10.4 Uendelige rekker og perpetuiteter | Matematikk for økonomer

Uendelig geometrisk rekke $\sum a_1 k^n = \tfrac{a_1}{1-k}$, perpetuitet $\tfrac{C}{r}$, Gordons formel og multiplikatoreffekten.

55 min

16 oppgaver

Uendelig rekkeKonvergensPerpetuitetGordons formelMultiplikatoreffektenAksjeprising

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.3Geometriske rekker 4.3Annuiteter

Uendelege rekkjer

Kan ein sum av uendeleg mange tal vere endeleg? Intuitivt høyrest det rart ut, men svaret er ja — under visse vilkår. Når vi summerer ledda i ein geometrisk følgje der ledda blir mindre og mindre raskt nok, så stabiliserer summen seg på ein bestemt verdi.

Dette er grunnlaget for perpetuitetar — evigvarande kontantstraumar — som er eit fundamentalt verktøy i finansmatematikk og verdsetjing av aksjar.

Uendeleg rekkje

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots

✏️Eksempel 1: Ei konvergerande rekkje

Undersøk rekkja $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots$

Løysing:

Dette er ei geometrisk rekkje med $a_1 = \tfrac{1}{2}$ og $k = \tfrac{1}{2}$ . Partialsummane er:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Når $n \to \infty$ , går $(1/2)^n \to 0$ , så:

$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$

Rekkja konvergerer og har sum 1.

Vi kan tenkje geometrisk: sjå for deg eit kvadrat med areal 1. Først tek vi halvparten ( $\tfrac{1}{2}$ ), så halvparten av resten ( $\tfrac{1}{4}$ ), og så vidare. Til slutt fyller vi opp heile kvadratet — total sum er 1.

Når konvergerer ei geometrisk rekkje?

For ei uendeleg geometrisk rekkje $\sum_{n=1}^\infty a_1 k^{n-1}$ veit vi at

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} \quad (k \neq 1)$

Når $n \to \infty$ blir åtferda avgjord av $k^n$ :

- Hvis $|k| < 1$ : $k^n \to 0$ , så $S_n \to \dfrac{a_1}{1 - k}$ — rekkja konvergerer.
- Hvis $|k| > 1$ : $|k^n| \to \infty$ , så rekkja divergerer.
- Hvis $k = 1$ : alle ledd er like, $S_n = n \cdot a_1 \to \pm \infty$ — divergerer.
- Hvis $k = -1$ : $S_n$ oscillerer mellom 0 og $a_1$ — divergerer.

📜Sum av uendeleg geometrisk rekkje

For

|k| < 1

konvergerer den uendelege geometriske rekkja, og summen er:

$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_1 k^{n-1} = \frac{a_1}{1 - k}$

Konvergens-vilkår: $|k| < 1$ er strengt nødvendig for at rekkja skal konvergere.

✏️Eksempel 2: Uendeleg sum

Finn summen av den uendelege rekkja:

a) $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \ldots$

b) $4 - 2 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \ldots$

Løysing:

a) Geometrisk rekkje med $a_1 = 1$ og $k = \tfrac{1}{3}$ . Sidan $|k| < 1$ , konvergerer rekkja:
$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$

b) Geometrisk rekkje med $a_1 = 4$ og $k = -\tfrac{1}{2}$ . Sidan $|k| = \tfrac{1}{2} < 1$ , konvergerer rekkja:
$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{4}{1 - (-1/2)} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

✏️Eksempel 3: Divergerande rekkjer

Undersøk om rekkjene konvergerer:

a) $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots$

b) $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots$

Løysing:

a) Geometrisk med $a_1 = 1$ , $k = 2$ . Sidan $|k| = 2 > 1$ , divergerer rekkja. Partialsummane $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$ veks utan grense.

b) Geometrisk med $a_1 = 1$ , $k = -1$ . Partialsummane oscillerer: $S_1 = 1$ , $S_2 = 0$ , $S_3 = 1$ , $S_4 = 0$ , … Rekkja divergerer.

Merk at den intuitive ideen "summen kunne vere $\tfrac{1}{2}$ " (eit gjennomsnitt) er ein variant kalla Cesàro-sum, men i den vanlege tydinga divergerer rekkja.

