7.4 Rekursive og eksplisitte formler | Matematikk 9. klasse

Forstå forskjellen mellom rekursive og eksplisitte formler for tallfølger.

55 min

8 oppgaver

Rekursiv formelEksplisitt formelTallfølgerModellering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Rekursive og eksplisitte formlar

Tenk deg at du skal forklare nokon vegen til skulen. Du kan gjere det på to måtar:

Steg-for-steg (rekursivt): «Gå 200 meter, sving til høgre, gå 300 meter, sving til venstre...» For å komme til steg 5 må du ha fullført steg 1 til 4 først.

Direkte (eksplisitt): «Skulen ligg på adressa Storgata 15.» Du kan gå rett dit utan å tenkje på alle stega.

Talfølgjer kan skildrast på akkurat desse to måtane:
- Rekursivt: Vi forklarar korleis kvart ledd blir laga frå det førre
- Eksplisitt: Vi gir ein formel som reknar ut kvart ledd direkte frå $n$

Begge metodane har fordelar, og i dette kapittelet skal du lære å bruke begge -- og gå mellom dei.

Rekursiv formel

a_{n+1} = f(a_n) \quad \text{og} \quad a_1 = \text{startverdi}

Eksplisitt formel

n

Samanlikning: Rekursiv vs. eksplisitt

n

Eigenskap	Rekursiv formel	Eksplisitt formel
Skildring	Neste ledd ut frå førre	Leddet direkte frå $n$
Treng startverdi?	Ja, alltid	Nei
Rekne ut $a_{100}$	Må kjenne $a_1$ til $a_{99}$	Set inn $n = 100$
Lett å oppdage?	Ofte ja (sjå på endringa)	Kan krevje meir arbeid
Døme (aritm.)	$a_{n+1} = a_n + 5$	$a_n = 5n - 2$
Døme (geom.)	$a_{n+1} = 3a_n$	$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

✏️Døme 1: Frå rekursiv til eksplisitt

Ei talfølgje er gitt rekursivt:

$a_1 = 4, \quad a_{n+1} = a_n + 6$

a) Skriv opp dei fem første ledda.
b) Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ .
c) Rekn ut $a_{50}$ med den eksplisitte formelen.

a) Dei fem første ledda:

$a_1 = 4$
$a_2 = a_1 + 6 = 4 + 6 = 10$
$a_3 = a_2 + 6 = 10 + 6 = 16$
$a_4 = a_3 + 6 = 16 + 6 = 22$
$a_5 = a_4 + 6 = 22 + 6 = 28$

Følgja: $4, 10, 16, 22, 28, \ldots$

b) Eksplisitt formel:

Dette er ei aritmetisk følgje med $a_1 = 4$ og $d = 6$ .

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 4 + (n-1) \cdot 6 = 4 + 6n - 6 = 6n - 2$

Kontroll: $a_1 = 6 \cdot 1 - 2 = 4$ \checkmark, $a_3 = 6 \cdot 3 - 2 = 16$ \checkmark

c) $a_{50}$ :

$a_{50} = 6 \cdot 50 - 2 = 300 - 2 = 298$

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

«For å finne det 100. leddet i ei talfølgje treng vi alltid å kjenne alle dei 99 føregåande ledda.»

✏️Døme 2: Frå eksplisitt til rekursiv

Talfølgja er gitt med den eksplisitte formelen $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda.
b) Finn ein rekursiv formel for følgja.

a) Dei fem første ledda:

$a_1 = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$
$a_2 = 3 \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$
$a_3 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$
$a_4 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$
$a_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$

Følgja: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$

b) Rekursiv formel:

Vi ser at kvart ledd er det dobbelte av det førre. Lat oss stadfeste:

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

Altså: $a_{n+1} = 2 \cdot a_n$ .

Rekursiv formel:

$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n$

✏️Døme 3: Fibonacci-følgja (berre rekursiv)

Fibonacci-følgja er definert rekursivt:

$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$

a) Skriv opp dei 10 første ledda.
b) Finn forholdet $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$ for $n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Kva legg du merke til?

a) Dei 10 første ledda:

$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = 1 + 2 = 3$
$a_5 = 2 + 3 = 5$
$a_6 = 3 + 5 = 8$
$a_7 = 5 + 8 = 13$
$a_8 = 8 + 13 = 21$
$a_9 = 13 + 21 = 34$
$a_{10} = 21 + 34 = 55$

Følgja: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$

b) Forholda:

$n$	$a_n$	$a_{n+1}$	$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$
3	2	3	$1{,}500$
4	3	5	$1{,}667$
5	5	8	$1{,}600$
6	8	13	$1{,}625$
7	13	21	$1{,}615$
8	21	34	$1{,}619$
9	34	55	$1{,}618$

Forholdet nærmar seg talet

\displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, som blir kalla det gylne snittet (

\varphi

). Dette er eitt av dei mest kjende tala i matematikken!
Merk: Fibonacci-følgja har ingen enkel eksplisitt formel (den eksakte formelen inneheld

\sqrt{5}

og er ganske avansert). Difor er den rekursive formelen den naturlege måten å skildre ho på.

