10.1 Spredningsmål i praksis | Matematikk 9. klasse

Kvartiler, IQR og boksplott for å beskrive datasett.

50 min

7 oppgaver

KvartilerIQRBoksplottSpredningsmål

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kvifor treng vi spreiingsmål?

Når vi skildrar eit datasett med berre gjennomsnittet, mistar vi mykje informasjon. Tenk deg to klassar som begge har gjennomsnittleg karakteren $4{,}0$ i matematikk. I den eine klassen har alle elevane mellom $3$ og $5$ , medan i den andre har halvparten $2$ og halvparten $6$ .

Sentralmål (gjennomsnitt, median, typetal) fortel oss kvar "midten" av dataa ligg. Men for å forstå heile biletet treng vi òg spreiingsmål som fortel oss kor spreidde dataa er rundt midten.

I dette kapittelet lærer vi om:
- Kvartilar ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ ) som deler datasettet i fire like store delar
- Interkvartilbreidd (IQR) som måler spreiinga til dei midtarste 50 % av dataa
- Bokssplott (box plot) som gir ei visuell oversikt over fordelinga
- Standardavvik som måler den gjennomsnittlege avstanden frå gjennomsnittet

Kvartilar

Q_1

Interkvartilbreidd (IQR)

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

✏️Døme 1 - Finne kvartilar

Resultata til 11 elevar på ein matteprøve (maks 20 poeng) er:

$8, \; 12, \; 15, \; 7, \; 18, \; 10, \; 14, \; 9, \; 16, \; 11, \; 13$

Finn $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ og IQR.

Løysing:

Steg 1: Sorter dataa frå minst til størst:
$7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18$

Steg 2: Finn medianen ( $Q_2$ ). Vi har 11 verdiar, så medianen er verdi nummer 6:
$Q_2 = 12$

Steg 3: Nedre halvdel (utan medianen): $7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11$
Medianen av desse 5 verdiane er verdi nummer 3:
$Q_1 = 9$

Steg 4: Øvre halvdel (utan medianen): $13, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18$
Medianen av desse 5 verdiane er verdi nummer 3:
$Q_3 = 15$

Steg 5: Rekn ut IQR:
$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 15 - 9 = 6$

Dei midtarste 50 % av elevane fekk mellom 9 og 15 poeng, med ei spreiing på 6 poeng.

📝Oppgave F1

Finn feilen! Jonas har funne kvartilane i dette datasettet:

$3, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 15$

Han skriv:

$Q_2 = 9$ , nedre halvdel er $3, \; 5, \; 7, \; 9$ , og $\displaystyle Q_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$ .

Finn feilen og skriv rett utrekning.

Bokssplott

Q_1

✏️Døme 2 - Teikne bokssplott og finne uteliggjarar

Talet på sjokoladebitar 13 elevar åt i løpet av ei veke:

$2, \; 3, \; 5, \; 6, \; 7, \; 7, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 14, \; 25$

a) Finn femtalsoversikta ( $\text{min}$ , $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , $\text{maks}$ ).
b) Rekn ut IQR og finn eventuelle uteliggjarar.
c) Skildr bokssplottet.

Løysing:

a) Femtalsoversikt:

Dataa er allereie sorterte. Vi har 13 verdiar.

$Q_2$ = verdi nummer 7: $Q_2 = 8$

Nedre halvdel: $2, \; 3, \; 5, \; 6, \; 7, \; 7$
$\displaystyle Q_1 = \frac{5 + 6}{2} = 5{,}5$

Øvre halvdel: $9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 14, \; 25$
$\displaystyle Q_3 = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5$

Femtalsoversikt: $\text{min} = 2$ , $Q_1 = 5{,}5$ , $Q_2 = 8$ , $Q_3 = 11{,}5$ , $\text{maks} = 25$

b) IQR og uteliggjarar:

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 11{,}5 - 5{,}5 = 6$

Nedre grense: $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 5{,}5 - 9 = -3{,}5$
Øvre grense: $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 11{,}5 + 9 = 20{,}5$

Verdien $25$ er over den øvre grensa på $20{,}5$ , så 25 er ein uteliggjar.

c) Skildring av bokssplott:
- Boksen strekkjer seg frå $5{,}5$ til $11{,}5$ med medianlinje på $8$
- Nedre whisker går frå $2$ til $5{,}5$
- Øvre whisker går frå $11{,}5$ til $14$ (siste verdi som ikkje er uteliggjar)
- $25$ blir markert som eit enkeltpunkt (uteliggjar)
- Vi ser at fordelinga er høgreskeiv fordi medianen ligg nærare $Q_1$ enn $Q_3$

Innføring i standardavvik

Medan IQR berre ser på dei midtarste 50 %, finst det eit spreiingsmål som tek omsyn til alle datapunkta: standardavviket.

Standardavviket måler den gjennomsnittlege avstanden frå gjennomsnittet. Eit lite standardavvik tyder at verdiane er samla tett rundt gjennomsnittet, medan eit stort standardavvik tyder stor spreiing.

Formelen for standardavvik for eit datasett med $n$ verdiar $x_1, x_2, \ldots, x_n$ og gjennomsnitt $\bar{x}$ :

$s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n - 1}}$

eller kortare:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$

Steg for utrekning:
1. Finn gjennomsnittet $\bar{x}$ .
2. Finn avviket frå gjennomsnittet for kvar verdi: $x_i - \bar{x}$ .
3. Kvadrér kvart avvik: $(x_i - \bar{x})^2$ .
4. Finn gjennomsnittet av dei kvadrerte avvika (del på $n-1$ ).
5. Ta kvadratrota.

