3.4 Logaritmar | Matematikk for økonomer

Logaritmeomgrepet, logaritmereglar og løysing av eksponentiallikningar.

55 min

16 oppgaver

LogaritmarBriggske logaritmarNaturlege logaritmarLogaritmereglar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Eksponentialfunksjoner

Logaritmar er det motsette av potensar. I økonomi bruker vi logaritmar til å finne ut kor lang tid det tek før ei investering når ein viss verdi, eller til å løyse likningar der den ukjende står i eksponenten.

Logaritme

x

Briggske og naturlege logaritmar

\log x = \log_{10} x

✏️Eksempel 1

Rekn ut utan kalkulator:

a) $\log_2 16$
b) $\log_3 27$
c) $\log 1000$
d) $\ln e^5$

Løysing:

a) $\log_2 16 = 4$ fordi $2^4 = 16$

b) $\log_3 27 = 3$ fordi $3^3 = 27$

c) $\log 1000 = 3$ fordi $10^3 = 1000$

d) $\ln e^5 = 5$ fordi $e^5 = e^5$

📝Oppgave 1

Rekn ut utan kalkulator

\log_2 32

\log_4 64

\log 10\,000

\ln e^2

\log_5 125

\displaystyle \log_2 \frac{1}{8}

Løs oppgaven

📜Logaritmereglar

For positive tal $x$ og $y$ , og vilkårleg grunntal $a > 0$ , $a \neq 1$ :

Regel	Formel
Produktregelen	$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
Kvotientregelen	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Potensregelen	$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Logaritme av 1	$\log_a 1 = 0$
Logaritme av grunntal	$\log_a a = 1$

✏️Eksempel 2

Skriv som éin logaritme:

a) $\log 5 + \log 4$
b) $\ln 12 - \ln 3$
c) $3 \log 2$

Løysing:

a) $\log 5 + \log 4 = \log(5 \cdot 4) = \log 20$

b) $\displaystyle \ln 12 - \ln 3 = \ln\left(\frac{12}{3}\right) = \ln 4$

c) $3 \log 2 = \log 2^3 = \log 8$

📝Oppgave 2

Skriv som éin logaritme

\log 8 + \log 5

\ln 20 - \ln 4

2 \log 5

\log 6 + \log 3 - \log 2

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16

Løs oppgaven

Løyse eksponentiallikningar

Når den ukjende står i eksponenten, tek vi logaritmen på begge sider:

$a^x = b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln b}{\ln a}$

Dette følgjer av potensregelen: $\ln(a^x) = x \cdot \ln a$ .

✏️Eksempel 3

Løys likninga $2^x = 10$

Løysing:

Vi tek den naturlege logaritmen på begge sider:
$\ln(2^x) = \ln 10$

Bruker potensregelen:
$x \cdot \ln 2 = \ln 10$

Løyser for $x$ :
$x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \frac{2{,}303}{0{,}693} \approx 3{,}32$

📝Oppgave 3

Løys eksponentiallikningane (bruk kalkulator)

3^x = 20

5^x = 100

1{,}05^x = 2

e^x = 50

Løs oppgaven

Bruk i økonomi

Eksempel: Doblingstid

Kor lang tid tek det før ei investering doblar seg med $r\%$ årleg rente?

Vi løyser $K_0 \cdot (1+r)^t = 2K_0$ :
$(1+r)^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tommelfingerregel: Doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{r}$ (der $r$ er rentesatsen i prosent)

✏️Eksempel 4

Du investerer 50 000 kr med 6% årleg avkastning. Kor lang tid tek det før investeringa er verdt 80 000 kr?

Løysing:

Vi løyser: $50\,000 \cdot 1{,}06^t = 80\,000$

$1{,}06^t = \frac{80\,000}{50\,000} = 1{,}6$

$t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06} = \frac{0{,}470}{0{,}058} \approx 8{,}1 \text{ år}$

Det tek ca. 8 år og 1 månad.

📝Oppgave 4

Løys dei økonomiske problema

Kor lang tid tek det å doble ei investering med 5% årleg rente?

Ei investering på 100 000 kr skal vekse til 150 000 kr med 8% årleg avkastning. Kor lang tid tek det?

Ein bil fell 12% i verdi per år. Kor lang tid tek det før verdien er halvert?

Du vil ha 1 000 000 kr om 20 år. Med 7% årleg avkastning, kor mykje må du investere no?

Løs oppgaven

📜Skifte av grunntal

Vi kan skrive om logaritmar frå eitt grunntal til eit anna:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$

Dette er nyttig når kalkulatoren berre har $\ln$ og $\log$ .

📝Oppgave 5

Rekn ut med kalkulator

\log_2 50

\log_3 100

\log_5 1000

Løs oppgaven

📜Oppsummering: Logaritmar

Omgrep/Regel	Formel
Definisjon	$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$
Briggsk logaritme	$\log x = \log_{10} x$
Naturleg logaritme	$\ln x = \log_e x$
Produktregel	$\log(xy) = \log x + \log y$
Kvotientregel	$\log(x/y) = \log x - \log y$
Potensregel	$\log(x^n) = n \cdot \log x$
Løyse $a^x = b$	$\displaystyle x = \frac{\ln b}{\ln a}$
Skifte grunntal	$\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein medstudent skriv: "

\ln(x+y) = \ln x + \ln y

." Kva er feilen? Skriv den rette logaritmeregelen som studenten kanskje blandar han med, og forklar med ord når ein kan flytte ledd inn og ut av ein logaritme.

Forklar utan formlar. Forklar kvifor argumentet til ein logaritme alltid må vere positivt — altså kvifor

\ln(x)

berre er definert for

x > 0

. Kva tyder dette grafisk for grafen til

y = \ln x

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Logaritme: Det motsette av potens; $\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$ .
- Briggske og naturlege logaritmar: Grunntal 10 ( $\log$ ) og $e$ ( $\ln$ ).
- Logaritmereglar: Produkt, kvotient og potens kan skrivast om.
- Bruk: Logaritmar løyser eksponentiallikningar, t.d. doblingstid.

Viktige formlar

\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x

a^x = b \Rightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Logaritme	Eksponenten som gir eit tal
$\ln$	Naturleg logaritme (grunntal $e$ )
$\log$	Briggsk logaritme (grunntal 10)
Doblingstid	Tid før ein verdi doblar seg

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.