📝Oppgave 1

Skriv opp dei fem første ledda i følgja gitt ved:

$a_1 = 10, \quad a_{n+1} = a_n - 3$

📝Oppgave 2

Skriv opp dei fem første ledda i følgja gitt ved:

$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 2a_n + 1$

📝Oppgave 3

Gjer om den eksplisitte formelen $a_n = 4n + 3$ til ein rekursiv formel.

📝Oppgave 4

Ei følgje er gitt rekursivt: $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ .

a) Finn dei fem første ledda.
b) Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ .

Finn dei fem første ledda.

Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ .

📝Oppgave 5

Ei geometrisk følgje er gitt eksplisitt: $a_n = 5 \cdot 2^n$ .

a) Finn dei fire første ledda.
b) Skriv følgja på rekursiv form.
c) Finn $a_{10}$ .

Finn dei fire første ledda.

Skriv følgja på rekursiv form.

Finn $a_{10}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Avgjer om utsegna er sanne eller usanne. Grunngi svara.

a) Alle aritmetiske følgjer kan skrivast med eksplisitt formel.
b) Alle følgjer som har eksplisitt formel, kan òg skrivast rekursivt.
c) Fibonacci-følgja kan enkelt skrivast med ein eksplisitt formel.

Alle aritmetiske følgjer kan skrivast med eksplisitt formel.

Alle følgjer som har eksplisitt formel, kan òg skrivast rekursivt.

Fibonacci-følgja kan enkelt skrivast med ein eksplisitt formel.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ein populasjon kaninar veks slik at talet på kaninpar kvart kvartal følgjer Fibonacci-mønsteret: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

a) Skriv opp den rekursive formelen.
b) Kor mange kaninpar er det etter 2 år (8 kvartal)?
c) Rekn ut forholdstalet $\displaystyle \frac{a_8}{a_7}$ og samanlikn med det gylne snittet ( $\approx 1{,}618$ ).

Skriv opp den rekursive formelen.

Kor mange kaninpar etter 8 kvartal?

Rekn ut $\displaystyle \frac{a_8}{a_7}$ og samanlikn med det gylne snittet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ei følgje er definert rekursivt: $a_1 = 1000, \quad a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n$ .

Dette kan modellere eit bankinnskot på 1000 kr med 5 % rente per år.

a) Finn beløpet etter 1, 2, 3 og 4 år.
b) Finn ein eksplisitt formel for $a_n$ .
c) Kor mykje er det på kontoen etter 20 år? Bruk gjerne kalkulator.

Finn beløpet etter 1, 2, 3 og 4 år.

Finn ein eksplisitt formel.

Beløp etter 20 år.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Lag både ein rekursiv og ein eksplisitt formel for følgjande talfølgjer:

a) $7, 12, 17, 22, 27, \ldots$
b) $3, 9, 27, 81, 243, \ldots$
c) $0, 3, 8, 15, 24, \ldots$

7, 12, 17, 22, 27, \ldots

3, 9, 27, 81, 243, \ldots

0, 3, 8, 15, 24, \ldots

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Fibonacci-følgja (

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

) er definert rekursivt. Forklar kvifor det er vanskeleg (nesten umogleg) å finne ein enkel eksplisitt formel for denne følgja, i motsetning til aritmetiske og geometriske følgjer. Kva er det som gjer Fibonacci-følgja annleis?

Oppsummering

Rekursiv formel

- Skildrar neste ledd ut frå førre ledd
- Treng alltid ein startverdi (

a_1

)
- Enkel å setje opp, men upraktisk for store

n

- Døme:

a_1 = 3

a_{n+1} = a_n + 5

Eksplisitt formel

- Gir leddet direkte frå

n

- Treng ikkje føregåande ledd
- Praktisk for utrekningar
- Døme:

a_n = 5n - 2

Viktige typar

Type	Rekursiv	Eksplisitt
Aritmetisk	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Geometrisk	$a_{n+1} = k \cdot a_n$	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
Fibonacci	$a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$	(komplisert)

Praktisk bruk

- Renter: Geometrisk følgje med

\displaystyle k = 1 + \frac{r}{100}

- Lineær vekst: Aritmetisk følgje (fast tillegg)
- Folkevekst: Ofte geometrisk (fast prosentvis auke)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.