Konvergens-vilkåret er kritisk

Sumformelen $S = \dfrac{a_1}{1 - k}$ er berre gyldig for $|k| < 1$ .

Bruk aldri formelen på $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots$ for å "vise" at summen er $\tfrac{1}{1 - 2} = -1$ — det er meiningslaust, fordi formelen ikkje gjeld her. Rekkja divergerer.

I økonomi: hvis vekstraten $g$ overstig avkastningskravet $r$ i Gordons formel, kollapsar modellen og vi får uendeleg nåverdi (urealistisk).

📝Oppgave 1

Sum av uendeleg geometrisk rekkje

1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots

5 + 1 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \ldots

10 - 2 + 0{,}4 - 0{,}08 + \ldots

3 + \tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{3}{64} + \ldots

Løs oppgaven Tren

Perpetuitet — evigvarande annuitet

Ein perpetuitet er ein kontantstraum der ein mottek eit fast beløp $C$ ved slutten av kvar periode i all æve. Sjølv om dette høyrest uoppnåeleg ut, blir perpetuitetar ofte brukte til å modellere:

- Aksjeutbytte (under føresetnad om konstante utbytte)
- Statsobligasjonar utan forfallsdato (såkalla "consols")
- Verdsetjing av selskap som ein ventar skal eksistere svært lenge
- Stipend som blir utbetalte årleg frå ei evig fondsbehaldning

✏️Eksempel 4: Utleiing av perpetuitetsformelen

Ein perpetuitet utbetaler $C$ kroner ved slutten av kvart år i æve. Avkastningskravet er $r > 0$ . Vis at nåverdien er $NV = \dfrac{C}{r}$ .

Løysing:

Nåverdien er summen av nåverdiane av alle dei framtidige utbetalingane:

$NV = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{(1 + r)^2} + \frac{C}{(1 + r)^3} + \ldots$

Dette er ei uendeleg geometrisk rekkje med:
- Første ledd: $a_1 = \dfrac{C}{1 + r}$
- Kvotient: $k = \dfrac{1}{1 + r}$

Sidan $r > 0$ er $0 < k < 1$ , og rekkja konvergerer. Vi får:

$NV = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{1 - \tfrac{1}{1 + r}} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{\tfrac{(1+r) - 1}{1 + r}} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{\tfrac{r}{1 + r}}$

$NV = \frac{C}{1 + r} \cdot \frac{1 + r}{r} = \frac{C}{r}$

Dette er den berømte perpetuitetsformelen.

📜Nåverdi av perpetuitet

Nåverdien av ein perpetuitet som utbetaler

C

ved slutten av kvar periode i all æve, med avkastningskrav

r

per periode:

$NV = \frac{C}{r}$

Føresetnader: $r > 0$ (positiv avkastning), og utbetalinga $C$ er konstant.

✏️Eksempel 5: Aksjeprising med utbytte

Ein aksje betaler 8 kr i årleg utbytte og ein ventar at han skal gjere det i overskodeleg framtid. Investorar krev 10 % avkastning. Kva er ein rimeleg pris på aksjen?

Løysing:

Vi modellerer utbytta som ein perpetuitet med $C = 8$ kr/år og $r = 0{,}10$ :

$NV = \frac{C}{r} = \frac{8}{0{,}10} = 80 \text{ kr}$

Ein rimeleg pris er 80 kr per aksje.

Generelt: ein aksje med høgare utbytte og lågare avkastningskrav er meir verdt.

✏️Eksempel 6: Etablering av eit evig stipend

Eit legat ønskjer å dele ut 100 000 kr i året til ein student i all æve. Hvis fondet kan investere pengane til 4 % årleg avkastning, kor mykje må legatkapitalen vere?

Løysing:

Vi løyser formelen $NV = \tfrac{C}{r}$ for $NV$ :

$NV = \frac{100\,000}{0{,}04} = 2\,500\,000 \text{ kr}$

Legatet treng ein startkapital på 2 500 000 kr for å kunne dele ut 100 000 kr årleg i all æve.

Intuisjonen: fondet tener $0{,}04 \cdot 2\,500\,000 = 100\,000$ kr i renter kvart år, og deler ut nettopp dette beløpet. Kapitalen held seg intakt for alltid.

