5.6 Implisitt derivasjon

Derivasjon av kurver gitt på formen $F(x,y)=c$ og beregning av grensesubstitusjonsrate (MRS).

50 min

14 oppgaver

Implisitt derivasjonKjerneregelTangentligningMRSIsokvantIndifferenskurve

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Derivasjonsregler

Når $y$ ikkje er gitt eksplisitt

Så langt har vi alltid hatt funksjonar på forma $y = f(x)$ — $y$ er gitt eksplisitt som ein formel i $x$ . Men i økonomi og naturvitskap dukkar det ofte opp samanhengar som ikkje er løyste opp:

- Sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .
- Invers etterspurnadskurve $xy = 100$ .
- Cobb-Douglas-isokvant $K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100$ .
- Indifferenskurve $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ .

Slike samanhengar gir $y$ implisitt som funksjon av $x$ . Vi kan ofte ikkje (eller gidd ikkje) løyse for $y$ . Likevel vil vi gjerne vite korleis $y$ endrar seg når $x$ endrar seg — altså $\dfrac{dy}{dx}$ .

Løysinga er implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av likninga mhp. $x$ , behandlar $y$ som ein funksjon av $x$ , og løyser for $\dfrac{dy}{dx}$ .

Implisitt derivasjon — framgangsmåte

\dfrac{dy}{dx}

✏️Eksempel 1: Sirkelen

Finn $\dfrac{dy}{dx}$ for sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .

Steg 1: Deriver begge sider mhp.

x

$\frac{d}{dx}[x^2 + y^2] = \frac{d}{dx}[25].$

Steg 2: Bruk kjerneregelen på $y^2$ :

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

Steg 3: Løys for $\dfrac{dy}{dx}$ :

$2y \frac{dy}{dx} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$

Sjekk med eksplisitt formel: i øvre halvdel er $y = \sqrt{25 - x^2}$ , så $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{\sqrt{25 - x^2}} = -\dfrac{x}{y}$ . Same svar.

Tolking: I punktet $(3, 4)$ er stigingstalet til tangenten $-3/4$ .

Når vi deriverer

y^2

mhp.

x

, må vi hugse at

y

sjølv er ein funksjon av

x

. Slik som

\dfrac{d}{dx}[u^2] = 2u \cdot u'

for kva slags

u(x)

som helst, så er

$\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \cdot \frac{dy}{dx}.$

Generelt:

- $\dfrac{d}{dx}[y^n] = n y^{n-1} \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[\ln y] = \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[e^y] = e^y \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[xy] = y + x \cdot \dfrac{dy}{dx}$ (produktregel)

Faktoren $\dfrac{dy}{dx}$ er det som skil implisitt derivasjon frå vanleg derivasjon.

✏️Eksempel 2: Invers etterspurnadskurve $xy = 100$

Anta at ein marknad har samanhengen $xy = 100$ mellom pris $x$ og selt mengd $y$ . Finn $\dfrac{dy}{dx}$ ved hjelp av implisitt derivasjon, og verifiser med direkte derivasjon.

Implisitt derivasjon. Bruk produktregelen på venstresida:

$\frac{d}{dx}[xy] = \frac{d}{dx}[100].$

$1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

$x \frac{dy}{dx} = -y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.$

Verifisering ved direkte derivasjon. Vi løyser for $y$ : $y = 100/x = 100 x^{-1}$ . Då er

$\frac{dy}{dx} = -100 x^{-2} = -\frac{100}{x^2}.$

Sidan $100 = xy$ , kan vi skrive $-\dfrac{100}{x^2} = -\dfrac{xy}{x^2} = -\dfrac{y}{x}$ . Same svar.

Tolking: Viss prisen aukar med 1 krone, fell selt mengd med $y/x$ einingar ved noverande punkt. Forholdet $y/x$ er omvendt proporsjonalt med pris.

✏️Eksempel 3: Cobb-Douglas-isokvant

Ein produksjonsfunksjon er gitt ved

Q = K^{0{,}5} L^{0{,}5}

, der

K

er kapital og

L

er arbeidskraft. Alle kombinasjonar

(K, L)

som gir same produksjon

Q = 100

ligg på isokvanten

$K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100.$

Finn $\dfrac{dL}{dK}$ på isokvanten.

Vi deriverer begge sider mhp.

K

og bruker produkt- og kjerneregelen.

$\frac{d}{dK}[K^{0{,}5} L^{0{,}5}] = \frac{d}{dK}[100].$

Produktregel: deriver første gonger andre + første gonger derivert av andre.

