2.1 Primtall og delelighetsregler | Matematikk 8. klasse

Hva primtall er og regler for delelighet.

40 min

12 oppgaver

PrimtallDelelighetsreglerSammensatte tall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.2Primtallsfaktorisering

Primtal og delelegheitsreglar

Nokre tal er heilt spesielle. Dei kan ikkje delast opp i mindre bitar -- dei er byggjesteinane som alle andre tal er laga av. Desse tala kallar vi primtal.

Tenk deg at du har 12 kuler. Du kan dele dei i grupper:
- $12 = 2 \times 6$
- $12 = 3 \times 4$
- $12 = 2 \times 2 \times 3$

Men kva med 7 kuler? Du kan ikkje dele 7 kuler i like store grupper (bortsett frå 1 gruppe med 7, eller 7 grupper med 1). Talet 7 er eit primtal.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva primtal og samansette tal er
- Korleis du finn primtal med Eratosthenes' sil
- Praktiske delelegheitsreglar som gjer det lett å sjekke om eit tal er deleleg

Primtal

1

Samansette tal

1

Delelegheitsreglar

2

Deleleg med	Regel	Døme
$2$	Siste siffer er partal ( $0, 2, 4, 6, 8$ )	$378$ : siste siffer er $8$
$3$	Tverrsummen er deleleg med $3$	$537$ : $5 + 3 + 7 = 15$ , og $15 : 3 = 5$
$4$	Dei to siste sifra dannar eit tal deleleg med $4$	$1324$ : $24 : 4 = 6$
$5$	Siste siffer er $0$ eller $5$	$785$ : siste siffer er $5$
$6$	Deleleg med både $2$ og $3$	$372$ : partal og $3+7+2=12$
$9$	Tverrsummen er deleleg med $9$	$729$ : $7+2+9=18$ , og $18 : 9 = 2$
$10$	Siste siffer er $0$	$450$ : siste siffer er $0$

Eratosthenes' sil

For over 2000 år sidan fann den greske matematikaren Eratosthenes ein smart metode for å finne alle primtal opp til eit bestemt tal. Metoden blir kalla Eratosthenes' sil.

Slik gjer du:

1. Skriv opp alle tal frå $2$ til $100$ .
2. Start med det første talet ( $2$ ). Det er eit primtal. Stryk alle multiplum av $2$ (altså $4, 6, 8, 10, \ldots$ ).
3. Gå til det neste talet som ikkje er streka over ( $3$ ). Det er eit primtal. Stryk alle multiplum av $3$ ( $6, 9, 12, 15, \ldots$ ).
4. Gå til neste ustreka tal ( $5$ ). Stryk alle multiplum av $5$ .
5. Hald fram med $7$ . Stryk alle multiplum av $7$ .
6. Alle tal som står att etter at du har silt med $2, 3, 5$ og $7$ , er primtal!

Kvifor treng vi berre å sjekke opp til $7$ ? Fordi $7^2 = 49$ og $11^2 = 121 > 100$ . Alle samansette tal opp til $100$ må ha minst éin primfaktor som er $\leq \sqrt{100} = 10$ .

Primtala opp til 100:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,$
$53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$

Det er $25$ primtal mellom $1$ og $100$ .

✏️Døme 1: Er talet eit primtal?

Avgjer om følgjande tal er primtal eller samansette tal:

a) $29$
b) $51$
c) $97$

a) Er $29$ eit primtal?

Vi sjekkar om $29$ er deleleg med primtala $2, 3$ og $5$ :
- $29$ er oddetal, så det er ikkje deleleg med $2$ .
- Tverrsummen er $2 + 9 = 11$ . Sidan $11$ ikkje er deleleg med $3$ , er $29$ ikkje deleleg med $3$ .
- Siste siffer er $9$ , så $29$ er ikkje deleleg med $5$ .

Vi treng berre sjekke primtal opp til $\sqrt{29} \approx 5{,}4$ , altså $2, 3$ og $5$ .

$29$ er eit primtal.

b) Er $51$ eit primtal?

- $51$ er oddetal, så det er ikkje deleleg med $2$ .
- Tverrsummen er $5 + 1 = 6$ . Sidan $6 : 3 = 2$ , er $51$ deleleg med $3$ .

Vi sjekkar: $51 = 3 \times 17$ .

$51$ er eit samansett tal.

c) Er $97$ eit primtal?

