3.1 Lineære funksjoner | Matematikk for økonomer

Rette linjer, stigningstall, konstantledd og ettpunktsformelen.

45 min

14 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddEttpunktsformelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Andregradsfunksjoner 6.1Kostnadsfunksjoner 7.1Funksjoner av to variabler

Enkel innsetjing

Når vi har eit matematisk uttrykk, til dømes $2x + 1$ , så seier vi ofte at $x$ er ein variabel. Det er fordi $x$ kan vere mange ulike verdiar (han varierer).

Du kan velje kva tal du vil erstatte $x$ med — dette kallar vi å setje inn ein verdi for $x$ .

✏️Eksempel 1

Set inn $x = 3$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva verdi du får.

a) $4x + 1$

b) $-2x + 4$

Løysing:

a) Uttrykket er $4 \cdot x + 1$ . Vi skal setje inn $x = 3$ , det vil seie at vi erstattar $x$ med 3:
$4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$

b) Vi erstattar $x$ med 3 og reknar ut:
$-2x + 4 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$

📝Oppgave 1

Set inn $x = 2$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva verdi du får.

x + 3

3x - 1

-4x + 10

Avhengig og uavhengig variabel

Nokre gonger er verdien til ein variabel (ofte $y$ ) avhengig av verdien til ein annan variabel (ofte $x$ ).

- $x$ kallar vi den uavhengige variabelen — han kan vi velje fritt
- $y$ kallar vi den avhengige variabelen — verdien blir fastsett av $x$

Eksempel: I uttrykket $y = 2x - 3$ ser vi at:
- Når $x = 4$ : $y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Verdien til $y$ er altså avhengig av kva verdien til $x$ er.

✏️Eksempel 2

Set inn $x = -2$ i uttrykka nedanfor og rekn ut verdien til $y$ .

a) $y = 2x - 1$

b) $y = -x + 4$

Løysing:

a) Vi set $-2$ inn for $x$ i uttrykket og reknar ut:
$y = 2 \cdot x - 1 = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

b) Vi set $-2$ inn for $x$ i uttrykket og reknar ut:
$y = -x + 4 = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$

📝Oppgave 2

Set inn $x = -3$ i uttrykka nedanfor og rekn ut kva verdi $y$ får.

y = x + 5

y = 2x - 1

y = -4x + 1

Linjer og enkel innsetjing

Ei linje i koordinatsystemet kan skildrast med ein «regel» som $y = 2x$ .

Alle punkt på linja følgjer denne regelen:
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 = 2$ → punktet $(1, 2)$
- Når $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 = 6$ → punktet $(3, 6)$
- Når $x = -2$ : $y = 2 \cdot (-2) = -4$ → punktet $(-2, -4)$

For å teikne ei linje kan vi:
1. Velje nokre $x$ -verdiar (t.d. 3 verdiar spreidde utover)
2. Rekne ut tilhøyrande $y$ -verdiar
3. Markere punkta i koordinatsystemet
4. Teikne ei rett linje gjennom punkta

📊Linja $y = 2x$

Linja $y = 2x$ med nokre punkt markerte.

✏️Eksempel 3

Teikn linja som følgjer «regelen» $y = 2x - 2$ i eit koordinatsystem frå $x = -4$ til $x = 5$ .

Løysing:

Vi byrjar med å finne 3 punkt som følgjer regelen $y = 2x - 2$ .

Eg vel $x = -3$ , $x = 0$ og $x = 4$ (spreidde utover).

For $x = -3$ :
$y = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$
Første punkt: $(-3, -8)$

For $x = 0$ :
$y = 2 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$
Andre punkt: $(0, -2)$

For $x = 4$ :
$y = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$
Tredje punkt: $(4, 6)$

Vi markerer punkta i koordinatsystemet og teiknar ei rett linje gjennom dei.

📊Eksempel 3: $y = 2x - 2$

Linja $y = 2x - 2$ med dei utrekna punkta.

Tips: Val av $x$ -verdiar

Vi kan velje kva $x$ -verdiar vi vil, men for å teikne ei best mogleg linje er det lurt å velje $x$ -verdiar som er spreidde utover koordinatsystemet.

God praksis:
- Vel éin negativ verdi (t.d. $x = -3$ )
- Vel $x = 0$ (gir skjeringspunktet med $y$ -aksen)
- Vel éin positiv verdi (t.d. $x = 4$ )

📝Oppgave 3

Teikn eit koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovanfor til å teikne grafane til:

y = 2x + 1

y = x - 2

y = -2x + 3

Stigingstal og konstantledd

Linjer i koordinatsystemet blir ofte skildra på forma:

$y = ax + b$

Her kallar vi:
- $a$ for stigingstalet
- $b$ for konstantleddet

Eksempel: I linja $y = 2x + 1$ er stigingstalet $a = 2$ og konstantleddet $b = 1$ .

