7.3 Stasjonære punkter og andrederiverttest | Matematikk for økonomer

Stasjonære punkter, Hessian-determinanten og klassifisering av lokale ekstrema og sadelpunkter.

60 min

16 oppgaver

Stasjonært punktHessianLokalt maksimumLokalt minimumSadelpunktProfittmaksimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Partielle deriverte

Brukes videre i

7.4Lagranges multiplikatormetode

I økonomien jaktar vi ofte på toppunkt og botnpunkt for funksjonar av fleire variablar: kva kombinasjon av prisar gir maksimal inntekt? Kva kombinasjon av innsatsfaktorar minimerer kostnaden? Kva produktmiks gir høgast profitt? Vi skal no utvide derivasjonsteorien frå éin variabel slik at vi kan finne og klassifisere slike punkt for funksjonar av to variablar.

Stasjonært punkt

(a, b)

📜Førsteordens nødvendig vilkår

Viss

f(x, y)

har eit lokalt maksimum eller minimum i eit indre punkt

(a, b)

av definisjonsmengda, og

f

er deriverbar i

(a, b)

, så er

f_x(a, b) = 0 \quad \text{og} \quad f_y(a, b) = 0.

✏️Eksempel 1 — Finn stasjonære punkt

Finn alle stasjonære punkt til $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13$ .

Førsteordens deriverte:

f_x = 2x - 4

f_y = 2y - 6

Set begge lik null:
$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
$2y - 6 = 0 \Rightarrow y = 3$

Det er eitt stasjonært punkt: $(2, 3)$ .

Vi kan kontrollere: $f(2, 3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 13 = 0$ . Faktisk kan vi skrive $f(x, y) = (x-2)^2 + (y-3)^2$ , som er ein sum av kvadrat. Minimum er $0$ i punktet $(2, 3)$ .

Å finne stasjonære punkt er eitt trinn, men vi vil vite om dei er maksima, minima eller noko anna. I éin variabel brukte vi andrederivertesten: $f''(a) > 0$ gav minimum, $f''(a) < 0$ gav maksimum. Med to variablar er det ikkje nok å sjå på $f_{xx}$ og $f_{yy}$ — vi må også vite korleis funksjonen krummar i diagonal retning. Det blir styrt av krysspartialane $f_{xy}$ .

Hessian-determinant

(a, b)

📜Andreordens test for to variablar

Anta at $(a, b)$ er eit stasjonært punkt og at andreordens partielle deriverte er kontinuerlege. Lat $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ evaluert i $(a, b)$ .

- $D > 0$ og $f_{xx} > 0$ : $(a, b)$ er eit lokalt minimum
- $D > 0$ og $f_{xx} < 0$ : $(a, b)$ er eit lokalt maksimum
- $D < 0$ : $(a, b)$ er eit sadelpunkt
- $D = 0$ : testen er ubestemt — vi må undersøkje nærmare

Eit sadelpunkt er eit stasjonært punkt der funksjonen verken har lokalt maksimum eller minimum. Han krummar oppover i éi retning og nedover i ei anna — som ein hestesadel. Eksempel: $f(x, y) = x^2 - y^2$ i origo. Her er $f$ konveks langs $x$ -aksen ( $x^2$ ) og konkav langs $y$ -aksen ( $-y^2$ ). I produksjonsøkonomi kan sadelpunkt dukke opp når ein har fleire lokalt optimale strategiar som kryssar kvarandre.

✏️Eksempel 2 — Klassifiser stasjonært punkt

Klassifiser det stasjonære punktet $(2, 3)$ for $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13$ frå Eksempel 1.

Andreordens:

f_{xx} = 2

f_{yy} = 2

f_{xy} = 0

Hessian-determinant:
$D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$

Sidan $D > 0$ og $f_{xx} = 2 > 0$ , er $(2, 3)$ eit lokalt minimum med funksjonsverdi $f(2, 3) = 0$ .

(Faktisk er det også eit globalt minimum, sidan funksjonen er ein sum av kvadrat.)

✏️Eksempel 3 — Sadelpunkt

Finn og klassifiser alle stasjonære punkt for $f(x, y) = x^2 - y^2$ .

Førsteordens:

f_x = 2x = 0 \Rightarrow x = 0

f_y = -2y = 0 \Rightarrow y = 0

Einaste stasjonære punkt: $(0, 0)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0$

$D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$

$(0, 0)$ er eit sadelpunkt.

Dette stemmer godt med forma til funksjonen: langs $x$ -aksen er $f(x, 0) = x^2$ (oppover-parabel) og langs $y$ -aksen er $f(0, y) = -y^2$ (nedover-parabel).