Vi sjekkar primtal opp til $\sqrt{97} \approx 9{,}8$ , altså $2, 3, 5$ og $7$ :
- $97$ er oddetal (ikkje deleleg med $2$ ).
- Tverrsummen: $9 + 7 = 16$ , ikkje deleleg med $3$ .
- Siste siffer er $7$ (ikkje deleleg med $5$ ).
- $97 : 7 = 13{,}86\ldots$ (ikkje deleleg med $7$ ).

$97$ er eit primtal.

✏️Døme 2: Bruke delelegheitsreglar

Bruk delelegheitsreglane til å avgjere kva av tala $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10$ som går opp i $360$ .

Vi sjekkar $360$ med kvar delelegheitsregel:

Deleleg med $2$ ? Siste siffer er $0$ (partal). Ja.

Deleleg med $3$ ? Tverrsummen: $3 + 6 + 0 = 9$ . Sidan $9 : 3 = 3$ . Ja.

Deleleg med $4$ ? Dei to siste sifra er $60$ , og $60 : 4 = 15$ . Ja.

Deleleg med $5$ ? Siste siffer er $0$ . Ja.

Deleleg med $6$ ? Deleleg med både $2$ og $3$ . Ja.

Deleleg med $9$ ? Tverrsummen er $9$ , og $9 : 9 = 1$ . Ja.

Deleleg med $10$ ? Siste siffer er $0$ . Ja.

$360$ er deleleg med alle tala $2, 3, 4, 5, 6, 9$ og $10$ .

✏️Døme 3: Finne primtal i eit intervall

Finn alle primtal mellom $40$ og $60$ .

Vi går gjennom kvart tal og sjekkar med delelegheitsreglane:

Tal	Primtal?	Grunngjeving
$41$	Ja	Ikkje deleleg med $2, 3, 5$ (sjekkar opp til $\sqrt{41} \approx 6{,}4$ )
$42$	Nei	$42 = 2 \times 21$
$43$	Ja	Ikkje deleleg med $2, 3, 5$
$44$	Nei	$44 = 2 \times 22$
$45$	Nei	$45 = 5 \times 9$
$46$	Nei	$46 = 2 \times 23$
$47$	Ja	Ikkje deleleg med $2, 3, 5$
$48$	Nei	$48 = 2 \times 24$
$49$	Nei	$49 = 7 \times 7$
$50$	Nei	$50 = 2 \times 25$
$51$	Nei	$51 = 3 \times 17$
$52$	Nei	$52 = 2 \times 26$
$53$	Ja	Ikkje deleleg med $2, 3, 5, 7$
$54$	Nei	$54 = 2 \times 27$
$55$	Nei	$55 = 5 \times 11$
$56$	Nei	$56 = 2 \times 28$
$57$	Nei	$57 = 3 \times 19$
$58$	Nei	$58 = 2 \times 29$
$59$	Ja	Ikkje deleleg med $2, 3, 5, 7$

Primtala mellom

40

60

er:

41, 43, 47, 53, 59

📝Oppgave 1

Avgjer om tala er primtal eller samansette tal. Grunngi svaret.

17

39

53

91

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Alle oddetal er primtal.

📝Oppgave 2

Bruk delelegheitsreglane til å avgjere om tala er delelege med $2$ , $3$ , $5$ og $9$ .

135

240

567

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Finn alle primtal mellom $20$ og $40$ .

📝Oppgave 4

Bruk Eratosthenes' sil til å finne alle primtal opp til $50$ . Skildr framgangsmåten steg for steg.

📝Oppgave 5

Forklar kvifor det ikkje finst noko partals-primtal som er større enn $2$ . Bruk dette til å forklare kvifor alle primtal større enn $2$ er oddetal.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Kan du finne tre tal på rad (tre samanhengande naturlege tal) der alle tre er primtal? Grunngi kvifor dette er mogleg eller umogleg.

Oppsummering

Primtal

- Eit primtal er eit tal større enn

1

som berre er deleleg med

1

og seg sjølv
-

2

er det einaste partals-primtalet
- Det finst uendeleg mange primtal

Samansette tal

- Eit samansett tal er eit tal større enn

1

som har fleire enn to faktorar
- Kvart tal

> 1

er anten primtal eller samansett

Delelegheitsreglar

- Deleleg med $2$ : siste siffer er partal
- Deleleg med $3$ : tverrsummen er deleleg med

3

- Deleleg med $5$ : siste siffer er

0

eller

5

- Deleleg med $9$ : tverrsummen er deleleg med

9

Eratosthenes' sil

- Ein metode for å finne alle primtal opp til eit bestemt tal
- Stryk systematisk multiplum av

2, 3, 5, 7, \ldots

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.