2.2 Primtallsfaktorisering | Matematikk 8. klasse

Dele opp tall i primfaktorer med faktortrær.

45 min

14 oppgaver

PrimtallsfaktoriseringFaktortrePrimfaktorer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Primtall og delelighetsregler

Brukes videre i

2.3Største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFM)

Primtallsfaktorisering

I forrige kapittel larte vi at primtall er byggesteinene i tallverdenen. Na skal vi se hvordan vi kan bryte ned ethvert sammensatt tall til sine primtallsbyggesteiner.

Dette kalles primtallsfaktorisering: a skrive et tall som et produkt av bare primtall.

For eksempel:
- $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
- $30 = 2 \times 3 \times 5$
- $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2$

Det fine er at det bare finnes en mate a primtallsfaktorisere hvert tall pa (bortsett fra rekkefolgden). Dette kalles aritmetikkens fundamentalteorem.

I dette kapittelet lærer du to metoder:
- Faktortre-metoden (visuell og oversiktlig)
- Gjentatt divisjon (rask og systematisk)

Primtallsfaktorisering

1

Faktortre

Et faktortre er en visuell metode for a finne primtallsfaktoriseringen av et tall. Fremgangsmate: 1. Skriv tallet du vil faktorisere pa toppen. 2. Del tallet i to faktorer (bruk gjerne delelighetsregler). 3. Gjenta for hver faktor som ikke er et primtall. 4. Nar alle grener ender i primtall, er du ferdig. 5. Primtallsfaktoriseringen er produktet av alle primtallene i bladnodene (endene av treet). Tips: Det spiller ingen rolle hvilke to faktorer du starter med -- du ender alltid opp med de samme primfaktorene!

Gjentatt divisjon

2

✏️Eksempel 1: Faktoriser 60

Finn primtallsfaktoriseringen av $60$ ved hjelp av bade faktortre og gjentatt divisjon.

Metode 1: Faktortre

Vi starter med $60$ og deler opp:

$60 = 6 \times 10$

$6 = 2 \times 3$ (begge er primtall -- ferdig her)

$10 = 2 \times 5$ (begge er primtall -- ferdig her)

Primfaktorene i bladnodene: $2, 3, 2, 5$

Metode 2: Gjentatt divisjon

$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

Svar:

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

✏️Eksempel 2: Faktoriser 84

Finn primtallsfaktoriseringen av $84$ .

Vi bruker gjentatt divisjon:

$84$ er partall, sa vi deler pa $2$ :

$\begin{array}{r|l} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$

- $84 \div 2 = 42$
- $42 \div 2 = 21$
- $21$ er ikke delelig med $2$ , men tverrsummen $2 + 1 = 3$ er delelig med $3$ : $21 \div 3 = 7$
- $7$ er et primtall: $7 \div 7 = 1$

Svar:

$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

✏️Eksempel 3: Faktoriser 180

Finn primtallsfaktoriseringen av $180$ .

Vi bruker gjentatt divisjon:

$\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

- $180 \div 2 = 90$
- $90 \div 2 = 45$
- $45$ er oddetall. Tverrsummen: $4 + 5 = 9$ , delelig med $3$ : $45 \div 3 = 15$
- $15 \div 3 = 5$
- $5 \div 5 = 1$

Svar:

$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Kontroll: $2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ \checkmark

📝Oppgave 1

Finn primtallsfaktoriseringen av hvert tall.

24

36

50

75

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Amina har skrevet:

$90 = 2 \times 9 \times 5 = 2 \times 9 \times 5$

og sier at primtallsfaktoriseringen av $90$ er $2 \times 9 \times 5$ . Finn feilen og skriv riktig primtallsfaktorisering.

📝Oppgave 2

Bruk et faktortre til a finne primtallsfaktoriseringen av hvert tall. Tegn treet og skriv svaret med potenser.

48

90

120

📝Oppgave 3

Finn primtallsfaktoriseringen av hvert tall.

126

200

315

462

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Kari pastar at $150 = 2 \times 3 \times 25$ . Har hun rett? Forklar, og gi riktig primtallsfaktorisering.

📝Oppgave 5

Et tall har primtallsfaktoriseringen $2^3 \times 3 \times 5^2$ .

Hvilket tall er dette?

Finn alle faktorene (delerne) til dette tallet.

Hvor mange faktorer har tallet? (Tips: bruk primtallsfaktoriseringen)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Aritmetikkens fundamentalteorem sier at hvert tall har en unik primtallsfaktorisering. Betyr dette at et faktortre for et tall alltid ser likt ut? Forklar, og vis med et eksempel.

Oppsummering

Primtallsfaktorisering

- A skrive et tall som et produkt av bare primtall
- Hvert tall har en unik primtallsfaktorisering (aritmetikkens fundamentalteorem)

Faktortre-metoden

1. Skriv tallet pa toppen
2. Del i to faktorer
3. Fortsett til alle bladnoder er primtall
4. Les av primfaktorene

Gjentatt divisjon

1. Del pa minste primtall som gar opp
2. Fortsett til kvotienten er

1

3. Alle divisorene gir primtallsfaktoriseringen

Skrivemate

- Bruk potenser for gjentatte primfaktorer
- Skriv primfaktorene i stigende rekkefolgde
- Eksempel:

360 = 2^3 \times 3^2 \times 5

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.