Tips: På 9. trinn er det viktigast å forstå kva standardavviket tyder, og å kunne rekne det ut med kalkulator.

✏️Døme 3 - Standardavvik

Fem vener har følgjande tal på appar på telefonen:

$12, \; 15, \; 18, \; 20, \; 25$

Rekn ut standardavviket.

Løysing:

Steg 1: Gjennomsnitt:
$\bar{x} = \frac{12 + 15 + 18 + 20 + 25}{5} = \frac{90}{5} = 18$

Steg 2 og 3: Avvik og kvadrerte avvik:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$12$	$12 - 18 = -6$	$36$
$15$	$15 - 18 = -3$	$9$
$18$	$18 - 18 = 0$	$0$
$20$	$20 - 18 = 2$	$4$
$25$	$25 - 18 = 7$	$49$

Steg 4: Sum av kvadrerte avvik:

\sum (x_i - \bar{x})^2 = 36 + 9 + 0 + 4 + 49 = 98

Steg 5: Standardavvik:

s = \sqrt{\frac{98}{5-1}} = \sqrt{\frac{98}{4}} = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95

Standardavviket er ca.

5

appar. Det tyder at verdiane i gjennomsnitt avvik ca.

5

appar frå gjennomsnittet på

18

📝Oppgave 1

Resultata til 9 elevar på ein naturfagsprøve (maks 30 poeng) er:

$14, \; 18, \; 20, \; 22, \; 24, \; 25, \; 27, \; 28, \; 30$

Finn $Q_1$ , $Q_2$ og $Q_3$ .

📝Oppgave 2

Eit datasett har $Q_1 = 12$ og $Q_3 = 28$ .

a) Finn IQR.
b) Kva tyder IQR-verdien?

📝Oppgave 3

Talet på timar 12 elevar brukte på lekser i ei veke:

$3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8, \; 8, \; 9, \; 10, \; 11, \; 12, \; 20$

a) Finn femtalsoversikta (min, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , maks).
b) Rekn ut IQR.
c) Er det nokon uteliggjarar?

📝Oppgave 4

To grupper elevar har gjennomført den same testen. Resultata (i poeng) er:

Gruppe A: $10, \; 12, \; 14, \; 15, \; 16, \; 18, \; 20$
Gruppe B: $3, \; 8, \; 13, \; 15, \; 17, \; 22, \; 27$

a) Finn medianen for begge gruppene.
b) Finn IQR for begge gruppene.
c) Kva for gruppe har størst spreiing? Forklar.

📝Oppgave 5

Rekn ut standardavviket for dette datasettet:

$4, \; 7, \; 8, \; 10, \; 11$

Vis utrekninga steg for steg.

📝Oppgave 6

Forklar med eigne ord kva skilnaden er mellom variasjonsbreidd (maks - min) og IQR som spreiingsmål. Gi eit døme der variasjonsbreidd kan gi eit misvisande bilete.

📝Oppgave 7

Temperaturmålingar (i

°C

) kl. 12:00 dei siste 15 dagane i ein by:

$-3, \; -1, \; 0, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 6, \; 7, \; 8, \; 10, \; 11, \; 12, \; 22$

a) Finn femtalsoversikta.
b) Rekn ut IQR.
c) Avgjer om det er uteliggjarar, og forklar kva dei kan skuldast.
d) Rekn ut gjennomsnittet, og forklar kvifor medianen kanskje er eit betre sentralmål for dette datasettet.

📝Oppgave 8

Ein lærar har registrert talet på fråvær (i dagar) for 10 elevar det siste halvåret:

$1, \; 2, \; 3, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 8, \; 10, \; 35$

a) Rekn ut gjennomsnitt og standardavvik.
b) Rekn ut gjennomsnitt og standardavvik utan den siste verdien ( $35$ ).
c) Kva fortel samanlikninga deg om korleis uteliggjarar påverkar gjennomsnitt og standardavvik?

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: To klassar har begge gjennomsnittleg karakter

4{,}0

i matematikk. Klasse A har standardavvik

0{,}5

og klasse B har standardavvik

1{,}8

. Diskuter: Kva for klasse ville du helst vore lærar for viss du ville gi tilpassa undervisning? Grunngi svaret ditt ved å forklare kva standardavviket fortel om elevane i dei to klassane, og kva utfordringar læraren møter i kvar klasse.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Kvartilar: Å dele eit sortert datasett i fire like store delar med $Q_1$ , $Q_2$ (medianen) og $Q_3$
- Interkvartilbreidd (IQR): Å rekne ut spreiinga til dei midtarste 50 % av dataa med formelen $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
- Bokssplott: Å lage ei grafisk framstilling av femtalsoversikta (min, $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , maks)
- Uteliggjarar: Å identifisere verdiar som ligg meir enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utanfor $Q_1$ eller $Q_3$
- Standardavvik: Å rekne ut den gjennomsnittlege avstanden frå gjennomsnittet, og forstå kva verdien tyder

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Kvartilar ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ )	Verdiar som deler eit sortert datasett i fire like store delar
Interkvartilbreidd (IQR)	$Q_3 - Q_1$ , spreiinga til dei midtarste 50 % av dataa
Bokssplott	Grafisk framstilling basert på femtalsoversikta
Uteliggjar	Verdi som ligg meir enn $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ utanfor kvartilane
Standardavvik	Mål for gjennomsnittleg avstand frå gjennomsnittet
Robust spreiingsmål	Mål som ikkje blir påverka mykje av ekstremverdiar (f.eks. IQR)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.