2.4 Brøk med primtallsfaktorisering

Brøk møter primtall

Du kan allerede forenkle brøker: $\displaystyle \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (del teller og nevner på $2$). Men hva med $\displaystyle \frac{84}{126}$? Hva skal du dele på? Skal du prøve $2$? $3$? $7$? Og hvordan vet du at du har forenklet helt?

Med primtallsfaktorisering får du svaret direkte og sikkert. Du faktoriserer teller og nevner, stryker felles faktorer, og det som er igjen er brøken i sin enkleste form. Ingen gjetting!

I dette kapittelet skal vi se hvordan primtallsfaktorisering gjør to oppgaver mye enklere:
1. Forenkle brøker -- finne den enkleste formen
2. Finne fellesnevner -- for å legge sammen eller trekke fra brøker

Forenkle brøker med primtallsfaktorisering

Oppskrift:
1. Faktoriser telleren og nevneren
2. Stryk felles primfaktorer (del begge på SFF)
3. Gang sammen det som er igjen

Eksempel: Forenkle $\displaystyle \frac{84}{126}$

Faktoriser:
$$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$
$$126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$$

Stryk felles faktorer -- de minste eksponentene:
- $2$: $\min(2, 1) = 1$ strykes, igjen: $2^{2-1} = 2$ i teller, $2^{1-1} = 1$ i nevner
- $3$: $\min(1, 2) = 1$ strykes, igjen: $3^{1-1} = 1$ i teller, $3^{2-1} = 3$ i nevner
- $7$: $\min(1, 1) = 1$ strykes, igjen: ingenting

$$\frac{84}{126} = \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{7}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{7}} = \frac{2}{3}$$

Vi kan sjekke: $\text{SFF}(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Og $\displaystyle \frac{84}{126} = \frac{84 \div 42}{126 \div 42} = \frac{2}{3}$ ✓

Eksempel: Forenkle $\displaystyle \frac{60}{90}$

$$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$
$$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

SFF $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

$$\frac{60}{90} = \frac{60 \div 30}{90 \div 30} = \frac{2}{3}$$

Fellesnevner med MFM

For å legge sammen (eller trekke fra) brøker med ulike nevnere trenger vi en fellesnevner -- et tall som begge nevnerne går opp i. Vi velger den minste fellesnevneren, som er nøyaktig $\text{MFM}$ av nevnerne.

Eksempel: $\displaystyle \frac{5}{12} + \frac{7}{18}$

Finn fellesnevner: $\text{MFM}(12, 18)$.

$$12 = 2^2 \cdot 3$$
$$18 = 2 \cdot 3^2$$

$$\text{MFM}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$$

Utvid begge brøkene:
$$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$$
$$\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$$

Legg sammen:
$$\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$$

Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{8} - \frac{1}{6}$

$$\text{MFM}(8, 6): \quad 8 = 2^3, \quad 6 = 2 \cdot 3$$
$$\text{MFM} = 2^3 \cdot 3 = 24$$

$$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \quad \frac{1}{6} = \frac{4}{24}$$

$$\frac{9}{24} - \frac{4}{24} = \frac{5}{24}$$

Hvorfor er MFM bedre enn å bare gange nevnerne? Fordi $12 \cdot 18 = 216$, men MFM gir $36$ -- et mye mindre tall å jobbe med!

Multiplikasjon og forenkling med primtall

Når du ganger brøker, kan du forenkle før du ganger -- noe som sparer deg for store tall. Primtallsfaktorisering gjør dette oversiktlig.

Eksempel: $\displaystyle \frac{14}{15} \cdot \frac{25}{21}$

Faktoriser alt:
$$\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5^2}{3 \cdot 7}$$

Skriv som én brøk:
$$= \frac{2 \cdot 7 \cdot 5^2}{3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}$$

Stryk felles faktorer (teller mot nevner):
$$= \frac{2 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot 5}{3 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{7}} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}$$

Uten forenkling hadde vi fått $\displaystyle \frac{350}{315}$, som vi deretter måtte forenkle -- mye mer arbeid!

Eksempel: $\displaystyle \frac{12}{35} \cdot \frac{49}{18}$

$$= \frac{2^2 \cdot 3}{5 \cdot 7} \cdot \frac{7^2}{2 \cdot 3^2} = \frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7^2}{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3^2}$$

Stryk: $2^1$, $3^1$, $7^1$:

$$= \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$$

Denne teknikken -- å faktorisere og forenkle diagonalt -- kalles kryssforenkling og er en av de mest nyttige ferdighetene i brøkregning.

Oppsummering

Primtallsfaktorisering gjør brøkregning enklere og sikrere:

- Primtallsfaktorisering gir deg full kontroll -- ingen gjetting, ingen tvil om at brøken er fullstendig forenklet