📝Oppgave 1

Finn alle stasjonære punkt

f(x, y) = x^2 + y^2

f(x, y) = 4x - x^2 + y^2

f(x, y) = x^2 - 2x + y^2 + 4y

f(x, y) = xy - x - y

✏️Eksempel 4 — Lokalt maksimum

Finn og klassifiser stasjonære punkt for $f(x, y) = -x^2 - y^2 + 6x + 8y - 5$ .

Førsteordens:

f_x = -2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3

f_y = -2y + 8 = 0 \Rightarrow y = 4

Stasjonært punkt: $(3, 4)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = -2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0$

$D = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0, \quad f_{xx} = -2 < 0$

$(3, 4)$ er eit lokalt maksimum. Funksjonsverdi: $f(3, 4) = -9 - 16 + 18 + 32 - 5 = 20$ .

📝Oppgave 2

Finn og klassifiser alle stasjonære punkt

f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y

f(x, y) = -x^2 - 2y^2 + 4x + 8y

f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y

f(x, y) = xy

✏️Eksempel 5 — Profittmaksimering med to produkt

Ei bedrift produserer to varer. Profittfunksjonen er

\pi(x, y) = 10x + 8y - x^2 - 2xy - y^2.

Finn den produktmiksen som maksimerer profitten, og rekn ut maksimal profitt.

Førsteordens vilkår:

\pi_x = 10 - 2x - 2y = 0 \Rightarrow x + y = 5

\pi_y = 8 - 2x - 2y = 0 \Rightarrow x + y = 4

Konklusjon: Systemet er inkonsistent ( $5 \neq 4$ ), så det finst ingen stasjonære punkt. Maksimum kan ikkje ligge i eit indre punkt; det må eventuelt søkjast på randen ( $x = 0$ eller $y = 0$ ).

Teknisk sett tyder dette at maksimum av ein slik konkav funksjon vil ligge på randen — i praksis at den optimale strategien er å produsere berre éi av dei to varene. Vi løyser delproblema:
- Set $y = 0$ : $\pi(x, 0) = 10x - x^2$ , maks ved $x = 5$ , $\pi = 25$
- Set $x = 0$ : $\pi(0, y) = 8y - y^2$ , maks ved $y = 4$ , $\pi = 16$

Bedrifta bør produsere berre vare A med $x = 5$ , og profitten blir $25$ .

Når førsteordens vilkår ikkje har noka løysing

Det er ikkje uvanleg at systemet $f_x = 0, f_y = 0$ er inkonsistent — det tyder berre at funksjonen ikkje har stasjonære punkt i det indre. I økonomiske oppgåver må vi då sjekke randpunkta (typisk $x \geq 0, y \geq 0$ ), eller bruke metodar for problem med bivilkår (Lagranges metode, kapittel 7.4).

✏️Eksempel 6 — Profittmaksimering, konsistent system

Ei bedrift har profittfunksjon

\pi(x, y) = 40 x + 60 y - x^2 - xy - 2 y^2 - 50.

Finn optimal produksjon og maksimal profitt.

Førsteordens:

\pi_x = 40 - 2x - y = 0

\pi_y = 60 - x - 4y = 0

Frå første likning: $y = 40 - 2x$ . Set inn i andre:
$60 - x - 4(40 - 2x) = 0$
$60 - x - 160 + 8x = 0$
$7x = 100 \Rightarrow x = \dfrac{100}{7} \approx 14{,}29$

$y = 40 - 2 \cdot \dfrac{100}{7} = \dfrac{280 - 200}{7} = \dfrac{80}{7} \approx 11{,}43$

Andreordens:
$\pi_{xx} = -2, \pi_{yy} = -4, \pi_{xy} = -1$
$D = (-2)(-4) - (-1)^2 = 8 - 1 = 7 > 0, \quad \pi_{xx} = -2 < 0$

Dette er eit lokalt maksimum.

Maksimal profitt:
$\pi\!\left(\tfrac{100}{7}, \tfrac{80}{7}\right) = 40 \cdot \tfrac{100}{7} + 60 \cdot \tfrac{80}{7} - \left(\tfrac{100}{7}\right)^2 - \tfrac{100}{7} \cdot \tfrac{80}{7} - 2 \left(\tfrac{80}{7}\right)^2 - 50$
$= \tfrac{4000 + 4800}{7} - \tfrac{10000 + 8000 + 12800}{49} - 50 = \tfrac{8800}{7} - \tfrac{30800}{49} - 50$
$= \tfrac{61600 - 30800}{49} - 50 = \tfrac{30800}{49} - 50 \approx 628{,}57 - 50 = 578{,}57$

Optimal produksjon: $x \approx 14{,}29, y \approx 11{,}43$ , maksimal profitt ca. $578{,}57$ kr.

