2.4 Brøk med primtallsfaktorisering | Matematikk 8. klasse

Bruke primtallsfaktorisering til å forkorte brøker og finne fellesnevner.

45 min

12 oppgaver

BrøkForkortingFellesnevnerPrimtallsfaktorisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.3Største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFM)

Brøk med primtalsfaktorisering

Hugsar du brøkrekning frå kapittel 1.2? Då lærte du å forkorte brøkar og finne fellesnemnarar. No skal vi sjå korleis primtalsfaktorisering gjer begge delar mykje enklare og meir systematisk.

Problemet: Korleis forkortar vi $\displaystyle \frac{36}{84}$ så mykje som mogleg?

Du kunne prøve å dele teljar og nemnar på $2$ , så på $3$ , og så vidare. Men med primtalsfaktorisering finn vi den største felles faktoren med ein gong, og kan forkorte i eitt steg!

I dette kapittelet lærer du:
- Å forkorte brøkar effektivt med SFF
- Å finne fellesnemnar med MFM
- Å bruke primtalsfaktorisering i brøkaddisjon og -subtraksjon

Forkorte brøk med SFF

\text{SFF}

Fellesnemnar med MFM

\text{MFM}

I kapittel 1.2 lærte du å forkorte brøkar ved å prøve med $2$ , $3$ , $5$ osv. No har du eit meir systematisk verktøy:

Før-metode (kapittel 1.2):
$\displaystyle \frac{72}{120} = \frac{36}{60} = \frac{18}{30} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (fire trinn)

No-metode (primtalsfaktorisering):
$72 = 2^3 \times 3^2$ og $120 = 2^3 \times 3 \times 5$

$\text{SFF} = 2^3 \times 3 = 24$

$\displaystyle \frac{72}{120} = \frac{72 \div 24}{120 \div 24} = \frac{3}{5}$ (eitt trinn!)

Primtalsfaktorisering er spesielt nyttig for store tal der det er vanskeleg å sjå kva felles faktorar tala har.

✏️Døme 1: Forkorte ein brøk

Forkort brøken $\displaystyle \frac{84}{126}$ så mykje som mogleg.

Steg 1: Primtalsfaktoriser teljar og nemnar

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$

Steg 2: Finn SFF

Felles primfaktorar med lågaste eksponent:

$\text{SFF}(84, 126) = 2 \times 3 \times 7 = 42$

Steg 3: Forkort

$\frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}$

Svar: $\displaystyle \frac{84}{126} = \frac{2}{3}$

✏️Døme 2: Brøkaddisjon med MFM

Rekn ut $\displaystyle \frac{5}{18} + \frac{7}{24}$ .

Steg 1: Finn fellesnemnar (MFM av nemnarane)

$18 = 2 \times 3^2$

$24 = 2^3 \times 3$

$\text{MFM}(18, 24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

Steg 2: Utvid brøkane

$\displaystyle \frac{5}{18} = \frac{5 \times 4}{72} = \frac{20}{72}$ (vi gongar med $72 \div 18 = 4$ )

$\displaystyle \frac{7}{24} = \frac{7 \times 3}{72} = \frac{21}{72}$ (vi gongar med $72 \div 24 = 3$ )

Steg 3: Legg saman

$\frac{20}{72} + \frac{21}{72} = \frac{41}{72}$

Steg 4: Kan vi forkorte?

$41$ er eit primtal, og $72 = 2^3 \times 3^2$ . Sidan $41$ ikkje er deleleg med $2$ eller $3$ , er brøken allereie uforkortbar.

Svar: $\displaystyle \frac{5}{18} + \frac{7}{24} = \frac{41}{72}$

✏️Døme 3: Brøksubtraksjon

Rekn ut $\displaystyle \frac{11}{15} - \frac{3}{10}$ .

Steg 1: Finn fellesnemnar

$15 = 3 \times 5$

$10 = 2 \times 5$

$\text{MFM}(15, 10) = 2 \times 3 \times 5 = 30$

Steg 2: Utvid brøkane

$\displaystyle \frac{11}{15} = \frac{11 \times 2}{30} = \frac{22}{30}$

$\displaystyle \frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{30} = \frac{9}{30}$

Steg 3: Trekk frå

$\frac{22}{30} - \frac{9}{30} = \frac{13}{30}$

Steg 4: Kan vi forkorte?

$13$ er eit primtal og deler ikkje $30 = 2 \times 3 \times 5$ . Brøken er uforkortbar.

Svar: $\displaystyle \frac{11}{15} - \frac{3}{10} = \frac{13}{30}$

📝Oppgave 1

Forkort brøkane så mykje som mogleg ved å bruke primtalsfaktorisering.

\displaystyle \frac{18}{24}

\displaystyle \frac{30}{45}

\displaystyle \frac{42}{56}

\displaystyle \frac{60}{90}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora skal forkorte brøken

\displaystyle \frac{16}{64}

. Ho stryk 6-tala i teljar og nemnar og skriv:

$\displaystyle \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$

«Eg berre strauk sifferet $6$ i teljar og nemnar, og då fekk eg $\displaystyle \frac{1}{4}$ .» Finn feilen og vis rett framgangsmåte.

📝Oppgave 2

Rekn ut ved å bruke MFM som fellesnemnar.

\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{6}

\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{3}{8}

\displaystyle \frac{5}{6} - \frac{1}{4}

📝Oppgave 3

Forkort brøkane så mykje som mogleg.

\displaystyle \frac{72}{108}

\displaystyle \frac{140}{196}

\displaystyle \frac{225}{300}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Rekn ut og forkort svaret.

\displaystyle \frac{7}{12} + \frac{5}{18}

\displaystyle \frac{11}{20} - \frac{3}{16}

\displaystyle \frac{5}{14} + \frac{3}{21}

📝Oppgave 5

I ein klasse fekk $\displaystyle \frac{12}{30}$ av elevane karakter $5$ eller $6$ på ein prøve. I ein annan klasse fekk $\displaystyle \frac{9}{24}$ av elevane karakter $5$ eller $6$ .

Forkort begge brøkane.

Kva klasse hadde størst del med karakter $5$ eller $6$ ? Grunngi med fellesnemnar.

Kva er forskjellen i del mellom dei to klassane?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Kari seier: «Det er alltid best å bruke den minste fellesnemnaren (MFM) når vi legg saman brøkar. Å bruke ein større fellesnemnar gir feil svar.» Er dette rett? Grunngi svaret ditt med eit døme.

Oppsummering

Forkorte brøkar med primtalsfaktorisering

1. Primtalsfaktoriser teljar og nemnar
2. Finn

\text{SFF}

av teljar og nemnar
3. Del både teljar og nemnar på SFF
4. Brøken er no uforkortbar

Fellesnemnar med MFM

1. Primtalsfaktoriser nemnarane
2. Finn

\text{MFM}

av nemnarane
3. Utvid kvar brøk slik at nemnaren blir lik MFM
4. Rekn ut (addisjon/subtraksjon)

Fordelar med primtalsfaktorisering

- Du finn SFF og MFM i eitt steg
- Spesielt nyttig for store tal
- Systematisk og sikkert
- Du kan alltid kontrollere svaret

Samanheng med brøkrekning

- Forkorting bruker SFF
- Fellesnemnar bruker MFM
- Samanlikning av brøkar bruker fellesnemnar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.