2.1 Primtall og delelighetsregler | Matematikk 8. klasse

Hva primtall er og regler for delelighet.

40 min

12 oppgaver

PrimtallDelelighetsreglerSammensatte tall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.2Primtallsfaktorisering

Primtall og delelighetsregler

Noen tall er helt spesielle. De kan ikke deles opp i mindre biter -- de er byggesteinene som alle andre tall er laget av. Disse tallene kaller vi primtall.

Tenk deg at du har 12 kuler. Du kan dele dem i grupper:
- $12 = 2 \times 6$
- $12 = 3 \times 4$
- $12 = 2 \times 2 \times 3$

Men hva med 7 kuler? Du kan ikke dele 7 kuler i like store grupper (bortsett fra 1 gruppe med 7, eller 7 grupper med 1). Tallet 7 er et primtall.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva primtall og sammensatte tall er
- Hvordan du finner primtall med Eratosthenes' sil
- Praktiske delelighetsregler som gjør det lett å sjekke om et tall er delelig

Primtall

1

Sammensatte tall

1

Delelighetsregler

2

Delelig med	Regel	Eksempel
$2$	Siste siffer er partall ( $0, 2, 4, 6, 8$ )	$378$ : siste siffer er $8$
$3$	Tverrsummen er delelig med $3$	$537$ : $5 + 3 + 7 = 15$ , og $15 : 3 = 5$
$4$	De to siste sifrene danner et tall delelig med $4$	$1324$ : $24 : 4 = 6$
$5$	Siste siffer er $0$ eller $5$	$785$ : siste siffer er $5$
$6$	Delelig med bade $2$ og $3$	$372$ : partall og $3+7+2=12$
$9$	Tverrsummen er delelig med $9$	$729$ : $7+2+9=18$ , og $18 : 9 = 2$
$10$	Siste siffer er $0$	$450$ : siste siffer er $0$

Eratosthenes' sil

For over 2000 ar siden fant den greske matematikeren Eratosthenes en smart metode for a finne alle primtall opp til et bestemt tall. Metoden kalles Eratosthenes' sil.

Slik gjor du:

1. Skriv opp alle tall fra $2$ til $100$ .
2. Start med det forste tallet ( $2$ ). Det er et primtall. Stryk alle multipler av $2$ (altsa $4, 6, 8, 10, \ldots$ ).
3. Ga til det neste tallet som ikke er streket over ( $3$ ). Det er et primtall. Stryk alle multipler av $3$ ( $6, 9, 12, 15, \ldots$ ).
4. Ga til neste ustrekede tall ( $5$ ). Stryk alle multipler av $5$ .
5. Fortsett med $7$ . Stryk alle multipler av $7$ .
6. Alle tall som star igjen etter at du har silt med $2, 3, 5$ og $7$ , er primtall!

Hvorfor trenger vi bare a sjekke opp til $7$ ? Fordi $7^2 = 49$ og $11^2 = 121 > 100$ . Alle sammensatte tall opp til $100$ ma ha minst en primfaktor som er $\leq \sqrt{100} = 10$ .

Primtallene opp til 100:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,$
$53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$

Det er $25$ primtall mellom $1$ og $100$ .

✏️Eksempel 1: Er tallet et primtall?

Avgjor om folgende tall er primtall eller sammensatte tall:

a) $29$
b) $51$
c) $97$

a) Er $29$ et primtall?

Vi sjekker om $29$ er delelig med primtallene $2, 3$ og $5$ :
- $29$ er oddetall, sa det er ikke delelig med $2$ .
- Tverrsummen er $2 + 9 = 11$ . Siden $11$ ikke er delelig med $3$ , er $29$ ikke delelig med $3$ .
- Siste siffer er $9$ , sa $29$ er ikke delelig med $5$ .

Vi trenger bare sjekke primtall opp til $\sqrt{29} \approx 5{,}4$ , altsa $2, 3$ og $5$ .

$29$ er et primtall.

b) Er $51$ et primtall?

- $51$ er oddetall, sa det er ikke delelig med $2$ .
- Tverrsummen er $5 + 1 = 6$ . Siden $6 : 3 = 2$ , er $51$ delelig med $3$ .

Vi sjekker: $51 = 3 \times 17$ .

$51$ er et sammensatt tall.

c) Er $97$ et primtall?