📝Oppgave 3

Ei bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 50 x + 40 y - x^2 - x y - y^2$ .

Finn førsteordens vilkår.

Løys systemet.

Vis at det er eit lokalt maksimum.

Rekn ut maksimal profitt.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7 — Kostnadsminimering

Ei bedrift produserer ei vare ved hjelp av to innsatsfaktorar, og totalkostnaden er

C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 8x - 12y + 100.

Finn det punktet som minimerer kostnaden.

Førsteordens:

C_x = 2x + 2y - 8 = 0 \Rightarrow x + y = 4

C_y = 2x + 6y - 12 = 0 \Rightarrow x + 3y = 6

Trekk: $2y = 2 \Rightarrow y = 1, x = 3$ .

Andreordens:
$C_{xx} = 2, C_{yy} = 6, C_{xy} = 2$
$D = 2 \cdot 6 - 2^2 = 8 > 0, \quad C_{xx} = 2 > 0$

Det er eit lokalt minimum.

Minimumskostnad:
$C(3, 1) = 9 + 6 + 3 - 24 - 12 + 100 = 82$

Den optimale innsatsfaktorkombinasjonen er $(3, 1)$ , og minimumskostnaden er $82$ .

📝Oppgave 4

Ei bedrift har totalkostnad $C(x, y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy - 10 x - 14 y + 50$ for produksjon av to varer.

Finn førsteordens vilkår.

Finn det stasjonære punktet.

Vis at det er eit lokalt minimum.

Rekn ut minimumskostnaden.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8 — Profitt med to prisar

Ein monopolist sel same produkt i to marknader med etterspurnaden

x_1 = 60 - p_1, \quad x_2 = 40 - 0{,}5 p_2

Konstant marginalkostnad er 10 kr per eining, faste kostnader 100 kr. Finn dei prisane som maksimerer profitten.

Inntekt:

I = p_1 x_1 + p_2 x_2 = p_1(60 - p_1) + p_2(40 - 0{,}5 p_2) = 60 p_1 - p_1^2 + 40 p_2 - 0{,}5 p_2^2

Kostnad:
$C = 10(x_1 + x_2) + 100 = 10(60 - p_1 + 40 - 0{,}5 p_2) + 100 = 1000 - 10 p_1 - 5 p_2 + 100$
$= 1100 - 10 p_1 - 5 p_2$

Profitt:
$\pi(p_1, p_2) = I - C = 60 p_1 - p_1^2 + 40 p_2 - 0{,}5 p_2^2 - 1100 + 10 p_1 + 5 p_2$
$= 70 p_1 - p_1^2 + 45 p_2 - 0{,}5 p_2^2 - 1100$

Førsteordens:
$\pi_{p_1} = 70 - 2 p_1 = 0 \Rightarrow p_1 = 35$
$\pi_{p_2} = 45 - p_2 = 0 \Rightarrow p_2 = 45$

Andreordens:
$\pi_{p_1 p_1} = -2, \pi_{p_2 p_2} = -1, \pi_{p_1 p_2} = 0$
$D = 2 > 0, \pi_{p_1 p_1} < 0$ : lokalt maksimum.

Maksimal profitt: $\pi(35, 45) = 70 \cdot 35 - 35^2 + 45 \cdot 45 - 0{,}5 \cdot 45^2 - 1100 = 2450 - 1225 + 2025 - 1012{,}5 - 1100 = 1137{,}5$ kr.

Prisdifferensiering: Monopolisten set ofte forskjellige prisar i ulike marknader. Den optimale prisen i kvar marknad er der grenseinntekta i marknaden er lik felles grensekostnad. Det er ein direkte konsekvens av at

\pi_{p_1}

\pi_{p_2}

må vere null i optimum.

📝Oppgave 5

Ein monopolist sel to varer som er substitutt. Etterspurnaden er
$x_1 = 80 - 2 p_1 + p_2$ og $x_2 = 60 + p_1 - 2 p_2$ . Marginalkostnader er $10$ kr for vare 1 og $5$ kr for vare 2. Faste kostnader blir ignorerte.

Set opp profittfunksjonen $\pi(p_1, p_2)$ .

Finn førsteordens vilkår.

Løys systemet og finn optimal pris i kvar marknad.

Vis at det er eit lokalt maksimum.

✏️Eksempel 9 — Funksjon utan lokalt ekstremum

Vis at $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ har to stasjonære punkt, og klassifiser dei.

Førsteordens:

f_x = 3 x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2

f_y = 3 y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2

Set inn: $x = (x^2)^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x = 0 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0$ .
Løysingar: $x = 0$ (gir $y = 0$ ) og $x = 1$ (gir $y = 1$ ).

