2.2 Primtallsfaktorisering | Matematikk 8. klasse

Dele opp tall i primfaktorer med faktortrær.

45 min

14 oppgaver

PrimtallsfaktoriseringFaktortrePrimfaktorer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Primtall og delelighetsregler

Brukes videre i

2.3Største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFM)

Primtalsfaktorisering

I førre kapittel lærte vi at primtal er byggjesteinane i talverda. No skal vi sjå korleis vi kan bryte ned eitkvart samansett tal til primtalsbyggjesteinane sine.

Dette blir kalla primtalsfaktorisering: å skrive eit tal som eit produkt av berre primtal.

Til dømes:
- $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
- $30 = 2 \times 3 \times 5$
- $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2$

Det fine er at det berre finst éin måte å primtalsfaktorisere kvart tal på (bortsett frå rekkjefølgja). Dette blir kalla fundamentalteoremet i aritmetikken.

I dette kapittelet lærer du to metodar:
- Faktortre-metoden (visuell og oversiktleg)
- Gjentatt divisjon (rask og systematisk)

Primtalsfaktorisering

1

Faktortre

Eit faktortre er ein visuell metode for å finne primtalsfaktoriseringa av eit tal. Framgangsmåte: 1. Skriv talet du vil faktorisere på toppen. 2. Del talet i to faktorar (bruk gjerne delelegheitsreglar). 3. Gjenta for kvar faktor som ikkje er eit primtal. 4. Når alle greiner endar i primtal, er du ferdig. 5. Primtalsfaktoriseringa er produktet av alle primtala i bladnodene (endane av treet). Tips: Det spelar inga rolle kva to faktorar du startar med -- du endar alltid opp med dei same primfaktorane!

Gjentatt divisjon

2

✏️Døme 1: Faktoriser 60

Finn primtalsfaktoriseringa av $60$ ved hjelp av både faktortre og gjentatt divisjon.

Metode 1: Faktortre

Vi startar med $60$ og deler opp:

$60 = 6 \times 10$

$6 = 2 \times 3$ (begge er primtal -- ferdig her)

$10 = 2 \times 5$ (begge er primtal -- ferdig her)

Primfaktorane i bladnodene: $2, 3, 2, 5$

Metode 2: Gjentatt divisjon

$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

Svar:

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

✏️Døme 2: Faktoriser 84

Finn primtalsfaktoriseringa av $84$ .

Vi bruker gjentatt divisjon:

$84$ er partal, så vi deler på $2$ :

$\begin{array}{r|l} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$

- $84 \div 2 = 42$
- $42 \div 2 = 21$
- $21$ er ikkje deleleg med $2$ , men tverrsummen $2 + 1 = 3$ er deleleg med $3$ : $21 \div 3 = 7$
- $7$ er eit primtal: $7 \div 7 = 1$

Svar:

$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

✏️Døme 3: Faktoriser 180

Finn primtalsfaktoriseringa av $180$ .

Vi bruker gjentatt divisjon:

$\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

- $180 \div 2 = 90$
- $90 \div 2 = 45$
- $45$ er oddetal. Tverrsummen: $4 + 5 = 9$ , deleleg med $3$ : $45 \div 3 = 15$
- $15 \div 3 = 5$
- $5 \div 5 = 1$

Svar:

$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Kontroll: $2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ \checkmark

📝Oppgave 1

Finn primtalsfaktoriseringa av kvart tal.

24

36

50

75

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Amina har skrive:

$90 = 2 \times 9 \times 5 = 2 \times 9 \times 5$

og seier at primtalsfaktoriseringa av $90$ er $2 \times 9 \times 5$ . Finn feilen og skriv rett primtalsfaktorisering.

📝Oppgave 2

Bruk eit faktortre til å finne primtalsfaktoriseringa av kvart tal. Teikn treet og skriv svaret med potensar.

48

90

120

📝Oppgave 3

Finn primtalsfaktoriseringa av kvart tal.

126

200

315

462

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Kari påstår at $150 = 2 \times 3 \times 25$ . Har ho rett? Forklar, og gi rett primtalsfaktorisering.

📝Oppgave 5

Eit tal har primtalsfaktoriseringa $2^3 \times 3 \times 5^2$ .

Kva tal er dette?

Finn alle faktorane (delarane) til dette talet.

Kor mange faktorar har talet? (Tips: bruk primtalsfaktoriseringa)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Fundamentalteoremet i aritmetikken seier at kvart tal har ei unik primtalsfaktorisering. Tyder dette at eit faktortre for eit tal alltid ser likt ut? Forklar, og vis med eit døme.

Oppsummering

Primtalsfaktorisering

- Å skrive eit tal som eit produkt av berre primtal
- Kvart tal har ei unik primtalsfaktorisering (fundamentalteoremet i aritmetikken)

Faktortre-metoden

1. Skriv talet på toppen
2. Del i to faktorar
3. Hald fram til alle bladnoder er primtal
4. Les av primfaktorane

Gjentatt divisjon

1. Del på minste primtal som går opp
2. Hald fram til kvotienten er

1

3. Alle divisorane gir primtalsfaktoriseringa

Skrivemåte

- Bruk potensar for gjentatte primfaktorar
- Skriv primfaktorane i stigande rekkjefølgje
- Døme:

360 = 2^3 \times 3^2 \times 5

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.