📝Oppgave 2

Perpetuitetar

Ein aksje betaler 12 kr/år i utbytte. Avkastningskrav 8 %. Kva er aksjeprisen?

Eit fond skal dele ut 50 000 kr/år i æve. Avkastning 3 %. Kor mykje må fondet ha?

Ein perpetuitet har nåverdi 800 000 kr ved 5 % avkastningskrav. Kva er det årlege beløpet?

Hvis avkastningskravet i b) fell frå 3 % til 2 %, kor stor blir fondsstorleiken?

Løs oppgaven Tren

Voksande perpetuitet — Gordons formel

I røynda veks ofte utbytte, løn og kontantstraumar over tid. Vi kan utvide perpetuitetsformelen til tilfellet der betalinga veks med ein konstant vekstrate $g$ per periode:

$C_1, \quad C_1 (1+g), \quad C_1 (1+g)^2, \quad \ldots$

Dette gir nåverdien som ei uendeleg geometrisk rekkje. Resultatet — Gordons formel — er fundamentalt i aksjeprising og verksemdsverdsetjing.

📜Gordons formel (voksande perpetuitet)

Hvis ein perpetuitet startar med utbetaling

C_1

ved slutten av periode 1, og deretter veks med rate

g

per periode, og avkastningskravet er

r

med

r > g

$NV = \frac{C_1}{r - g}$

Føresetnader: $r > g \geq 0$ (avkastningskravet må vere større enn vekstraten — elles divergerer rekkja og modellen kollapsar).

✏️Eksempel 7: Utleiing av Gordons formel

Vis at nåverdien av ein voksande perpetuitet med utbetaling $C_1$ i periode 1, vekstrate $g$ og avkastningskrav $r > g$ er $NV = \dfrac{C_1}{r - g}$ .

Løysing:

Nåverdien er:
$NV = \frac{C_1}{1 + r} + \frac{C_1 (1+g)}{(1 + r)^2} + \frac{C_1 (1+g)^2}{(1 + r)^3} + \ldots$

Dette er ei geometrisk rekkje med:
- $a_1 = \dfrac{C_1}{1 + r}$
- $k = \dfrac{1 + g}{1 + r}$

Fordi $r > g$ , er $1 + r > 1 + g > 0$ , så $0 \leq k < 1$ og rekkja konvergerer:

$NV = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{1 - \tfrac{1+g}{1+r}} = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{\tfrac{(1+r) - (1+g)}{1+r}}$

$NV = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{\tfrac{r - g}{1+r}} = \frac{C_1}{1 + r} \cdot \frac{1 + r}{r - g} = \frac{C_1}{r - g}$

Dette er Gordons formel (òg kalla Gordon Growth Model).

✏️Eksempel 8: Aksjeprising med voksande utbytte

Ein aksje betaler 5 kr i utbytte neste år. Ein ventar at utbytta skal vekse med 3 % per år. Hvis avkastningskravet er 9 %, kva er verdien av aksjen i dag?

Løysing:

Gordons formel med $C_1 = 5$ , $g = 0{,}03$ , $r = 0{,}09$ :

$NV = \frac{C_1}{r - g} = \frac{5}{0{,}09 - 0{,}03} = \frac{5}{0{,}06} \approx 83{,}33 \text{ kr}$

Verdien av aksjen er ca. 83,33 kr.

Samanlikning: Hvis utbyttet ikkje hadde vakse ( $g = 0$ ), ville prisen vore $\tfrac{5}{0{,}09} \approx 55{,}56$ kr. Vekstforventningane aukar dermed prisen med ca. 28 kr.

Når Gordons formel bryt saman

Hvis vekstraten $g$ nærmar seg avkastningskravet $r$ , eksploderer nåverdien:

- $g = 0{,}05$ , $r = 0{,}06 \Rightarrow NV = \tfrac{C_1}{0{,}01}$ — 100 gonger $C_1$
- $g = 0{,}059$ , $r = 0{,}06 \Rightarrow NV = \tfrac{C_1}{0{,}001}$ — 1 000 gonger $C_1$
- $g \geq r$ : rekkja divergerer — nåverdien blir uendeleg

Dette er urealistisk. Inga reell verksemd kan vekse fortare enn avkastningskravet i økonomien i æve. Gordons formel føreset $r > g$ strengt — og i praksis bør $g$ liggje nær langsiktig BNP-vekst (2–3 %).

