1.1 Potensar og potensreglar | Matematikk for økonomer

Potensar med heiltalseksponentar, potensreglar og reknereglar.

40 min

14 oppgaver

PotensarHeiltalseksponentarPotensreglarNegative eksponentar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.2Algebra og bokstavregning

Nokre gonger ønskjer vi å skildre at eit tal blir ganga med seg sjølv fleire gonger på ein enklare måte. I staden for å skrive $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ kan vi skrive $2^4$ og i staden for $a \cdot a \cdot a = a^3$ .

Potens

x^n

✏️Eksempel 1

Rekn ut:

a) $2^4$
b) $4 \cdot 3^2$

Løysing:

a) $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

b) $4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36$

📝Oppgave 1

Rekn ut

2^3

9^2

2^2 \cdot 5^2

3^3 \cdot 2

7^2 \cdot 2^2

1^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2

Løs oppgaven

Vi skal her lære oss å rekne med potensar. Vi kan observere at:

x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5

Generelt kan vi utleie regelen:
$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

📜Potensregel: Multiplikasjon

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

✏️Eksempel 2

Rekn ut og skriv svaret som potens:

a) $3^4 \cdot 3^5$
b) $2a \cdot 2a^4$
c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3$

Løysing:

a) $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

b) $2a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^5$

c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5$

Hugs: Usynleg gangeteikn

$ab = a \cdot b$

$3a = 3 \cdot a$

📝Oppgave 2

Rekn ut og skriv svaret som potens

x^2 \cdot x^3

2^5 \cdot 2^{10}

a^3 \cdot a^5 \cdot b^2

x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6

3x^2 \cdot 4x

9x^3 y^3 \cdot x^2

Løs oppgaven

Når vi arbeider med potensar i brøkar, er det viktig å hugse på at vi kan gange og dele med same tal over og under brøkstreken. Det er òg viktig å hugse at vi difor kan stryke like faktorar over og under brøkstreken mot kvarandre.

Vi har til dømes at:
$\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^3$

📜Potensregel: Divisjon

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

✏️Eksempel 3

Rekn ut og skriv svaret som ein potens:

a) $\displaystyle \frac{9^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}$

Løysing:

a) Alternativ 1:
$\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryk likt mot likt)
$\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^3$

b) Alternativ 1:
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 y$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryk likt mot likt)
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 y$

📝Oppgave 3

Rekn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{7^4}{7^3}

\displaystyle \frac{a^7}{a^2}

\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}

\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}

\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}

\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}

Løs oppgaven

Negative eksponentar

x^{-1} = \frac{1}{x}

✏️Eksempel 4

Skriv utan negativ eksponent og rekn ut:

a) $2a^{-1}$
b) $3^{-1}x^{-2}$
c) $3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}$

Løysing:

a) $\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}$

b) $\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}$

c) $\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}$

📝Oppgave 4

Gjer om uttrykket slik at det ikkje lenger har ein negativ eksponent og rekn ut.

3x^{-1}

4a^{-2}

2^{-2} x^{-3}

a^3 a^{-5}

8x^{-3} \cdot 2^{-2} x^5

\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}

Løs oppgaven

Når vi har ein negativ eksponent i ein brøk, kan faktoren som er opphøgd i noko negativt flyttast under brøkstreken og bli opphøgd i det same talet med positivt forteikn.

📜Negative eksponentar i brøkar

\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}

✏️Eksempel 5

Flytt på potensuttrykka slik at vi får positiv eksponent og rekn ut:

a) $\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}$

b) $\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}$

b) $\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}$

📝Oppgave 5

Rekn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}

\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}

\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}

\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}

\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}

\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}

Løs oppgaven

📜Potens av produkt

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

✏️Eksempel 6

Rekn ut:

a) $(xy)^4$
b) $(2x)^5$

Løysing:

a) $(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4$

b) $(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5$

📝Oppgave 6

Rekn ut

(3x)^2

(ab)^2

3a^4 \cdot (2a)^3

Løs oppgaven

📜Potens av brøk

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

✏️Eksempel 7

Rekn ut:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2$

Løysing:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}$

📝Oppgave 7

Rekn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8

\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)

\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a

\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}

Løs oppgaven

📜Potens av potens

(x^a)^b = x^{a \cdot b}

✏️Eksempel 8

Rekn ut:

a) $(x^4)^3$
b) $(2a^3)^4$
c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3$

Løysing:

a) $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$

b) $(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}$

c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}$

📝Oppgave 8

Rekn ut

(x^2)^3

(5a^2)^2

\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3

(ab^2)^3

\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3

\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3

\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4

\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}

\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Når vi har 0 som eksponent

a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0

Kva med

0^0

Uttrykket $0^0$ er udefinert i matematikken. Dette skuldast at vi får motstridande resultat avhengig av korleis vi nærmar oss uttrykket. Difor er det viktig å hugse at regelen $a^0 = 1$ berre gjeld når $a \neq 0$ .

✏️Eksempel 9

Rekn ut:

a) $3^0$
b) $(-9000)^0$
c) $2x^0$ der $x \neq 0$

Løysing:

a) $3^0 = 1$

b) $(-9000)^0 = 1$

c) $2x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

📝Oppgave 9

Rekn ut

9^0

\displaystyle \frac{x^5}{x^5}

3a^0

der

a \neq 0

(-3x)^0

x^{-3} \cdot x^2 \cdot 2x

\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 10

Rekn ut:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 1$

📝Oppgave 10

Rekn ut

\displaystyle \frac{2^5}{8^2}

\displaystyle \frac{5^5}{25^3}

\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}

\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}

\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}

\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Alle potensreglar

Regel	Formel
Definisjon	$x^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$ ( $n$ faktorar)
Multiplikasjon	$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
Divisjon	$\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
Negativ eksponent	$\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
Potens av produkt	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Potens av brøk	$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Potens av potens	$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$
Null som eksponent	$a^0 = 1$ (for $a \neq 0$ )

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein student har rekna

(x^2)^3 = x^5

. Kva er feilen, og kva er det rette svaret? Forklar kva regel som gjeld.

Forklar utan formel. Forklar med ord, utan å rekne, kvifor

a^0 = 1

for

a \neq 0

. Knyt forklaringa til regelen

\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Potens: $x^n$ tyder at $x$ blir ganga med seg sjølv $n$ gonger.
- Reknereglar: Du multipliserer og dividerer potensar ved å addere og subtrahere eksponentane.
- Negativ eksponent: $\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ .
- Nulte potens: Alle tal (utanom 0) opphøgde i 0 blir 1.

Viktige formlar

x^a \cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

(x^a)^b = x^{a \cdot b}, \qquad x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \qquad x^0 = 1

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Potens	$x^n$ = $x$ ganga med seg sjølv $n$ gonger
Grunntal	Talet $x$ som blir opphøgd
Eksponent	Talet $n$ som angir talet på faktorar
Negativ eksponent	Gir kehverdi: $x^{-n} = 1/x^n$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.