Vi sjekker primtall opp til $\sqrt{97} \approx 9{,}8$ , altsa $2, 3, 5$ og $7$ :
- $97$ er oddetall (ikke delelig med $2$ ).
- Tverrsummen: $9 + 7 = 16$ , ikke delelig med $3$ .
- Siste siffer er $7$ (ikke delelig med $5$ ).
- $97 : 7 = 13{,}86\ldots$ (ikke delelig med $7$ ).

$97$ er et primtall.

✏️Eksempel 2: Bruke delelighetsregler

Bruk delelighetsreglene til a avgjore hvilke av tallene $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10$ som gar opp i $360$ .

Vi sjekker $360$ med hver delelighetsregel:

Delelig med $2$ ? Siste siffer er $0$ (partall). Ja.

Delelig med $3$ ? Tverrsummen: $3 + 6 + 0 = 9$ . Siden $9 : 3 = 3$ . Ja.

Delelig med $4$ ? De to siste sifrene er $60$ , og $60 : 4 = 15$ . Ja.

Delelig med $5$ ? Siste siffer er $0$ . Ja.

Delelig med $6$ ? Delelig med bade $2$ og $3$ . Ja.

Delelig med $9$ ? Tverrsummen er $9$ , og $9 : 9 = 1$ . Ja.

Delelig med $10$ ? Siste siffer er $0$ . Ja.

$360$ er delelig med alle tallene $2, 3, 4, 5, 6, 9$ og $10$ .

✏️Eksempel 3: Finne primtall i et intervall

Finn alle primtall mellom $40$ og $60$ .

Vi gar gjennom hvert tall og sjekker med delelighetsreglene:

Tall	Primtall?	Begrunnelse
$41$	Ja	Ikke delelig med $2, 3, 5$ (sjekker opp til $\sqrt{41} \approx 6{,}4$ )
$42$	Nei	$42 = 2 \times 21$
$43$	Ja	Ikke delelig med $2, 3, 5$
$44$	Nei	$44 = 2 \times 22$
$45$	Nei	$45 = 5 \times 9$
$46$	Nei	$46 = 2 \times 23$
$47$	Ja	Ikke delelig med $2, 3, 5$
$48$	Nei	$48 = 2 \times 24$
$49$	Nei	$49 = 7 \times 7$
$50$	Nei	$50 = 2 \times 25$
$51$	Nei	$51 = 3 \times 17$
$52$	Nei	$52 = 2 \times 26$
$53$	Ja	Ikke delelig med $2, 3, 5, 7$
$54$	Nei	$54 = 2 \times 27$
$55$	Nei	$55 = 5 \times 11$
$56$	Nei	$56 = 2 \times 28$
$57$	Nei	$57 = 3 \times 19$
$58$	Nei	$58 = 2 \times 29$
$59$	Ja	Ikke delelig med $2, 3, 5, 7$

Primtallene mellom

40

60

er:

41, 43, 47, 53, 59

📝Oppgave 1

Avgjor om tallene er primtall eller sammensatte tall. Begrunn svaret.

17

39

53

91

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Alle oddetall er primtall.

📝Oppgave 2

Bruk delelighetsreglene til a avgjore om tallene er delelige med $2$ , $3$ , $5$ og $9$ .

135

240

567

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Finn alle primtall mellom $20$ og $40$ .

📝Oppgave 4

Bruk Eratosthenes' sil til a finne alle primtall opp til $50$ . Beskriv fremgangsmaten steg for steg.

📝Oppgave 5

Forklar hvorfor det ikke finnes noe partalls-primtall som er storre enn $2$ . Bruk dette til a forklare hvorfor alle primtall storre enn $2$ er oddetall.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Kan du finne tre tall på rad (tre sammenhengende naturlige tall) der alle tre er primtall? Begrunn hvorfor dette er mulig eller umulig.

Oppsummering

Primtall

- Et primtall er et tall storre enn

1

som bare er delelig med

1

og seg selv
-

2

er det eneste partalls-primtallet
- Det finnes uendelig mange primtall

Sammensatte tall

- Et sammensatt tall er et tall storre enn

1

som har flere enn to faktorer
- Hvert tall

> 1

er enten primtall eller sammensatt

Delelighetsregler

- Delelig med $2$ : siste siffer er partall
- Delelig med $3$ : tverrsummen er delelig med

3

- Delelig med $5$ : siste siffer er

0

eller

5

- Delelig med $9$ : tverrsummen er delelig med

9

Eratosthenes' sil

- En metode for a finne alle primtall opp til et bestemt tall
- Stryk systematisk multipler av

2, 3, 5, 7, \ldots

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.