📝Oppgave 3

Gordons formel

Ein aksje betaler 4 kr i utbytte neste år. Utbyttet veks med 2 % per år. Avkastningskrav 7 %. Kva er aksjeprisen?

Ein aksje kostar 200 kr og betaler 10 kr i utbytte neste år. Utbyttet veks med 3 %. Kva er implisitt avkastningskrav?

Selskap A betaler 6 kr utbytte neste år, vekst 4 %, $r = 10\%$ . Selskap B betaler 8 kr utbytte neste år, vekst 1 %, $r = 10\%$ . Kva for eitt er mest verdt?

Eit fond utbetaler 200 000 kr i år 1 og aukar beløpet med 2,5 % per år. Avkastning 5 %. Kva må startkapitalen vere?

Løs oppgaven Tren

Multiplikatoreffekten i makroøkonomi

Uendelege geometriske rekkjer dukkar òg opp i makroøkonomi gjennom multiplikatoreffekten. Anta at ein husstand får 1 000 kr ekstra inntekt. Av dette bruker dei ein del $c$ (konsumtilbøyelegheita) på forbruk. Desse pengane blir andre sin inntekt, som igjen forbruker $c$ av inntekta si, og så vidare.

Den totale økonomiske effekten av den initielle impulsen blir ei uendeleg geometrisk rekkje:

$\text{Total effekt} = 1\,000 + 1\,000 c + 1\,000 c^2 + 1\,000 c^3 + \ldots = \frac{1\,000}{1 - c}$

Faktoren $\tfrac{1}{1 - c}$ blir kalla multiplikatoren. Han fortel kor mange gonger den initielle impulsen forsterkar den samla økonomiske aktiviteten.

📜Keynesiansk multiplikator

Hvis konsumtilbøyelegheita er

c

med

0 < c < 1

, blir den samla auken i etterspurnaden som følgje av ein initial impuls

\Delta Y_0

$\Delta Y_{tot} = \Delta Y_0 \cdot \frac{1}{1 - c}$

Faktoren $\dfrac{1}{1 - c}$ er multiplikatoren. Jo høgare $c$ , jo større multiplikatoreffekt.

✏️Eksempel 9: Statleg krisepakke

Staten løyver 10 milliardar kr til offentlege byggjeprosjekt under ein lågkonjunktur. Husstandane har ei konsumtilbøyelegheit på $c = 0{,}75$ (dei bruker 75 % av kvar tilleggsinntekt). Kva blir den samla auken i BNP, gitt at multiplikatormodellen er gyldig?

Løysing:

Multiplikatoren:
$\frac{1}{1 - c} = \frac{1}{1 - 0{,}75} = \frac{1}{0{,}25} = 4$

Samla auke i BNP:
$\Delta Y_{tot} = 10 \text{ mrd kr} \cdot 4 = 40 \text{ mrd kr}$

Dei 10 milliardane frå staten utløyser totalt 40 milliardar kr i auka etterspurnad. Denne forsterkingseffekten er eit hovudargument bak finanspolitiske krisepakkar.

Sjekkrekning ved direkte sum:
$10 + 10 \cdot 0{,}75 + 10 \cdot 0{,}75^2 + \ldots = \frac{10}{1 - 0{,}75} = 40$

Stemmer.

- Verdsetjing av selskap (DCF): Terminalverdien etter ein eksplisitt prognoseperiode blir ofte rekna som ein perpetuitet, eventuelt voksande.
- Pensjonsforpliktingar: Føretak må føre verdien av evigvarande pensjonsutbetalingar i rekneskapen.
- Aksjeobligasjonar og preferanseaksjar: Mange blir utferda med fast årleg kupong i æve.
- Pengemultiplikatoren: Banksystemet skaper pengar gjennom ein liknande uendeleg geometrisk prosess basert på reservekrav.
- Bygnings-/maskinvedlikehald: Nåverdien av evige periodiske vedlikehaldskostnader.

📝Oppgave 4

Multiplikatoreffekt

Hvis $c = 0{,}8$ , kva er multiplikatoren?

Staten investerer 5 mrd kr og $c = 0{,}9$ . Kva er total BNP-effekt (mrd kr)?

