3.6 Rasjonale funksjoner | Matematikk for økonomer

Funksjoner på brøkform med polynomer, asymptoter og definisjonsmengde.

35 min

10 oppgaver

Rasjonale funksjonerAsymptoterDefinisjonsmengde

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.5Nullpunkter og fortegn 1.6Rasjonale uttrykk

Ein rasjonal funksjon er ein brøk der både teljar og nemnar er polynom. Desse funksjonane har spesielle eigenskapar som asymptotar og hol i grafen.

I dette kapitlet lærer du:
- Definisjonsmengd
- Vertikale asymptotar
- Horisontale asymptotar

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Eksempel 1

Finn definisjonsmengda til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ .

Nemnaren er null når:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Definisjonsmengd: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Alle reelle tal bortsett frå $x = -2$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengda:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 3}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 9}

Vertikal asymptote

x = a

✏️Eksempel 2

Finn vertikale asymptotar for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$ .

Nemnaren er null når $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Teljaren $x + 1$ er ikkje null i desse punkta.

Vertikale asymptotar: $x = 2$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn vertikale asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

Horisontal asymptote

y = b

✏️Eksempel 3

Finn horisontal asymptote for $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Teljar har grad 1, nemnar har grad 1.
Gradane er like.

$y = \frac{\text{leiande koeff. i teljar}}{\text{leiande koeff. i nemnar}} = \frac{3}{1} = 3$

Horisontal asymptote: $y = 3$

📝Oppgave 3

Finn horisontale asymptotar:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}

✏️Eksempel 4

Analyser $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Faktoriser teljaren:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

For $x \neq 1$ :
$f(x) = x + 1$

Viktig: $f(1)$ er udefinert!

Grafen er linja $y = x + 1$ med eit hol i punktet $(1, 2)$ .

Dette er ikkje ein vertikal asymptote fordi teljaren òg er null i $x = 1$ .

📝Oppgave 4

Forenkl og finn hol i grafen: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Å skissere rasjonale funksjonar

1. Finn definisjonsmengda
2. Finn vertikale asymptotar
3. Finn horisontale asymptotar
4. Finn nullpunkt ( $f(x) = 0$ )
5. Finn $y$ -skjering ( $f(0)$ )

✏️Eksempel 5

Finn alle asymptotar og nullpunkt for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Vertikal asymptote: Nemnar null når

x = 1

. Asymptote:

x = 1

Horisontal asymptote: Grad teljar = grad nemnar = 1.
$\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$ . Asymptote: $y = 1$

Nullpunkt: Teljar null når $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$y$ -skjering: $\displaystyle f(0) = \frac{2}{-1} = -2$

📝Oppgave 5

Finn alle asymptotar, nullpunkt og $y$ -skjering for $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$ .

📝Oppgave 6

Finn nullpunkta til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 1}$ .

📜Oppsummering: Rasjonale funksjonar

Ein rasjonal funksjon er på forma $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynom.

Omgrep	Regel/Metode
Definisjonsmengd	$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$
Nullpunkt	$P(x) = 0$ og $Q(x) \neq 0$
Vertikal asymptote	$Q(x) = 0$ og $P(x) \neq 0$ i same punktet
Hol i grafen	Både $P(x) = 0$ og $Q(x) = 0$ (felles faktor som blir forkorta)
Horisontal asymptote, $\deg P < \deg Q$	$y = 0$
Horisontal asymptote, $\deg P = \deg Q$	$y = \dfrac{\text{leiande koeff. } P}{\text{leiande koeff. } Q}$
Horisontal asymptote, $\deg P > \deg Q$	Ingen horisontal asymptote
$y$ -skjering	$f(0) = \dfrac{P(0)}{Q(0)}$ (dersom definert)
Forenkling	Faktoriser teljar og nemnar og forkort felles faktorar

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein medstudent skriv: "Funksjonen

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}

har ein vertikal asymptote i

x = 1

fordi nemnaren blir null der." Kva er feilen? Forklar kvifor

x = 1

eigentleg gir eit HOL i grafen og ikkje ein asymptote.

Forklar skilnaden. Forklar skilnaden mellom eit hol og ein vertikal asymptote i grafen til ein rasjonal funksjon. Korleis kjenner du dei frå kvarandre algebraisk — altså ved å sjå på uttrykket før du teiknar grafen?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonal funksjon: Ein brøk der teljar og nemnar er polynom.
- Definisjonsmengd: Alle $x$ der nemnaren ikkje er null.
- Vertikal asymptote: Der nemnaren er null (og teljaren ikkje).
- Horisontal asymptote: Blir avgjord av gradane til teljar og nemnar.

Viktige formlar

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rasjonal funksjon	Brøk av to polynom
Definisjonsmengd	Der nemnaren ikkje er null
Vertikal asymptote	$x = a$ der nemnar = 0
Horisontal asymptote	$y = b$ når $x \to \pm\infty$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.