7.4 Lagranges multiplikatormetode

Optimering når noe holder oss tilbake

I forrige kapittel maksimerte vi fritt -- vi kunne velge $x$ og $y$ helt som vi ville. Men virkeligheten setter grenser. Konsumenten har et budsjett. Bedriften har et produksjonsmål eller en knapp mengde innsatsfaktorer. Vi står overfor optimering med bibetingelser: maksimer (eller minimer) en målfunksjon $f(x,y)$ -- nytte, profitt, kostnad -- under en bibetingelse $g(x,y)=c$ som begrenser oss.

Joseph-Louis Lagrange fant på 1700-tallet en elegant løsning. Vi innfører en hjelpevariabel $\lambda$ og bygger Lagrange-funksjonen $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(g(x,y)-c)$. Så finner vi stasjonære punkter for $\mathcal{L}$ som funksjon av tre variabler. Det gir tre førsteordens betingelser: $\mathcal{L}_x=f_x-\lambda g_x=0$, $\mathcal{L}_y=f_y-\lambda g_y=0$, og $\mathcal{L}_\lambda=0$, som bare gir bibetingelsen $g(x,y)=c$ tilbake.

Geometrisk skjer noe pent: i optimum tangerer nivåkurvene til $f$ og $g$ hverandre, slik at gradientene $\nabla f$ og $\nabla g$ peker samme vei. Den ene er $\lambda$ ganger den andre. Det gir tilpasningsbetingelsen $\dfrac{f_x}{f_y}=\dfrac{g_x}{g_y}$, ofte den raskeste veien til svaret.

Nyttemaksimering med budsjett

La oss gjøre det konkret. En konsument har nyttefunksjon $U(x,y)=xy$ og budsjettlinjen $2x+3y=12$. Her er $f=xy$ og $g=2x+3y$ med $c=12$. Lagrange-funksjonen blir $\mathcal{L}=xy-\lambda(2x+3y-12)$. Førsteordens: $\mathcal{L}_x=y-2\lambda=0$ gir $\lambda=y/2$, og $\mathcal{L}_y=x-3\lambda=0$ gir $\lambda=x/3$. Sett dem like: $y/2=x/3$, altså $3y=2x$, så $x=\tfrac{3y}{2}$.

Nå bruker vi budsjettet: $2\cdot\tfrac{3y}{2}+3y=12\Rightarrow 6y=12\Rightarrow y=2$ og $x=3$. Den optimale kurven er $(3,2)$ med nytte $U=6$, og $\lambda=y/2=1$. Legg merke til at hadde vi bare ønsket $(x,y)$, kunne vi hoppet rett til tilpasningsbetingelsen $\tfrac{y}{x}=\tfrac{2}{3}$. Men når oppgaven spør om tolkningen av $\lambda$, må vi regne den ut.

Metoden takler også Cobb-Douglas. For $U(x,y)=x^{0{,}5}y^{0{,}5}$ med priser $p_x=4$, $p_y=9$ og inntekt $100$ gir tilpasningsbetingelsen $\dfrac{U_x}{U_y}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{9}$, altså $y=\tfrac{4x}{9}$. Inn i budsjettet $4x+9y=100$: $4x+4x=100\Rightarrow x=12{,}5$ og $y=\tfrac{50}{9}\approx 5{,}56$. Maksimal nytte blir $\sqrt{12{,}5\cdot 50/9}=\sqrt{625/9}=\tfrac{25}{3}\approx 8{,}33$.

Skyggeprisen -- hva forteller egentlig $\lambda$?

Multiplikatoren $\lambda$ er ikke bare et regneknep; den har en kraftig økonomisk tolkning. La $V(c)$ være den maksimale verdien av målfunksjonen som funksjon av bibetingelsens høyreside $c$. Da gjelder $\dfrac{dV}{dc}=\lambda^*$, der $\lambda^*$ er verdien av multiplikatoren i optimum. Med andre ord: $\lambda^*$ er skyggeprisen -- hvor mye den optimale verdien øker når vi løsner bibetingelsen med én enhet.

I eksemplet med $U=xy$ under $2x+3y=12$ fant vi $\lambda^*=1$. Det betyr at hvis budsjettet økes fra $12$ til $13$, bør den maksimale nytten øke med omtrent $1$. La oss sjekke: med $c=13$ gir samme tilpasning $4x=13\Rightarrow x=3{,}25$ og $y\approx 2{,}17$, så $U=\tfrac{13}{4}\cdot\tfrac{13}{6}=\tfrac{169}{24}\approx 7{,}04$. Differansen fra $6$ er $1{,}04\approx\lambda^*$. Den lille avviket på $0{,}04$ skyldes at $\lambda$ er en marginal størrelse, eksakt bare for små endringer.

Skyggeprisen tolkes ulikt etter sammenheng. I konsumentteori er $\lambda$ ekstra nytte per ekstra krone inntekt -- grensenytten av penger. I produksjon er det ekstra produksjon per ekstra ressursenhet. I kostnadsminimering er det ekstra kostnad per ekstra produsert enhet. Et eksempel på det siste: en bedrift må produsere $Q=100$ med $Q=10\sqrt{KL}$, der $r=4$ og $w=9$. Tilpasning gir $4/L=9/K$, altså $K=\tfrac{9L}{4}$, og bibetingelsen $KL=100$ gir $L=\tfrac{20}{3}$, $K=15$. Kostnaden blir $C=60+60=120$, og $\lambda=4/L=0{,}6$: å produsere én enhet til koster ca. $0{,}6$ kr -- grensekostnaden.

Oppsummering

Lagranges multiplikatormetode løser optimering under en bibetingelse $g(x,y)=c$. Vi setter opp Lagrange-funksjonen $\mathcal{L}=f-\lambda(g-c)$ og krever at alle de partielle deriverte er null: $\mathcal{L}_x=0$, $\mathcal{L}_y=0$ og $\mathcal{L}_\lambda=0$, der den siste bare gir bibetingelsen tilbake. Alternativt går vi rett på tilpasningsbetingelsen $\dfrac{f_x}{f_y}=\dfrac{g_x}{g_y}$ og bruker bibetingelsen til å finne $(x,y)$.

Den virkelige kraften ligger i tolkningen av $\lambda$. Multiplikatoren er en skyggepris: $\dfrac{dV}{dc}=\lambda^*$ viser hvor mye den optimale verdien endres når vi utvider bibetingelsen med én enhet. I konsumentteori er det grensenytten av penger, i produksjon ekstra produksjon per ressurs, og i kostnadsminimering grensekostnaden. Metoden dekker nyttemaksimering med budsjett, kostnadsminimering med produksjonskrav og profittmaksimering med ressursbegrensning -- selve verktøykassen for mikroøkonomisk optimering.