1.1 Potenser og potensregler | Matematikk for økonomer

Potenser med heltallseksponenter, potensregler og regneregler.

40 min

14 oppgaver

PotenserHeltallseksponenterPotensreglerNegative eksponenter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.2Algebra og bokstavregning

Noen ganger ønsker vi å beskrive at et tall ganges med seg selv flere ganger på en enklere måte. Istedenfor å skrive $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ så kan vi skrive $2^4$ og istedenfor $a \cdot a \cdot a = a^3$ .

Potens

x^n

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) $2^4$
b) $4 \cdot 3^2$

Løsning:

a) $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

b) $4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36$

📝Oppgave 1

Regn ut

2^3

9^2

2^2 \cdot 5^2

3^3 \cdot 2

7^2 \cdot 2^2

1^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2

Løs oppgaven

Vi skal her lære oss å regne med potenser. Vi kan observere at:

x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5

Generelt kan vi utlede regelen:
$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

📜Potensregel: Multiplikasjon

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

✏️Eksempel 2

Regn ut og skriv svaret som potens:

a) $3^4 \cdot 3^5$
b) $2a \cdot 2a^4$
c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3$

Løsning:

a) $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

b) $2a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^5$

c) $a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5$

Husk: Usynlig gangetegn

$ab = a \cdot b$

$3a = 3 \cdot a$

📝Oppgave 2

Regn ut og skriv svaret som potens

x^2 \cdot x^3

2^5 \cdot 2^{10}

a^3 \cdot a^5 \cdot b^2

x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6

3x^2 \cdot 4x

9x^3 y^3 \cdot x^2

Løs oppgaven

Når vi arbeider med potenser i brøker så er det viktig å huske på at vi kan gange og dele med samme tall over og under brøkstreken. Det er også viktig å huske at vi derfor kan stryke like faktorer over og under brøkstreken imot hverandre.

Vi har for eksempel at:
$\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^3$

📜Potensregel: Divisjon

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

✏️Eksempel 3

Regn ut og skriv svaret som en potens:

a) $\displaystyle \frac{9^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}$

Løsning:

a) Alternativ 1:
$\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
$\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^3$

b) Alternativ 1:
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 y$

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
$\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 y$

📝Oppgave 3

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{7^4}{7^3}

\displaystyle \frac{a^7}{a^2}

\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}

\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}

\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}

\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}

Løs oppgaven

Negative eksponenter

x^{-1} = \frac{1}{x}

✏️Eksempel 4

Skriv uten negativ eksponent og regn ut:

a) $2a^{-1}$
b) $3^{-1}x^{-2}$
c) $3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}$

Løsning:

a) $\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}$

b) $\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}$

c) $\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}$

📝Oppgave 4

Gjør om uttrykket slik at det ikke lenger har en negativ eksponent og regn ut.

3x^{-1}

4a^{-2}

2^{-2} x^{-3}

a^3 a^{-5}

8x^{-3} \cdot 2^{-2} x^5

\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}

Løs oppgaven

Når vi har en negativ eksponent i en brøk så kan faktoren som er opphøyd i noe negativt flyttes under brøkstreken og bli opphøyd i det samme tallet med positivt fortegn.

📜Negative eksponenter i brøker

\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}

✏️Eksempel 5

Flytt på potensuttrykkene slik at vi får positiv eksponent og regn ut:

a) $\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}$

b) $\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}$

b) $\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}$

📝Oppgave 5

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}

\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}

\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}

\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}

\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}

\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}

Løs oppgaven

📜Potens av produkt

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

✏️Eksempel 6

Regn ut:

a) $(xy)^4$
b) $(2x)^5$

Løsning:

a) $(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4$

b) $(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5$

📝Oppgave 6

Regn ut

(3x)^2

(ab)^2

3a^4 \cdot (2a)^3

Løs oppgaven

📜Potens av brøk

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

✏️Eksempel 7

Regn ut:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2$

Løsning:

a) $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}$

b) $\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}$

📝Oppgave 7

Regn ut og skriv svaret som potens

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8

\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)

\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a

\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}

Løs oppgaven

📜Potens av potens

(x^a)^b = x^{a \cdot b}

✏️Eksempel 8

Regn ut:

a) $(x^4)^3$
b) $(2a^3)^4$
c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3$

Løsning:

a) $(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$

b) $(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}$

c) $\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}$

📝Oppgave 8

Regn ut

(x^2)^3

(5a^2)^2

\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3

(ab^2)^3

\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3

\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3

\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4

\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}

\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Når vi har 0 som eksponent

a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0

Hva med

0^0

Uttrykket $0^0$ er udefinert i matematikken. Dette skyldes at vi får motstridende resultater avhengig av hvordan vi nærmer oss uttrykket. Derfor er det viktig å huske at regelen $a^0 = 1$ kun gjelder når $a \neq 0$ .

✏️Eksempel 9

Regn ut:

a) $3^0$
b) $(-9000)^0$
c) $2x^0$ der $x \neq 0$

Løsning:

a) $3^0 = 1$

b) $(-9000)^0 = 1$

c) $2x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

📝Oppgave 9

Regn ut

9^0

\displaystyle \frac{x^5}{x^5}

3a^0

der

a \neq 0

(-3x)^0

x^{-3} \cdot x^2 \cdot 2x

\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 10

Regn ut:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2}$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 1$

📝Oppgave 10

Regn ut

\displaystyle \frac{2^5}{8^2}

\displaystyle \frac{5^5}{25^3}

\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}

\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}

\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}

\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}

Løs oppgaven

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Alle potensregler

Regel	Formel
Definisjon	$x^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$ ( $n$ faktorer)
Multiplikasjon	$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
Divisjon	$\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
Negativ eksponent	$\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
Potens av produkt	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Potens av brøk	$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Potens av potens	$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$
Null som eksponent	$a^0 = 1$ (for $a \neq 0$ )

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En student har regnet

(x^2)^3 = x^5

. Hva er feilen, og hva er det riktige svaret? Forklar hvilken regel som gjelder.

Forklar uten formel. Forklar med ord, uten å regne, hvorfor

a^0 = 1

for

a \neq 0

. Knytt forklaringen til regelen

\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Potens: $x^n$ betyr at $x$ ganges med seg selv $n$ ganger.
- Regneregler: Du multipliserer og dividerer potenser ved å addere og subtrahere eksponentene.
- Negativ eksponent: $\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ .
- Nullte potens: Alle tall (utenom 0) opphøyd i 0 blir 1.

Viktige formler

x^a \cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

(x^a)^b = x^{a \cdot b}, \qquad x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \qquad x^0 = 1

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Potens	$x^n$ = $x$ ganget med seg selv $n$ ganger
Grunntall	Tallet $x$ som opphøyes
Eksponent	Tallet $n$ som angir antall faktorer
Negativ eksponent	Gir kehverdi: $x^{-n} = 1/x^n$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.