$0{,}5 K^{-0{,}5} \cdot L^{0{,}5} + K^{0{,}5} \cdot 0{,}5 L^{-0{,}5} \cdot \frac{dL}{dK} = 0.$

Løys for $\dfrac{dL}{dK}$ :

$K^{0{,}5} \cdot 0{,}5 L^{-0{,}5} \cdot \frac{dL}{dK} = -0{,}5 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}.$

$\frac{dL}{dK} = -\frac{0{,}5 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}}{0{,}5 K^{0{,}5} L^{-0{,}5}} = -\frac{L^{0{,}5} L^{0{,}5}}{K^{0{,}5} K^{0{,}5}} = -\frac{L}{K}.$

Tolking: I punktet $(K, L) = (100, 100)$ er $\dfrac{dL}{dK} = -1$ — for å halde produksjonen konstant må vi redusere arbeid med 1 eining for kvar eining auke i kapital. I punktet $(K, L) = (25, 400)$ er $\dfrac{dL}{dK} = -16$ — vi må gi opp 16 arbeidarar for éi eining kapital.

Grensesubstitusjonsrate (MRS)

F(x_1, x_2) = c

✏️Eksempel 4: MRS for nyttefunksjon

Ein konsument har nyttefunksjonen $U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$ . Rekn ut MRS langs indifferenskurva $U = 32$ i punktet $(x_1, x_2) = (2, 4)$ .

Steg 1: Vi har likninga

x_1 \cdot x_2^2 = 32

. Deriver mhp.

x_1

$\frac{d}{dx_1}[x_1 x_2^2] = 0.$

Steg 2: Produktregel — med kjerneregel for $x_2^2$ :

$1 \cdot x_2^2 + x_1 \cdot 2 x_2 \frac{dx_2}{dx_1} = 0.$

Steg 3: Løys for $\dfrac{dx_2}{dx_1}$ :

$2 x_1 x_2 \frac{dx_2}{dx_1} = -x_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_2^2}{2 x_1 x_2} = -\frac{x_2}{2 x_1}.$

Steg 4: MRS er det motsette:

$\text{MRS} = \frac{x_2}{2 x_1}.$

I punktet $(2, 4)$ : $\text{MRS} = 4/(2 \cdot 2) = 1$ .

Tolking: Konsumenten er villig til å gi opp 1 eining av $x_2$ for 1 eining ekstra av $x_1$ i punktet $(2, 4)$ . Lenger ute langs kurva, der $x_2$ er mindre i forhold til $x_1$ , vil MRS vere mindre — typisk avtakande grensesubstitusjonsrate.

Viss du noterer dei partielle deriverte av

F(x, y) = c

som

F_x = \partial F/\partial x

F_y = \partial F/\partial y

(kapittel 7), så kan implisitt derivasjon kortast ned til

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}.$

Denne formelen er svært nyttig i fleirdimensjonell analyse og kjem ofte til syne i økonomisk teori. For å bruke han utan å gå inn på partielle deriverte, tenkjer du slik:

- $F_x$ = deriver $F$ med omsyn på $x$ som om $y$ var konstant.
- $F_y$ = deriver $F$ med omsyn på $y$ som om $x$ var konstant.

Sjekk: for $F(x,y) = x^2 + y^2$ er $F_x = 2x$ og $F_y = 2y$ , så $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x}{2y} = -\dfrac{x}{y}$ . Stemmer.

✏️Eksempel 5: Bruk av $-F_x/F_y$

Bruk formelen

\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}

for å derivere

$F(x,y) = x^3 + 3xy + y^2 = 11.$

Partielle deriverte:

- $F_x$ = deriver mhp. $x$ , held $y$ konstant: $F_x = 3x^2 + 3y$ .
- $F_y$ = deriver mhp. $y$ , held $x$ konstant: $F_y = 3x + 2y$ .

Resultat:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 3y}{3x + 2y}.$

Verifisering med direkte implisitt derivasjon:

$3x^2 + 3y + 3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$(3x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(3x^2 + 3y)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 3y}{3x + 2y}.$

Same svar — men formelen $-F_x/F_y$ er raskare når du har øving.

✏️Eksempel 6: Tangent til kurve

Finn likninga for tangenten til kurva $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1, 2)$ .

Steg 1: Sjekk at punktet ligg på kurva.

$1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7. \quad \text{OK}$

Steg 2: Deriver implisitt.

$2x + (y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2x + y + (x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.$

Steg 3: Stigingstal i $(1, 2)$ .

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)} = -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.$

Steg 4: Tangentlikning ved hjelp av punkt-stigingstal-form.

$y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1)$

$y = -\frac{4}{5} x + \frac{4}{5} + 2 = -\frac{4}{5} x + \frac{14}{5}.$

Tangenten har likning $y = -\dfrac{4}{5} x + \dfrac{14}{5}$ .

Vanleg feil: gløymer kjerneregelen

Den vanlegaste feilen er å derivere $y$ -ledd som om $y$ var ein konstant. Til dømes:

Feil: $\dfrac{d}{dx}[y^3] = 3y^2$
Rett: $\dfrac{d}{dx}[y^3] = 3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx}$

Kjerneregelen krev at vi multipliserer med den deriverte av kjernen — som her er $y$ , som sjølv er ein funksjon av $x$ . Gløym aldri faktoren $\dfrac{dy}{dx}$ .

✏️Eksempel 7: Logaritmisk nytte

Ein konsument har nyttefunksjonen $U(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2 \ln x_2$ . Finn MRS langs indifferenskurva $U = c$ .