Stasjonære punkt: $(0, 0)$ og $(1, 1)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = 6x, f_{yy} = 6y, f_{xy} = -3$

Punkt $(0, 0)$ : $D = 0 - 9 = -9 < 0$ : sadelpunkt.

Punkt $(1, 1)$ : $D = 36 - 9 = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$ : lokalt minimum med $f(1, 1) = 1 + 1 - 3 = -1$ .

📝Oppgave 6

Finn og klassifiser alle stasjonære punkt for

f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2

f(x, y) = x^3 - 12 x + y^2 - 4y

f(x, y) = x^2 y - x^2 - 2y

✏️Eksempel 10 — Pris og kvantum

Ein produsent kan setje pris $p$ og kjøpt mengd marknadsføring $m$ . Etterspurnad er $q = 200 - p + 4\sqrt m$ . Marginalkostnaden er $20$ . Kostnad for marknadsføring er $m$ kr per eining. Faste kostnader = 0. Finn optimal pris og marknadsføring.

Inntekt:

I = p \cdot q = p(200 - p + 4\sqrt m)

Kostnad:

C = 20 q + m = 20(200 - p + 4\sqrt m) + m = 4000 - 20 p + 80\sqrt m + m

Profitt:

\pi(p, m) = p(200 - p + 4\sqrt m) - 4000 + 20 p - 80\sqrt m - m

= 200 p - p^2 + 4 p \sqrt m + 20 p - 80\sqrt m - m - 4000

= 220 p - p^2 + (4 p - 80)\sqrt m - m - 4000

Førsteordens:
$\pi_p = 220 - 2p + 4\sqrt m = 0$
$\pi_m = (4p - 80) \cdot \tfrac{1}{2\sqrt m} - 1 = \dfrac{4p - 80}{2\sqrt m} - 1 = 0$

Frå andre likning: $2 \sqrt m = 4p - 80 \Rightarrow \sqrt m = 2p - 40$ .

Set inn i første likning:
$220 - 2p + 4(2p - 40) = 0$
$220 - 2p + 8p - 160 = 0$
$6p + 60 = 0 \Rightarrow p = -10$

Og då $\sqrt m = 2 \cdot (-10) - 40 = -60$ . Begge resultata er økonomisk meiningslause (negativ pris og negativ kvadratrot).

Konklusjon: Det finst ingen indre stasjonært punkt med $p \geq 0$ og $m \geq 0$ . Vi må derfor sjekke randen $m = 0$ :
$\pi(p, 0) = (p - 20)(200 - p),$
som blir maksimert ved $p = 110$ med profitt $\pi = 90 \cdot 90 = 8100$ .

Bedrifta bør velje $p = 110$ og $m = 0$ — dvs. ikkje bruke noko på marknadsføring. Marknadsføringa er rett og slett for dyr i høve til den marginale etterspurnadsauken ho gir.

📝Oppgave 7

Ei bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 30 x + 20 y - x^2 - y^2 + xy - 10$ .

Finn førsteordens vilkår.

Løys systemet.

Vis at det er eit lokalt maksimum.

Rekn ut maksimal profitt (éin desimal).

📝Oppgave 8

Klassifiser alle stasjonære punkt for $f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3$ .

Finn alle stasjonære punkt.

Rekn ut $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ .

Klassifiser $(0, 0)$ .

Klassifiser $(1, 1)$ .

📜Oppsummering: Andreordens test

Trinn	Skildring
1	Finn $f_x$ og $f_y$
2	Løys systemet $f_x = 0, f_y = 0$ → stasjonære punkt $(a, b)$
3	Rekn ut $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ i $(a, b)$
4	Rekn ut $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
5	Bruk testen: $D > 0, f_{xx} > 0$ → min; $D > 0, f_{xx} < 0$ → maks; $D < 0$ → sadelpunkt; $D = 0$ → ubestemt

Hugs: Globale maksima/minima i eit avgrensa område kan også ligge på randen av definisjonsmengda — desse må sjekkast separat.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stasjonært punkt: Der både $f_x = 0$ og $f_y = 0$ (gradienten er null).
- Førsteordensvilkår: Nødvendig for indre maks/min.
- Hessian-determinanten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ .
- Andrederiverttest: $D$ og $f_{xx}$ avgjer om punktet er maks, min eller sadelpunkt.

Viktige formlar

f_x = 0, \quad f_y = 0

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Stasjonært punkt	$f_x = f_y = 0$
Hessian-determinant	$f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
Sadelpunkt	Verken maks eller min
Andrederiverttest	Klassifiserer stasjonære punkt

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.