1.1 Potenser og potensregler

Når tallene blir for store til å skrive

Tenk deg at du legger ett riskorn på det første feltet på et sjakkbrett, to på det neste, fire på det neste -- og dobler hele veien. Allerede halvveis ut på brettet har du flere korn enn det finnes i hele Norges kornlager. Hvordan i all verden skal vi skrive ned så svimlende tall uten å bruke en hel side på multiplikasjonstegn?

Svaret er potenser. I stedet for å skrive $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, skriver vi rett og slett $2^4$. Og i stedet for $a\cdot a\cdot a$ skriver vi $a^3$. Potensen er en slags forkortelse for gjentatt multiplikasjon, og den er kanskje det viktigste verktøyet du tar med deg inn i økonomimatematikken -- for renter, vekst og avkastning handler nettopp om at noe doble seg, eller gange seg opp, gang på gang.

Når vi skriver $x^n$, betyr det at vi ganger $x$ med seg selv $n$ ganger. Vi kaller $x$ for grunntallet og $n$ for eksponenten. Et eksempel: $2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$. Her er $2$ grunntallet og $3$ eksponenten. På samme måte er $4\cdot 3^2 = 4\cdot 3\cdot 3 = 4\cdot 9 = 36$ -- legg merke til at eksponenten bare gjelder tallet rett under den, ikke firetallet foran.

Å gange og dele potenser

La oss se hva som skjer når vi ganger to potenser med samme grunntall. Skriv $x^2\cdot x^3$ helt ut: $(x\cdot x)\cdot(x\cdot x\cdot x)$. Til sammen står det fem $x$-er, altså $x^5$. Vi trengte ikke telle -- vi kunne bare lagt sammen eksponentene: $2+3=5$. Dette er den første potensregelen: $x^a\cdot x^b = x^{a+b}$.

Den lar oss for eksempel skrive $3^4\cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$. Og når flere bokstaver er med, samler vi bare likt med likt: $a^3\cdot b^2\cdot a^5\cdot b^3 = a^{3+5}\cdot b^{2+3} = a^8 b^5$. Husk det usynlige gangetegnet underveis -- $2a$ betyr $2\cdot a$, og $ab$ betyr $a\cdot b$.

Når vi i stedet deler potenser, gjør vi det motsatte: vi trekker eksponentene fra hverandre. Tenk på $\displaystyle \frac{4^5}{4^2}$. Over brøkstreken står fem firetall, under står to. To av dem stryker mot hverandre, og igjen står $4^3$. Regelen blir $\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$. Slik forenkler vi $\displaystyle \frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3$, og en blandet brøk som $\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}$ behandler vi bokstav for bokstav: $x^{4-2}\cdot y^{3-2} = x^2 y$.

Negative eksponenter og potens av en potens

Hva skjer hvis eksponenten i divisjonsregelen blir negativ? Da har vi oppdaget noe nytt. En negativ eksponent betyr at vi skal dele i stedet for å gange: $\displaystyle x^{-1} = \frac{1}{x}$ og mer generelt $\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Slik blir $\displaystyle 2a^{-1} = \frac{2}{a}$, og $\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3x^2}$. Et nyttig triks: en faktor med negativ eksponent kan hoppe over brøkstreken og bytte fortegn på eksponenten. Derfor er $\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}} = \frac{3^2}{2^5} = \frac{9}{32}$.

Når en hel potens opphøyes i en ny eksponent, ganger vi eksponentene: $(x^a)^b = x^{a\cdot b}$. Tenk på $(x^4)^3$ -- det betyr $x^4$ ganget med seg selv tre ganger, altså $x^{4+4+4}=x^{12}$, som er nettopp $x^{4\cdot 3}$. Pass på å ikke forveksle dette med multiplikasjonsregelen der vi la sammen! Her ganger vi.

To søsterregler følger med: en potens av et produkt fordeler seg på hver faktor, $(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$, og en potens av en brøk fordeler seg på teller og nevner, $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$. Dermed blir $(2x)^5 = 2^5 x^5 = 32x^5$ og $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{4}{9x^2}$.

Til slutt et lite mysterium: hva er $a^0$? Bruk divisjonsregelen på $\displaystyle \frac{a^m}{a^m}$. Det er et tall delt på seg selv, altså $1$, men det er også $a^{m-m}=a^0$. Derfor må $a^0 = 1$ for alle $a\neq 0$. (Uttrykket $0^0$ er udefinert -- der gir ulike fremgangsmåter ulike svar.)

Oppsummering

En potens $x^n$ er en kort måte å skrive $x$ ganget med seg selv $n$ ganger, der $x$ er grunntallet og $n$ eksponenten. Reglene henger logisk sammen: vi legger sammen eksponentene når vi ganger potenser med samme grunntall ($x^a\cdot x^b=x^{a+b}$), trekker fra når vi deler ($\displaystyle \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$), og ganger når en potens opphøyes i en ny eksponent ($(x^a)^b=x^{a\cdot b}$).

En negativ eksponent betyr brøk: $\displaystyle x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, og et potensuttrykk kan flyttes over brøkstreken hvis eksponenten bytter fortegn. Potenser fordeler seg på produkter og brøker, $(ab)^n=a^n b^n$ og $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$. Og det mest overraskende: $a^0=1$ for alle $a\neq 0$ -- ikke en oppfunnet regel, men en nødvendig konsekvens av at de andre reglene skal henge sammen. Med disse i ryggmargen er du klar for algebra, vekst og renteregning.