Ein multiplikator på 2,5 — kva for ei konsumtilbøyelegheit svarar det til?

Hvis ein del av forbruket går til import (lekkasje), blir effekten redusert. Kva blir multiplikatoren hvis $c = 0{,}7$ men 20 % av forbruket går til import (effektiv $c_{eff} = 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$ )?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Konvergens og sum

Konvergerer rekkja $1 + 1{,}1 + 1{,}1^2 + \ldots$ ? Hvis ja, finn summen.

Finn summen av $0{,}9 + 0{,}81 + 0{,}729 + \ldots$

2 + 2 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}25^2 + \ldots

1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots + \tfrac{1}{2^n} + \ldots

. Kva er den uendelege summen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Aksjeprising

Ein aksje betalte 4 kr i utbytte i år. Forventa vekst 5 %, avkastningskrav 9 %. Kva er verdien av aksjen i dag? (Hint: $C_1 = 4 \cdot 1{,}05$ .)

Ein aksje kostar 60 kr og ein ventar at han skal gi 4,80 kr i utbytte neste år. Avkastningskravet er 12 %. Kva er implisitt vekstrate?

Ein investor krev 10 % avkastning. Selskap X ventar å betale 3 kr neste år, deretter vekse 3 % per år i all æve. Selskap Y ventar 6 kr neste år utan vekst. Kva for eitt er mest verdt og kor mykje?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Praktiske perpetuitetar

Ei stor universitetsfondsavdeling ønskjer å finansiere eit professorat som kostar 1,5 millionar kr per år for alltid. Renta på investeringane til fondet er 3,5 %. Kor mykje må donerast?

Hvis fondet i a) klarer å oppnå 5 % avkastning i staden, kor mykje må donerast?

Eit selskap har ei evigvarande lisensinntekt på 80 000 kr/år. Ein ventar at lisensinntekta skal vekse med 1 % per år (med inflasjon). Avkastningskrav 6 %. Kva pris er rimeleg for lisensrettane?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Multiplikator og rekkjer

Vis at multiplikatoren $\tfrac{1}{1-c}$ kan utleiast direkte frå geometrisk sumformel.

Ei statleg investering på 8 mrd kr har multiplikator 3. Kva er konsumtilbøyelegheita?

Hvis 25 % av auka inntekt går til skatt, og av resten blir 80 % brukt på forbruk, kva er effektiv konsumtilbøyelegheit og multiplikator?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Uendelege rekkjer og perpetuitetar

Omgrep	Formel / Føresetnad
Uendeleg geometrisk rekkje	$\sum\limits_{n=1}^\infty a_1 k^{n-1}$
Konvergens-vilkår	$\|k\| < 1$
Sum (når $\|k\| < 1$ )	$S = \dfrac{a_1}{1 - k}$
Perpetuitet	$NV = \dfrac{C}{r}$ (krev $r > 0$ )
Voksande perpetuitet (Gordon)	$NV = \dfrac{C_1}{r - g}$ (krev $r > g$ )
Multiplikatoreffekten	$\Delta Y_{tot} = \Delta Y_0 \cdot \dfrac{1}{1 - c}$

Sentralt poeng: Alle desse formlane følgjer av éin enkel sumformel for uendeleg geometrisk rekkje —

S = \tfrac{a_1}{1-k}

. Heile finansmatematikken og store delar av makroøkonomien byggjer på denne eine formelen.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Uendeleg geometrisk rekkje: Konvergerer når $|k| < 1$ , med sum $\displaystyle \frac{a_1}{1 - k}$ .
- Perpetuitet: Evigvarande kontantstraum med nåverdi $\displaystyle \frac{C}{r}$ .
- Voksande perpetuitet: Gordons formel når kontantstraumen veks med rate $g$ .
- Multiplikatoreffekten: Uendelege rekkjer forklarer ringverknader i makroøkonomi.

Viktige formlar

S = \frac{a_1}{1 - k} \;\;(|k| < 1), \qquad NV = \frac{C}{r}

NV = \frac{C_1}{r - g} \;\;(r > g)

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Uendeleg geometrisk rekkje	Konvergerer for $\|k\| < 1$
Perpetuitet	Evigvarande kontantstraum
Gordons formel	Voksande perpetuitet
Multiplikatoreffekt	Ringverknader i makroøkonomi

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.