein konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = 2 \ln x + \ln y$ . Prisane er $p_x = 3$ og $p_y = 2$ , og inntekta er $m = 60$ . Finn optimal $(x, y)$ .

U_x = 2/x, U_y = 1/y

Tilpassingsvilkåret: $\displaystyle \frac{2/x}{1/y} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{2y}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 4y = 3x \Rightarrow y = \tfrac{3x}{4}$ .

Bivilkår: $3x + 2 \cdot \tfrac{3x}{4} = 3x + \tfrac{3x}{2} = \tfrac{9x}{2} = 60 \Rightarrow x = \tfrac{120}{9} = \tfrac{40}{3} \approx 13{,}33$ . Då $y = \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{40}{3} = 10$ .

$\lambda = U_x / p_x = (2/x)/3 = 2/(3x) = 2/(3 \cdot 40/3) = 2/40 = 0{,}05$ .

Optimal kombinasjon: $(x, y) \approx (13{,}33, 10)$ , og marginal nytte av pengar er $\lambda = 0{,}05$ .

Sjekk balansert utgift: vekt på $\ln x$ er $2$ , vekt på $\ln y$ er $1$ , så total "vekt" er $3$ . Konsumenten bør bruke $2/3$ på vare $x$ og $1/3$ på $y$ . $p_x x = 3 \cdot 40/3 = 40 = 2/3 \cdot 60$ ✓ og $p_y y = 2 \cdot 10 = 20 = 1/3 \cdot 60$ ✓.

📝Oppgave 6

Ein konsument har $U(x, y) = \ln x + 3 \ln y$ . Prisane er $p_x = 5$ , $p_y = 9$ , og inntekta er $m = 180$ .

Finn tilpassingsvilkåret.

Bruk bivilkåret og finn optimal $(x, y)$ .

Finn $\lambda$ .

Kor mykje av inntekta blir brukt på kvart gode?

✏️Eksempel 8 — Profittmaksimering med ressursavgrensing

Ei bedrift produserer to varer. Profitten er $\pi(x, y) = 20 x + 30 y - x^2 - y^2$ . Bedrifta kan berre bruke 10 einingar av ein knapp innsatsfaktor, fordelt mellom dei to varene som $x + y \leq 10$ . Finn optimal produksjon, både med og utan avgrensinga.

Utan bivilkår:

\pi_x = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10

\pi_y = 30 - 2y = 0 \Rightarrow y = 15

Men $x + y = 25 > 10$ — denne kombinasjonen er ikkje tillaten.

Note om ulikskap: Bivilkåret er strengt teke $x + y \leq 10$ . Sidan det frie optimumet $(10, 15)$ bryt dette (krev 25 einingar), vil den optimale løysinga utnytte heile ressursen, dvs. bindinga er bindande: $x + y = 10$ . Vi kan derfor erstatte ulikskapen med likskap og bruke Lagrange direkte. (Dette resonnementet er ein spesiell variant av Karush-Kuhn-Tuckers (KKT) vilkår, som generaliserer Lagrange til ulikskapsavgrensingar.)

Med bivilkår $x + y = 10$ :
$\mathcal{L} = 20x + 30y - x^2 - y^2 - \lambda(x + y - 10)$

$\mathcal{L}_x = 20 - 2x - \lambda = 0$
$\mathcal{L}_y = 30 - 2y - \lambda = 0$
$x + y = 10$

Trekk: $20 - 2x - (30 - 2y) = 0 \Rightarrow 2y - 2x = 10 \Rightarrow y = x + 5$ .

Set inn: $x + (x + 5) = 10 \Rightarrow x = 2{,}5, y = 7{,}5$ .

$\lambda = 20 - 2 \cdot 2{,}5 = 15$

Profitt: $\pi(2{,}5, 7{,}5) = 50 + 225 - 6{,}25 - 56{,}25 = 212{,}5$

Tolking av $\lambda = 15$ : Viss bedrifta kan utvide ressursbruken med éi eining (frå 10 til 11), aukar profitten med ca. 15 kr. Dette er skuggeprisen for ressursen — er han lågare enn 15 kr i marknaden, bør bedrifta kjøpe meir.

📝Oppgave 7

Ei bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 50 x + 40 y - x^2 - 2 y^2$ og kan totalt produsere $x + y = 20$ einingar.

Set opp Lagrange-funksjonen.

Finn førsteordens vilkår.

Finn optimal $(x, y)$ .

Finn $\lambda$ og tolk.

Rekn ut maksimal profitt.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9 — Minimum av flate

Finn det punktet $(x, y)$ på linja $2x + y = 8$ som har minst avstand til origo.

Avstanden er $\sqrt{x^2 + y^2}$ , men det er enklare å minimere kvadratet $f(x, y) = x^2 + y^2$ sidan $\sqrt{}$ er ein stigande funksjon.

Lagrange:
$\mathcal{L} = x^2 + y^2 - \lambda(2x + y - 8)$

$\mathcal{L}_x = 2x - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = x$
$\mathcal{L}_y = 2y - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2y$
$2x + y = 8$

Frå dei to første: $x = 2y$ . Bivilkår: $4y + y = 8 \Rightarrow y = 8/5 = 1{,}6, x = 16/5 = 3{,}2$ .

Minste avstand: $\sqrt{(16/5)^2 + (8/5)^2} = \sqrt{256/25 + 64/25} = \sqrt{320/25} = \sqrt{320}/5 \approx 3{,}58$ .

Geometrisk tolking: Punktet $(3{,}2, 1{,}6)$ er det punktet på linja $2x + y = 8$ som ligg nærmast origo. Linja frå origo til dette punktet står vinkelrett på $2x + y = 8$ .

📝Oppgave 8

Ei bedrift produserer to varer med produktfunksjon $Q(x, y) = 4\sqrt{xy}$ . Faktorprisane er $p_x = 2, p_y = 8$ , og bedrifta har budsjett $C = 80$ .

Set opp problemet.

Tilpassingsvilkår.

Bruk bivilkåret.

Maks produksjon.

Skuggepris $\lambda$ .

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Lagranges metode

Trinn	Skildring
1	Identifiser målfunksjon $f$ og bivilkår $g(x,y) = c$
2	Set opp $\mathcal{L} = f - \lambda(g - c)$
3	Førsteordens: $\mathcal{L}_x = 0$ , $\mathcal{L}_y = 0$ , $\mathcal{L}_\lambda = 0$
4	Alternativt: tilpassingsvilkåret $\displaystyle \frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}$
5	Bruk bivilkåret til å finne $(x, y)$
6	Rekn ut $\lambda$ — tolk som skuggepris (endring i optimal verdi per eining $c$ )

Økonomiske bruksområde: Nyttemaksimering med budsjett, kostnadsminimering med produksjonskrav, profittmaksimering med ressursavgrensing.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Vilkårsbunden optimering: Maksimere $f(x, y)$ under eit bivilkår $g(x, y) = c$ .
- Lagrange-funksjonen: $\mathcal{L} = f - \lambda(g - c)$ .
- Førsteordensvilkår: Dei partielle deriverte av $\mathcal{L}$ blir sette lik null.
- Skuggepris: $\lambda^*$ viser kor mykje optimum endrar seg når $c$ aukar.

Viktige formlar

\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)

\frac{dV}{dc} = \lambda^*

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Bivilkår	Restriksjon $g(x, y) = c$
Lagrange-funksjon	$\mathcal{L} = f - \lambda(g - c)$
Lagrange-multiplikator	$\lambda$
Skuggepris	$\lambda^*$ , verdi av å løyse bivilkåret

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.