Konstantleddet

b

Stigingstalet

a

📊Stigingstal og konstantledd

Linja $y = 2x + 1$ med stigingstal $a = 2$ og konstantledd $b = 1$ .

Korleis lese av stigingstalet frå grafen

For linja $y = 2x + 1$ :
- Start i eit punkt på linja, t.d. $(0, 1)$
- Gå 1 eining til høgre (langs $x$ -aksen)
- Sjå kor mykje du må gå opp/ned for å treffe linja igjen

I dette tilfellet må vi gå 2 opp → stigingstalet er $a = 2$ .

Brukar vi uttrykket $y = 2x + 1$ ser vi at dersom $x$ aukar med 1, så aukar $y$ med 2:
- $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (auke på 2)

✏️Eksempel 4

Teikn grafen til linja $y = -3x + 4$

Her er stigingstalet $a = -3$ og konstantleddet $b = 4$ .

Løysing:

Steg 1: Teikn koordinatsystemet og marker eit punkt med konstantleddet på $y$ -aksen.

I dette tilfellet er konstantleddet $b = 4$ , så vi markerer punktet $(0, 4)$ .

Steg 2: Beveg deg 1 til høgre og opp/ned stigingstalet.

Stigingstalet er $a = -3$ , så vi bevegar oss 1 til høgre og 3 ned. Vi får punktet $(1, 1)$ .

Steg 3: Ta fram ein linjal og teikn linja som går gjennom dei 2 punkta.

Du har no teikna linja $y = -3x + 4$ .

📊Eksempel 4: $y = -3x + 4$

Linja $y = -3x + 4$ teikna ved hjelp av konstantledd og stigingstal.

📝Oppgave 4

Teikn eit koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovanfor til å teikne grafane til:

y = 3x + 1

y = x - 2

y = -x + 1

📝Oppgave 5

Sjå på grafane og fastset konstantleddet $b$ og stigingstalet $a$ . Skriv deretter funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

📝Oppgave 6

Fastset stigingstal $a$ og konstantledd $b$ for kvar av grafane under. Skriv funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

Oppsummering

For ein lineær funksjon $y = ax + b$ :

Omgrep	Tyding	Korleis finne frå graf
Konstantledd $b$	Skjering med $y$ -aksen	Les av $y$ -verdien der linja kryssar $y$ -aksen
Stigingstal $a$	Kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1	Gå 1 til høgre, tel opp/ned til linja

Hugseregel:
-

a > 0

: Linja stig (oppover mot høgre)
-

a < 0

: Linja synk (nedover mot høgre)

- $a = 0$ : Horisontal linje

📝Oppgave 7

Blanda oppgåver om lineære funksjonar.

Kva er stigingstalet og konstantleddet til $y = 5x - 2$ ?

Kva er stigingstalet og konstantleddet til $y = -x + 7$ ?

Ei linje har stigingstal 3 og konstantledd $-4$ . Skriv funksjonsuttrykket.

Ei linje går gjennom $(0, 5)$ og $(1, 2)$ . Finn stigingstalet og skriv funksjonsuttrykket.

📝Oppgave 8

Utfordringsoppgåver.

Ei linje går gjennom punkta $(2, 7)$ og $(4, 13)$ . Finn stigingstalet.

Bruk svaret frå a) til å finne konstantleddet. (Hint: Set inn eitt av punkta)

Skriv funksjonsuttrykket for linja.

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein medstudent skriv i eit notat: "Stigingstalet til ei linje er

\Delta y - \Delta x

." Kva er feil? Skriv den rette formelen, og forklar med ord kva stigingstalet tyder praktisk for ei linje som skildrar kostnad som funksjon av talet på einingar.

Forklar utan å rekne. Kvifor har to parallelle linjer alltid nøyaktig same stigingstal? Kva er då skilnaden mellom dei reint matematisk? Bruk eit kvardagsbilete for å illustrere.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære funksjonar

Omgrep/Regel	Formel
Generell form	$f(x) = ax + b$
Stigingstal	$a$ — kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1
Konstantledd	$b$ — skjering med $y$ -aksen i $(0, b)$
Stigingstal frå to punkt	$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Eitt-punktsformelen	$y - y_1 = a(x - x_1)$
To-punktsformelen	$y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
Nullpunkt	$x = -\dfrac{b}{a}$ (når $a \neq 0$ )
Parallelle linjer	Same stigingstal: $a_1 = a_2$
Normale linjer	$a_1 \cdot a_2 = -1$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.