Vi har

\ln x_1 + 2 \ln x_2 = c

. Deriver begge sider mhp.

x_1

$\frac{1}{x_1} + 2 \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{dx_2}{dx_1} = 0.$

Løys for $\dfrac{dx_2}{dx_1}$ :

$\frac{2}{x_2} \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{1}{x_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_2}{2 x_1}.$

Dermed

$\text{MRS} = \frac{x_2}{2 x_1}.$

MRS avtek når $x_1$ aukar (langs ei indifferenskurve avtek $x_2$ medan $x_1$ aukar, så teljaren minkar og nemnaren veks). Dette er avtakande grensesubstitusjonsrate — eit standardresultat for «pene» nyttefunksjonar.

📝Oppgave 1

Finn $\dfrac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon

x^2 + y^2 = 16

x^2 - y^2 = 4

3x + 5y = 20

x + y^3 = 8

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Implisitt derivasjon med produktregelen

xy = 50

x^2 y = 30

x y^2 = 12

x^2 + xy + y^2 = 10

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Stigingstal i eit bestemt punkt

x^2 + y^2 = 25

i punktet

(3, 4)

xy = 8

i punktet

(2, 4)

x^2 - 2xy + y^2 = 1

i punktet

(0, 1)

x^3 + y^3 = 9

i punktet

(1, 2)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Cobb-Douglas-isokvantar

For $Q = K^{0{,}4} L^{0{,}6}$ og ein isokvant $K^{0{,}4} L^{0{,}6} = 50$ , finn $\dfrac{dL}{dK}$ .

For $Q = K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100$ i punktet $(K, L) = (50, 200)$ , kva er MRS (-dL/dK)?

For $Q = K + 2L = 20$ , kva er $\dfrac{dL}{dK}$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

MRS for nyttefunksjonar

U(x_1, x_2) = x_1 x_2

. Finn MRS som funksjon av

x_1, x_2

U(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^3

. Finn MRS.

U(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2

. Finn MRS i punktet

(3, 6)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Tangentlikningar

Finn tangenten til $x^2 + y^2 = 10$ i punktet $(1, 3)$ .

Finn tangenten til $xy + y^2 = 6$ i punktet $(2, 1)$ .

Finn tangenten til $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ i punktet $(3/2, 3/2)$ (folium frå Descartes).

📝Oppgave 7

Bruksområde: invers etterspurnad og elastisitet

Etterspurnaden er gitt implisitt ved $p^2 + 2pq = 100$ der $p$ er pris og $q$ er selt mengd. Finn $\dfrac{dq}{dp}$ .

Rekn ut $\dfrac{dq}{dp}$ i punktet $(p, q) = (8, 2{,}25)$ . (Sjekk: $64 + 2 \cdot 8 \cdot 2{,}25 = 64 + 36 = 100$ . OK.)

Priselastisiteten er $E_p = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}$ . Rekn ut elastisiteten i punktet over.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Logaritmar og eksponentialar

\ln(xy) = 5

. Finn

\dfrac{dy}{dx}

e^{xy} = 7

. Finn

\dfrac{dy}{dx}

x^y = 8

(anta

x > 0

). Finn

\dfrac{dy}{dx}

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Implisitt derivasjon

Konsept	Formel
Kjerneregel for $y$ -ledd	$\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$
Produkt med $y$	$\displaystyle \frac{d}{dx}[xy] = y + x \frac{dy}{dx}$
Kompakt formel (kapittel 7)	$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
MRS langs isokvant/indifferenskurve	$\displaystyle \text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}$
Cobb-Douglas $K^a L^b = c$	$\displaystyle \frac{dL}{dK} = -\frac{a L}{b K}$

Framgangsmåte i 4 steg:
1. Deriver begge sider av

F(x,y) = c

mhp.

x

.
2. Bruk kjerneregelen på alle

y

-ledd — multipliser med

\displaystyle \frac{dy}{dx}

.
3. Samle

\displaystyle \frac{dy}{dx}

-ledd på éi side, andre ledd på motsett side.
4. Faktoriser ut

\displaystyle \frac{dy}{dx}

og løys likninga.
Hugs: Resultatet er som regel avhengig av både

x

y

— det er forventa, ikkje eit problem.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Implisitt derivasjon: Blir brukt når $y$ ikkje er gitt eksplisitt som funksjon av $x$ .
- Kjerneregelen for y-ledd: Hugs at $y$ er ein funksjon av $x$ .
- Framgangsmåte: Deriver begge sider og løys for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .
- MRS: Grensesubstitusjonsraten blir funnen ved implisitt derivasjon av ei indifferenskurve.

Viktige formlar

\frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}

\text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Implisitt derivasjon	Derivere når $y$ er implisitt
Kjerneregel	Blir brukt på $y$ -ledd
Indifferenskurve	Kurve med lik nytte
MRS	Grensesubstitusjonsrate

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

Når yyy ikkje er gitt eksplisitt

Oppsummering

Viktige formlar

Nøkkelomgrep

Når $y$ ikkje er gitt eksplisitt